2021-2022学年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形训练试题

人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专题训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=54°,或是斜边4?上的中线，则48的度数是（）

A.18°B.36°C.54°D.72°

2、如图，将矩形纸片A8CD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF,若48=6,则BC的长为

（）

3、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形/腼，若测得点4C之间的距离为

6cm,点8〃之间的距离为8cm,则纸条的宽为（)

A.5cmB.4.8cmC.4.6cmD.4cm

4、如图，四边形4?切中，Z/l=60°,AD%力庐3,点机/V分别为线段8C,上的动点（含端点,

但点必不与点6重合），点反尸分别为〃法施V的中点，则"长度的最大值为（）

A.也B.币C.ED.4

2

5、如图，阴影部分是将一个菱形剪去一个平行四边形后剩下的，要想知道阴影部分的周长，需要测量

一些线段的长，这些线段可以是（)

A.AFB.ABC.AB与BCD.BC与CD

6、如图，在△46。中，点£,F分别是/昆/C的中点.已知N6=55°,则N/牙'的度数是（）

A.75°B.60°C.55°D.40°

7、如图，矩形力版的面积为1cm2,对角线交于点。；以力6、为邻边作平行四边形力比造，对角线交

于点2；以m为邻边作平行四边形4。心£…；依此类推，则平行四边形力圆,心〃超的面积为

（）cm

3c—22015D・击

8、如图所示，公路4C、6C互相垂直，点〃为公路48的中点，为测量湖泊两侧C、"两点间的距离,

若测得4?的长为6km,则以C两点间的距离为（）

A.2.5kmB.4.5kmC.5kmD.3km

9、菱形4及方的对角线〃；劭相交于点0,E,尸分别是4。，切边上的中点，连接牙若EF=丘,

BD=2,则菱形46口的面积为（）

C.6夜D.8应

10、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（)

A.梯形的下底是上底的两倍B.梯形最大角是120。

C.梯形的腰与上底相等D.梯形的底角是60°

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在口中，BC=3,切=4,点£是切边上的中点，将△腔沿龙翻折得△及凉，连接46,

尔G、后在同一直线上，则4G=,点G到4?的距离为.

2、如图，矩形月6口中，AC,初相交于点。且4俏12,如果N/阳=60°,则麻_.

3、在菱形力成力中，NB=60：8c=2cm,材为4?的中点，"为8C上一动点（不与点8重合），将

△阳邠沿直线/卿折叠，使点A落在点£处，连接比CE,当为等腰三角形时，线段8V的长为

AD

ME

B

4、一个三角形三边长之比为4：5：6,三边中点连线组成的三角形的周长为30cm,则原三角形最大边

长为cm.

5、如图，点尸是矩形力仇力的对角线/C上一点，过点、P焊EF〃BC,分别交48,CD千点、E、F,连接

PB、PD,若力穿=2,PF=9,则图中阴影面积为；

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，在心△/1笈中，/4b=90°,

四边形尸金。是正方形，RtAAO蜂RtAAOD,RtABOE^Rt/\BOD.

若设正方形的边长为x,则可以探究x与直角三角形4%的三边a,b,c之间的关系.

探究：'：RtXBOE^RtXBOD,

:.BD=BE=a-x,

'：Rt/\AOF^Rt/\AOD,

AD=AF=b-x,

"：AB=BIhAD,

'.a-x^b-x=c,

(1)小颖同学发现利用8随=8赦△欧也可以探究正方形的边长x与直角三角形/6C的三边

a,b,c之间的关系.请你根据小颖的思路，完成她的探究过程.

(2)请你结合探究和小颖的解答过程验证勾股定理.

2、在如图所示的4X3网格中，每个小正方形的边长均为1,正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的

线段叫网格线段.点/固定在格点上.

(1)若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，力是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a

(2)请在网格中画出顶点在格点上且边长为。的所有菱形力比〃你画出的菱形面积分别

为,.

3、我们知道正多边形的定义是：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(1)如图①，在各边相等的四边形/版中，当/。=劭时，四边形46s正四边形；(填

“是”或“不是”)

(2)如图②，在各边相等的五边形4a"中，AC=CE=EB=BD=DA,求证：五边形/6CZ应是正五边

形;

(3)如图③，在各边相等的五边形力比庞中，减少相等对角线的条数也能判定它是正五边形，问：至

少需要几条对角线相等才能判定它是正五边形？请说明理由.

