13-chap-6等离子体平衡与稳定性之一n

等离子体平衡与稳定性等离子体物理2023最新整理收集do

something聚变反应约束聚变技术磁约束聚变研究D+D→T(1.01MeV)+p(3.03MeV)D+D→3He(0.82MeV)+n(2.45MeV)D+T→4He(3.52MeV)+n(14.06MeV)D+3He→4He(3.67MeV)+p(14.67MeV)主要聚变反应劳逊判据T>10keV（1亿度）n

>3×1020m-3sITER约束方式:引力约束、惯性约束和磁约束惯性约束与激光核聚变磁约束与托卡马克核聚变装置磁约束与托卡马克核聚变装置约束等离子体必须满足平衡条件现在的核聚变的参数EAST:100sHT-7:400msHUST:200ms放电时间ICF：失败！等离子体平衡与稳定性等离子体平衡与稳定性引言磁流体力学平衡双流不稳定性能量原理直线箍缩等离子体柱的不稳定性瑞利－泰勒不稳定性撕裂模不稳定性我们知道约束等离子体必须满足平衡条件，只有满足平衡条件的等离子体才能被约束，但这是一个充分条件，还需注意另一个条件：稳定性。5.1引言平衡：是在一定的时间期限内，特征参量不发生显著变化的系统状态。显然如果这个期限是无限长时，系统处于热力学平衡态。稳定性：描述系统在给定时间内是否处于平衡态或者平衡态的演变。平衡问题和稳定性问题:平衡是指所有力都抵消的一种状态，根据小扰动是否被阻尼或放大来决定平衡是否稳定。不平衡随遇稳定(亚平衡)平衡稳定平衡不稳定平衡具有线性稳定和非线性不稳定的平衡具有线性不稳定和非线性稳定的平衡扰动不稳定性现象一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态.系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况--扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动;--扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动;--扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动,或称不稳定性.如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼的扰动.在稳定的扰动—波动情况下,扰动不改变平衡系统的总能量.在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状态,从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为自由能.不稳定性起因对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化.稳定平衡具有线性不稳定和非线性稳定的平衡等离体不稳定性分类一类是等离子体宏观参量如密度、温度、压强及其他热力学量的不均匀性，由此产生的不稳定性使等离子体整体的形状改变，称为宏观不稳定性或位形空间不稳定性，可用磁流体力学分析，故又称磁流体力学不稳定性。另一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布

，由此产生的不稳定性称为微观不稳定性或速度空间不稳定性，可用等离子体动理论分析，故又称动理论不稳定性。等离子体偏离热力学平衡的性质有两类方式:磁能引起的电流不稳定性；等离子体向弱磁场区膨胀时膨胀能引起的交换不稳定性；密度、温度梯度产生的等离子体膨胀能引起的漂移不稳定性；非麦克斯韦分布或压强各向异性对应的自由能引起的速度空间不稳定性等。等离子体的不稳定性（无论宏观、微观）也可按引起它的驱动能量分类：等离体不稳定性分类几种常见的等离子体不稳定性：宏观不稳定性微观不稳定性宏观不稳定性为等离子体中的宏观电流所驱动①，或为等离子体向弱磁场区膨胀时所释放的自由能所驱动②。它的机制可用磁流体理论来分析，故亦称磁流体不稳定性。宏观不稳定性的类型不胜枚举，现举其主要的几类。宏观不稳定性

