21.2二次函数y=ax²bxc中系数abc与图象的关系课件沪科版数学九年级上册

二次函数y=ax²+bx+c中

系数a、b、c与图象的关系

沪科版九年级上册数学

根据系数画函数图象1、认识：这类题目一般是题目给出二次函数表达式，然后分析得到表达式中各项的系数，画出图象.xyO例如：已知抛物线y=ax²+bx+c，如何利用表达式中各项的系数画出图象.a的符号⟺开口方向a、b的符号⟺对称轴位置c的符号⟺与y轴的交点●根据系数画函数图象①二次项系数a确定函数图象的形状(开口方向、开口大小).（1）二次函数系数a、b、c的符号确定函数图象的方法a>0⟺开口向上

a<0⟺开口向下|a|越大⟺开口越小②常数项c确定图象与y轴的交点的位置.c=0

c>0c<0xyOxyOxyOxyOxyOxyO●●●2、函数图象的确定a>0a<0a>0a<0a>0a<0③a、b共同确定函数图象对称轴的位置b=0a,b同号a,b异号k>0，b>0（2）根据一次函数的图象确定k与b符号的方法xyOxyOxyOxyOxyOxyOa、b符号左同右异k<0，b>0xyOk>0，b<0k<0，b<0●●●●例.二次函数y=ax²+x+a²-1的图象可能是（）.根据系数画函数图象分析：讨论a的范围确定对称轴位置OxyOxyOxyOxyA.B.C.D.对称轴为直线x=确定选项例.二次函数y=ax²+x+a²-1的图象可能是（

）.根据系数画函数图象解：C①当a≠0时，对称轴不可能为y轴，排除选项DOxyxyOOxyOxyA.B.C.D.由二次函数性质易得函数图象对称轴为②当a>0时，图象开口向上，对称轴,对称轴应该在y轴左侧，排除选项A③当a<0时，图象开口向下，对称轴,对称轴应该在y轴右侧，排除选项B故选C例.在同一坐标系中二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c的图象可能为（）.分析：观察两个函数解析式两个函数常数项相同

故两个函数图象与y轴交于同一点讨论a的取值范围确定两函数图象OxyOyxOyxOyxA.B.C.D.例.在同一坐标系中二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c的图象可能为（）.由一次函数和二次函数的解析式可知，两个函数的常数项相同，解：当a>0时，二次函数图象开口向上，一次函数的y值随x的增大而增大所以两函数图象交于y轴上的同一点，故选项A、B错误，当a<0时，二次函数图象开口向下，一次函数的y值随x的增大而减小DOyxOyxOyxA.B.C.D.Oxy故选项C错误，选项D正确.●●●●小结解决此类问题的一般步骤：3.与选项进行匹配.1.依据确定的系数得到确定的图象性质.2.不确定的系数需要分类讨论图象性质.根据图象对二次函数的性质、

含系数的等式或不等式的判断例如:二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，如何根据图象判断二次函数的性质、含系数的等式或不等式.一般是给出函数图象，图象上标注部分数据，然后给出几个关于函数性质、含系数的等式或不等式进行判断.认识：-3Oxy1开口方向⟺a的符号对称轴位置⟺a、b的符号与y轴的交点⟺c的符号结合图形和已知数据⟺判断等式或不等式的正误●例.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是().A.c＞-1B.ba+ba²+c<3b∵抛物线与y轴的交点在点(0，-1)的下方.∵当x=-1时，a-b+c=0，解：∴c<-1,故A错误；∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b<0，故B错误；∵抛物线与x轴交点为(-1,0)、(4,0)，∴b=-3a,2a+b≠0，故C正确；又∵当x=4时，16a+4b+c=0，解方程组，得：c=-4a，b=-3a，∴9a²+c-3b=9a²-4a+9a=9a²+5a，∵a>0，∴9a²+5a>0，即9a²+c-3b>0，故D不正确故答案选CC左同右异，∴抛物线对称轴为直线x=-

=≠1，-1O-1xy4●x=

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0)，结论①正确；例.已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论正确的是________.①抛物线过原点；②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x<2时，y随x增大而增大.①∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0),③当x=-1时，y=a-b+c，解：yx4x=2O②∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线

x=2，且抛物线过原点，x=2●●

∴-=2，c=0，

∴b=-4a，c=0，

∴4a+b+c=0，结论②正确;

又∵当x=-1,y值在x轴上方，为正，

∴a-b+c>0，结论③错误;-1例.已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论正确的是________.①抛物线过原点；②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x<2时，y随x增大而增大.解：④当x=2时，且由②得b=-4a，c=0，y=ax²+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b，⑤观察函数图象可知:当x<2时,y随x增大而减小，结论⑤错误.