(1)请用尺规完成基本作图：在AC上方作ZACE,使ZACE=NZMC,射线CE交AO于点尸，在线段

BC上截取5G,使5G=OF.

(2)连接AG,求证：四边形AGB是菱形.

5、如图，阿中，NACB=90°,AB=5cm,g4cm,过点/作射线/〃6G若点P从点火出发，以

每秒2cm的速度沿射线/运动，设运动时间为力秒(f>0),作NFC#的平分线交射线1于点D,记点D

关于射线少的对称点是点色连接4区PE、BP.

备用图

备用图

(1)求证：PC=PD-,

(2)当△碗■是等腰三角形时，求力的值；

(3)是否存在点R使得△必£是直角三角形，如果存在，请直接写出力的值，如果不存在，请说明

理由.

----------参考答案------------

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

由题意根据三角形的内角和得到/力=36°,由"是斜边四上的中线，得到⑺=47,根据等腰三角形的

性质即可得到结论.

【详解】

解：VZ/C^90°,/斤54°,

.,.N4=36°,

是斜边46上的中线，

CD-AD,

：.ZAC£f=ZA=36°.

故选：B.

【点睛】

本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线

等于斜边的一半是解题的关键.

2、D

【解析】

【分析】

根据菱形及矩形的性质可得到/阴。的度数，从而根据直角三角形的性质求得比'的长.

【详解】

解：：四边形4&F为菱形，

AAFCO=^ECO,E(=AE,

由折叠的性质可知，AECOABCE,

又/FC>/EC>/BC岩90°,

ZFCO=ZECO=Z°,

在灯△陇中，EO2EB,

又,：EOAE,AB=AE+EB=Q,

：.EB=2,E(=4,

Rt/\BCE中，BC={EC?_EB2=26，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊

角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得比1的长.

3、B

【解析】

【分析】

由题意作于A,/Sia?于S,根据题意先证出四边形48口是平行四边形，再由得平行四

边形40是菱形，再根据勾股定理求出46,最后利用菱形力65的面积建立关系得出纸条的宽/〃的

长.

【详解】

解：作4?_L%于兄4S_L切于S,连接4GM交于点0.

由题意知：AD//BC,AB//CD,

四边形力颇是平行四边形，

•.•两个矩形等宽，

：.AR=AS,

'：AR*BOAS*CD,

：.B(=CD,

.•.平行四边形/颂是菱形，

J.ACLBD,

在RtAAOB中,

0A=3cm,0B=4cm,

AB=J32+42=5cm,

•.•平行四边形力腼是菱形，

:.AB=BC=5cm,

...菱形力质的面积=gAC-8O=8C-AR,gp|x6x8=5A/?,

,24

解得：A/?=—=4.8c/».

故选：B.

【点睛】

本题主要考查菱形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形

以及菱形的面积等于对角线相乘的一半.

4、A

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线定理得出上3眺从而可知&V最大时，EF最大,因为N与6重合时ZW最大，

此时根据勾股定理求得见从而求得绪的最大值.连接〃6,过点〃作以L/6交46于点"再利用

直角三角形的性质和勾股定理求解即可；

【详解】

解：'：ED=EM,MF^FN,

:.E2*DN,

最大时，EF最大,

与夕重合时DRJDB最大,

在周中，VZJ=60°

:.ZADH=30°

.•.腑2xg=LDH=6AH=6

:AH=3-1=2,

；•D^^DH'+BH1=43+2?=将，

22

•••斯的最大值为也.

2

故选A

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得上g

ZW是解题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

如图，延长AB,ED交于点、H,证明3c=。〃，CD=BH,再利用菱形的性质证明：阴影部分的周长

=AB+BC+CD+DE+EF+AF=4AF,从而可得答案.

【详解】

解：如图，延长A8,瓦＞交于点”，

••・四边形BCDH是平行四边形,

:.BC=DH,CD=BH,

••・四边形AFE”是菱形，

:.AF=EF=EH=AH,

■■阴影部分的周长=/U3+8C+CD+DE+EF+AF=4A尸,

故需要测量AF的长度，

故选A.

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，证明阴影部分的周长=4瓶是解本题的关键.