互换不稳定性：气球模不稳定性：腊肠不稳定性:扭曲不稳定性:耗散不稳定性

：撕裂模:等离子体在某些方面很像普通流体。例如有一层重流体倾注在轻流体上面，开始时可有一个分界面。当分界面受到扰动时，面上出现随时间增长的波纹,重流体因重力作用而下沉,与轻流体互换位置。在流体力学中,这个现象称为瑞利-泰勒(RT)不稳定性。互换不稳定性：水（油）空气（水）同样类型的不稳定性，可发生于等离子体和凹向等离子体的磁场的界面上。因为在力线弯曲的磁场中，带电粒子沿力线运动时受到的离心力，可用重力来比拟，因此等离子体起着重流体的作用，而磁场起着轻流体的作用。当界面受扰动时，相邻的磁力管连同其上的等离子体互相调换位置，故这类不稳定性称为互换不稳定性。又因这种扰动顺着磁力线发展,扰动面呈现槽纹形式如图所示，故又称为槽纹不稳定性。互换不稳定性：对于互换不稳定性，扰动的波矢平行于磁场的分量为零。在平均极小磁场中，虽然波矢的平行分量为零的互换模可抑制，但波矢的平行分量不为零的扰动模可能仍然是不稳定的。当等离子体的压强足够大时,在坏曲率区增长的扰动即是此类不稳定性,称为气球模不稳定性。气球模不稳定性：plasmaplasma如果等离子体柱仅由其中纵向电流产生的角向磁场约束，则稍有扰动后，因收缩处向内的磁压增大，更趋收缩，膨胀处向内的磁压减小，更趋膨胀，形如腊肠，故称腊肠不稳定性，它可切断等离子体，附加纵向磁场抵制收缩和膨胀，即可使之稳定。腊肠不稳定性:载有纵向强电流的等离子体柱受扰动稍有弯曲，则凹部磁场增强，凸部减弱，由此引起的磁压之差使扰动扩大，等离子体柱将很快弯曲甚至形成螺旋线，这是扭曲不稳定性，可用纵向磁场使之稳定。扭曲不稳定性:当等离子体的电阻小得可以忽略时，磁力线冻结在等离子体里面，这时可认为等离子体是理想的。当等离子体的电阻不可忽略时,由于碰撞效应,粒子离磁场而扩散，不再存在磁力线的冻结。若对于理想等离子体，不存在不稳定性，而存在电阻等耗散效应时，就会发生不稳定性，则这种不稳定可称为耗散不稳定性。耗散不稳定性