综上所述，正确的结论有:①②④.①②④yx4x=2O●

∴抛物线的顶点坐标为(2,b)，结论④正确;(2,b)例.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列说法中正确的是

.①开口向上：a>0;左同右异：b<0；交y轴负半轴：c<0；所以abc>0,①错.解：②与x轴有两个交点：b²-4ac>0；所以4ac-b²<0,②错.④把x=-2代入解析式得：y=4a-2b+c；又x=-2时，y>0；④对.⑤由③和④可得y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0；⑤错.⑥点(-1,0)关于对称轴x=1的对称点为(3,0)，当x=3吋，y<0；⑥对.综上，答案为③④⑥①abc<0②4ac-b²>0③2a+b=0④4a+c>2b⑤8a+c<0⑥当x=3时，y<0③④⑥yxx=1O-1-2③由对称轴x=-=1可得2a+b=0；③对.●●●●3小结解决此类问题的一般步骤1、根据图象确定a、b、c的正负或值；2、根据图象确定a、b、c之间的关系；3、通过等量关系代换后确定其他关系.根据表格中的数据对函数的性质、含系数的等式或不等式的判断例如.二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：认识：根据表格中的数据对函数的性质、含系数的等式或不等式的判断表格类题目一般是在一个表格中给出几个特殊点的坐标，例如顶点、对称点、交点等，判断所给结论的正误.x-1013y-1353找x=0时的y值确定c找相等的y值确定对称轴结合表格数据确定开口方向利用二次函数与方程或不等式判断等式和不等式的正误待定系数法求解析式根据系数确定函数图象性质方法一：方法二：确定函数图象与y轴交点例.二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如下表：

x…-1012…y…-1-2…下列结论正确的有_____.①a＜0；②c＜0；③二次函数与x轴有两个交点，且分别位于y轴的两侧；④二次函数与x轴有两个交点，且位于y轴的同侧.分析：根据系数确定函数图像性质利用待定系数法求得解析式判断结论的正误方法一：x…-1012…y…-1--2-…下列结论正确的有_____.①a＜0；②c＜0；③二次函数与x轴有两个交点，且分别位于y轴的两侧；④二次函数与x轴有两个交点，且位于y轴的同侧.解：∴①错误，②正确；∴c=,a+b+c=-2,a-b+c=-1∵x=0时，y=；x=1时y=-2；x=-1时，y=-1，∵a=>0，c=-<0，解得：a=，b=-，c=-

∴该二次函数的解析式为：y=x²-

x-例.二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如下表：

x…-1012…y…-1--2-…下列结论正确的有_____.①a＜0；②c＜0；③二次函数与x轴有两个交点，且分别位于y轴的两侧；④二次函数与x轴有两个交点，且位于y轴的同侧.解：∴二次函数与x轴有两个交点，

设两个交点的横坐标分别为x1，x2，∵x1·x2==-7<0∴两个交点中，一个位于y轴的左侧，另外一个位于y轴的右侧，即分别位于y轴的两侧,∴③正确，④错误；②③∵Δ=b²-4ac=-4××(-)=2>0,二次函数的解析式为：y=x²-

x-例.二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如下表：

例.二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如下表：

x…-1012…y…-1-2…下列结论正确的有_____.①a＜0；②c＜0；③二次函数与x轴有两个交点，且分别位于y轴的两侧；④二次函数与x轴有两个交点，且位于y轴的同侧.分析：根据系数确定函数图像性质利用待定系数法求得解析式判断结论的正误方法一：x…-1012…y…-1--2-…下列结论正确的有_____.①a＜0；②c＜0；③二次函数与x轴有两个交点，且分别位于y轴的两侧；④二次函数与x轴有两个交点，且位于y轴的同侧.解：∴①错误，②正确；∴c=,a+b+c=-2,a-b+c=-1∵x=0时，y=；x=1时y=-2；x=-1时，y=-1，∵a=>0，c=-<0，解得：a=，b=-，c=-

∴该二次函数的解析式为：y=x²-

x-例.二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如