6、C

【解析】

【分析】

证"是△/国的中位线，得EF〃比,再由平行线的性质即可求解.

【详解】

解：•.•点瓦尸分别是/昆的中点，

尽是△力比的中位线，

：.EF//BC,

.•.N4炉/炉55°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出第〃理是解题的

关键.

7、C

【解析】

【分析】

根据“同底等高”的原则可知平行四边形/0C近底边46上的高等于欧的则有平行四边形/0G8的

面积》平行四边形的边的上的高等于平行四边形/用6底边〃上的高的》则有平行四边形

力皎。的面积?，…；由此规律可进行求解.

【详解】

解：为矩形48切的对角线的交点，

平行四边形加C波底边4?上的高等于小的，

平行四边形40C波的面积=/Xl=y,

•.•平行四边形力。心方的对角线交于点a,

...平行四边形力庞步的边46上的高等于平行四边形AO&B底边上的高的

平行四边形板地的面积弓x1xi=^,

*,,

依此类推，平行四边形/腔的面积=击媪.

故答案为：C.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质与平行四边形的性质是解题的关

键.

8、D

【解析】

【详解】

根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=^AB,即可求出CM.

【解答】

解：•.•公路〃；相互相垂直,

.•.N4390°,

•.•材为四的中点,

:.CM=\AB,

•.36=6km,

6¥=3km,

即加C两点间的距离为3km,

故选：D.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半.

9、A

【解析】

【分析】

根据中位线定理可得对角线4C的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案.

【详解】

解：尸分别是4。，切边上的中点，E用心,

:.AO2E户2叵,

又..加2,

菱形ABCD的面积伞gX劭=：X2应X2=2拉，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键.

10、D

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据平角的定义可得/1+/2+/3=180。，再根据N1=N2=N3可求出

Nl=N2=N3=60。，由此可判断选项8,。：先根据等边三角形的判定与性质可得。E=8,NCDE=60°,

再根据平行四边形的判定可得四边形A8CE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得他=BC,然后

根据菱形的判定可得四边形。EFG是菱形，根据菱形的性质可得=M=最后根据线段的和差、

等量代换可得CD=AD,BC=2AD,由此可判断选项AC.

【详解】

解：如图，•.•Zl+Z2+Z3=180°,Zl=Z2=Z3,

.-.Zl=Z2=Z3=60o,

AD\\BC,

ZADC=180°-4=120°,

■.・梯形A8CD是等腰梯形，

NABC=Z1=60°,NBAD=ZADC=120°,CD=CE,

则梯形最大角是120。，选项B正确；

,•・没有指明哪个角是底角，

•••梯形的底角是60。或120。，选项D错误；

如图，连接

-.-CD=CE,Z2=60°,

；aCDE是等边三角形,

DE=CD,ZCDE=60°,

.-.ZAOC+ZCDE=180o,

.•.点ARE共线,

vZABC=Z3=60°,

/.AB\\CE,

・；AB=CE,

一•四边形ABCE是平行四边形，

AE=BC,

・・・NCGF=NCDE=60。,

DE\\FGf

\EF\\DG,EF=FG,

，四边形OEPG是菱形，

:.DE=EF=AD,

:.CD=AD,BC=AE=AD+DE=2AD,选项A、C正确;

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性

质是解题关键.

二、填空题

1、2［岳##独1

88

【解析】

【分析】

根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△/e隹△&!〃，可得4R腔2,然后利用勾股定理可得求出

/6的长，进而可得0的值.

【详解】

解：如图，GFLAB于前F,

•.•点少是切边上的中点，

Cg限2,

由折叠可知：Na层NGBOBG=3,C&G芹2,

在刀改》中，叱/庐3,BC//AD,

.•./小NO180°,BG^AD,

•；N6侬N4选180°,

:.NAGFND,

'：AB//CD,

:./BA,/AED,

ZAGB=ZD

在△46G和△劭〃中，＜NBAG=AAED,

BG=AD

：./\ABG^/\EAD(AAS),

：.AG=DE=2,

：.AB=AE=A(^GE=^,

,:GKLAB于点、F,

，跖上90°,

在和△即;中，

根据勾股定理，得A(f-AF=B@-BF,即22-//=32-(4-46)2,

解得/尸?，

O

.’修,121135

・・GF=AC-AF=4-一----,

6464

・_3>/15

••(rzc/iU----,

8

故答案为2,Ml.

8

【点睛】

本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△46G丝△刃〃是解题的关键.

2、6月

【解析】

【分析】

根据矩形的对角线互相平分且相等可得的=。〃，然后判断出△力勿是等边三角形，再根据勾股定理解

答即可.

【详解】

解：•••四边形力成刀是矩形，

：.OA=OD=^AC=\x\2=&,N4吐90°,

\'ZAOD=60°,

...△力必是等边三角形,

：.AD=OA=&,

；•DC=4AC2-AD1=V122-62=6百•

故答案为：6下）.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出勿是等

边三角形.

4

3、§cm或2cm

【解析】

【分析】

分两种情况：①如图1,当班三比1时，连接〃必，作加上比1于G,由菱形的性质得出/生必=6e2,

AD//BC,AB//CD,得出妗/户60°,ZJ=120°,D序A22,求出躲G，CG=1,BG=BC+CG=3,由

折叠的性质得：E照BN,EM=BM=AM,N/吃沪/户60°,证明侬△£7取得出//=/庞沪120°,证

出。、E、N三点共线，设册册x,则第3-x,。竹x+2,在Rt/\DGN中,由勾股定理得出方程，解方

程即可；

②如图2,当诲"上，C&CAAD,此时点£与力重合，A，与点C重合，C&CFD&DA,丛CDE是等边三

角形，B^B（=2（含◎三龙这种情况）.

【详解】

解：分两种情况，

①如图1,当妗比1时，连接DM,作DGLBC千G,

图1

•.•四边形ABCD是菱形,

：.AB=CD=B(=2,AD//BC,AB//CD,

妗/庐60°,ZJ=120°,

:.限AD=2,

■:DGLBC,

.•.N(W=90°-60°=30°,

：.DG=^CG=^,BG=B&CG=3,

,〃为熊的中点,

:.小阱1,

由折叠的性质得：EN=BN,EM=BM=AM,N/监沪N360°,

在△?!〃必和△龙”中，AD=ED,AM=EM,DM=DM,

.•.△4。侬△威V(SSS),

.•./♦=/%沪120°,

N/必帙/的上180°,

:.D、E、A，三点共线，

没BN=EN=x,则G竹3-x,DN=x+2,在RtADGN中,

由勾股定理得：(3-4+(后＞=(x+2)2,

44

解得:尸不，即呼二cm；

②当诲徵时，上C2AD,此时点£与4重合，N与点。重合，如图2所示:

A(E)D

M

BC(N)

图2

CE=CD=D^DA,△。组是等边三角形，5忙除2cm(符合题干要求)；

4

综上所述，当△四'为等腰三角形时，线段AV的长为《cm或2cm；

4

故答案为§cm或2cm.

【点睛】

本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三

角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

4、24

【解析】

【分析】

由三边长之比得到三角形的三条中位线之比，再由这三条中位线组成的三角形周长求出三中位线长，

推出边长，再比大小判断即可.

【详解】

•••如图，H、I、J分别为6C,AC,46的中点

HI=-AB,IJ=-BC,HJ=-AC

222

又,:HI+IJ+HJ=30

：.AB+BC+AC=60

'：ABxAC：3信4：5：6,即6c边最长

故填24.

【点睛】

本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

5、18

【解析】

【分析】

作月匕49于材，交比'于M根据矩形的性质可得阱S△臼叨即可求解.

【详解】

解：作4月_在于私交BC于N.

则有四边形力4猊四边形四边形函州四边形物卯都是矩形,

SjDC=SjBC、S4AMp=SjEP、S/BE=^PBN，^PFD=&PDM»^PFC=S">CN，

••S/DFPM=S矩BEPN，

3=；x2x4=4,

S祈9+9=18,

故答案为：18.

【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明=

三、解答题

1、（1）x=^—,证明见解析；（2）见解析

a+b+c

【分析】

（1）由正方形的性质可得幅阳OFVAC,OEVBC,由RtAAOP^RtXAOD,可以推出法觥始再由

SAA8C=SAAOC+S&BOC+S^OB^^ACBC^ACOF+^BCOE+^ABOD,由此即可得到答案；

（2）根据（1）和题目已知可得”=-^-,由此利用完全平方公式和平方差公式求解即

可.

【详解】

解：（1）如图所示，连接弘

•.•四边形。田7是正方形，

AOf^OE,OFVAC,OEVBC,

'：RtXAO陷Rt/\AOD,

：.Ol^OD,

：.OB=OD=OE,

4龙=90°,

••S9BC=SMOC+S&BOC+Sg0B

：.-ACBC=-ACOFOE+-ABOD

2222y

/.=+〃+,gpab=x^a+b+c)

••人一

a+Z?+c

⑵•:厂”宇=曹一,

2a+b+c

(a+h+c)(a+/?-c)=2",

‘(a+Z?)2-c2=lab,

cr+2ah+Z?2-c2=2ab,

a2+fe2-c2=0艮［1a2+/=c2.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，平方差公式，完全平方公式，勾股定理的证明等

等，解题的关键在于正确理解题意.

2、(1)母,26M；(2)4或5.

【分析】

(1)借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可;

(2)根据要求周长边长为石的菱形即可.

【详解】

解：(1)由题意得：3=6,22亚,

.•心平阿

aV2

故答案为：2石，加；

(2)如图1,2中，菱形ABCD即为所求.

菱形ABCD的面积为X4X2=4或菱形ABCD的面积=石X石=5,

故答案为：4或5.

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，无理数，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正

确作出图形解决问题.

3、(1)是；(2)见解析；(3)至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形，见解析

【分析】

(1)根据对角线相等的菱形是正方形，证明即可；

(2)由SSS证明恒△故总匡△〃切会△分6得出N4?俏/阅片N夕辰N如4=/必6,即可得

出结论；

(3)由SSS证明△/比丝△6。丝△阳得出/分后/的=/瓦匕

ZAEB=AABE=ABA(=ABCA=ZDC^ZDEC,由S55证明9△庞C得出N1上/期，

4CEA=4CAE=4EBO4ECB,由四边形/位内角和为360°得出/四小/反庐180°,证出相〃CF,由

平行线的性质得出//游/应&/BAO/ACE,证出/物后3/4应；同理：

4CBA=乙D=乙AED=NBCD=3NAB人BAE,即可得出结论；

【详解】

(1)解：结论：四边形/仇刀是正四边形.

理由：•:AB=BC=CD=DA,

.•.四边形47口是菱形，

'：AC=BD,

，四边形力比。是正方形.

四边形力比》是正四边形.

故答案为：是.

(2)证明：二•凸五边形力M右的各条边都相等，

：.AB=BC=CD=DE=EA,

在△Z6C、XBCD、XCDE、△圾1、△眉火中，

AB=BC=CD=DE=EA

，BC=CD=DE=EA=AB

AC=BD=CE=DA=BE

：./\ABC^^\BCD^/\CDE^/\DEA^EAB(SSS),

AABC=4BCD=4CDE=ZDEA=Z.EAB,

五边形4BCDE是正五边形;

(3)解：结论：至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形.

若AC=BE=CE,五边形/阅9£是正五边形，理由如下:

在XABE、△6。和△加'C中,

AE=BA=DC

<AB=BC=DE,

BE=AC=CE

：.ZW&△6。名△庞C(SSS),

NBAE=ACBA=/EDC,AAEB=4ABE=ZBAC=ZBCA=ZDCE=/DEC,

在和△鹿Z?中，

AE=BC

•CE=BE

AC=CE

：.^ACE^/\BEC(SSS),

/ACE=NCEB,/CEA=NCAE=AEBC=ZECB,

.四边形4旌1内角和为360°,

：.AABC+AECB=\^°,

：.AB//CE,

：./ABE=/BEC,NBAC=/ACE,

:./CAE=4CEA=2NABE,

：.ZBAE=3ZABE,

同理：4CBA=ND=4AED=NBCD=3NABE=NBAE,

...五边形是正五边形；

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三

角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键.

4、(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段查得结论；

(2)先证明四边形力而是平行四边形，再由(1)可得六5即可得到结论.

【详解】

解：(1)如图所不：

(2)如图,

：四边形4比9是平行四边形

J.AD//BC,AABC

：.AF//CG

"JBG^DF

:.A户CG

四边形"ZF是平行四边形

,/ZACE=ZDAC

：.AF=CF

...四边形AGCF是菱形.

【点睛】

本题主要考查了基本作图和证明四边形是菱形，熟练