：磁扩散=磁衰减图中表示磁力线形成磁岛的发展过程。在托卡马克中，有时可以观察到，等离子体环的大半径突然收缩，小半径突然扩大，电压波形出现负尖峰等现象。这些现象归结为破裂不稳定性的发生。撕裂模不稳定性的机制尚未完全清楚，但愈来愈深入的研究表明，这可能是磁岛增长和磁力线无规化的结果，是撕裂模的非线性发展。撕裂模:微观不稳定性的产生原因多种多样。当等离子体中的速度分布偏离麦克斯韦分布，存在电流、热流、粒子的相对漂移和损失锥，以及通过波和波相互作用，引起宏观不均匀性时，都有可能产生各种模式的微观不稳定性。对微观不稳定性作理论分析，通常采用动理论，故亦称为动理论不稳定性。微观不稳定性：朗道增长双流不稳定性离子声不稳定性损失锥不稳定性漂移不稳定性捕获粒子不稳定性微观不稳定性的特点既在于有序的粒子运动转变为波动，因此在等离子体中常能激发起多种波动模式，而且其间存在复杂的相互作用。这种波动又反过来引起无序运动，使等离子体呈现湍流。微观不稳定不仅引起各种波动模式之间的能量交换，而且往往引起强烈的粒子密度起伏。密度起伏所起的作用，无异于非常高的碰撞频率所起的作用。这个作用在等离子体中导致反常的电阻率和反常的热导率。等离子体中种类多样的不稳定性会导致带电粒子的逃逸或输运系数的异常增大，破坏等离子体的约束或限制约束时间。因此，研究等离子体的各种不稳定性，阐明其物理机制，探索稳定化的方法，一直是受控热核聚变研究的一个中心课题，也是等离子体物理学的重要内容。如何研究等离子体平衡和不稳定性宏观不稳定性的描述方法研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：直观分析简正分析能量原理受力分析扰动波分析能量最低原理对平衡位形以某种扰动后分析作用于等离子体上力的变化。如果扰动引起的作用力使起始扰动向增大的方向发展，则等离子体是不稳定的。反之，如果扰动引起的作用力使起始扰动向减小的方向发展，则等离子体是稳定的。这种方法能够帮组人们直观的理解宏观不稳定性产生的机制，为进一步分析提供基础，但是这种方法很难给出不稳定性增长率。直观分析方法是将不稳定性的增长或波的振荡作为本征问题来处理的一种方法。将随时间变化的扰动量表示成傅立叶分量的形式，代入线性化的磁流体力学方程中，对扰动变量的增长率或者时间演化进行分析。简正模分析方法对于不考虑空间变化的局域模来说，则可以得到色散关系，如果从色散关系中所获得的简正模式的频率是实数，则所有扰动变量将做简谐振荡，这是等离子体是稳定的。如果至少有一个简正模式的频率具有正虚部，则该扰动模式将随时间增长，等离子体是不稳定的。对于考虑空间变化的非局域模来说，则可以得到描述扰动量空间变化的微分方程，利用系统的边界条件，可以获得扰动变量的增长率。这种方法的优点是可以获得不稳定性增长率的解析表达式，但对于复杂的系统，很难求解。能量原理是根据力学的普遍原理，考察系统势能是否极小值来判断系统的稳定性。其基本思想是通过研究偏离平衡位形的小扰动所引起系统势能的变化来确定等离子体体系的稳定性。如果对于所有可能的偏离平衡的位移扰动，系统的势能增加，则等离子体体系是稳定的；反之是不稳定.这种方法的优点是对于复杂磁场位形有可能判断等离子体体系的稳定性，但是给出的只是充分条件，而非必要条件，且不能给出系统不稳定性增长率。能量原理宏观不稳定性的描述方法研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：直观分析简正分析能量原理宏观不稳定性或位形空间不稳定性，可用磁流体力学分析宏观不稳定性又称磁流体力学不稳定性。5.2磁流体力学平衡直观分析在实验室条件下等离子体总是非均匀的，通常情况下这种不均匀性并不影响等离子体的应用，有时候可能在某些特殊场合我们正是要利用等离子体这种不均匀性。但是在很多场合我们需要等离子体达到均匀，为了达到这个目的，应当有某些力作用在等离子体上来约束它。比如核聚变过程中，我们利用磁场和电流所产生的安培力。只有等离子体所受到的力(热压力,安培力,磁应力等)相互抵消,等离子体才能处于磁流体力学平衡

5.2.1基本（平衡）方程当体系处于静态且惯性可以忽略时，磁流体力学的运动方程：平衡方程热压力安培力静态等离子体平衡是由于热压力和安培力相互抵消平衡方程平衡方程互换不稳定性：腊肠不稳定性:扭曲不稳定性:耗散不稳定性

：撕裂模:我们关心的不稳定性通常发生在垂直于磁场的方向

我们关心的是垂直分量

利用定义磁感应线的曲率磁场弯曲率热压磁压磁场弯曲压力高－磁压弱压力低－磁压强在垂直于磁场方向上等离子体的热压和磁压之和是靠磁场的弯曲来平衡的。在直柱等离子体中，当磁力线为直线：边界磁场分析一种简单情况当压强的剖面分布为中心高边界低时，平衡要求磁场的剖面分布呈现出中心弱边界强－磁阱，如图磁阱这种情况的出现完全是由于逆磁电流削弱了外磁场，压力高－磁压弱压力低－磁压强为什么平衡的时候会出现这样的现象？这个结果和磁流体力学所得结果一致。平衡方程垂直于磁场方向的电流密度逆磁电流的大小可以用以下方式求出：小结：基本（平衡）方程(直观分析)当体系处于静态且惯性可以忽略时，等离子体平衡方程：在直柱等离子体中，当磁力线为直线：在垂直于磁场方向上等离子体的热压和磁压之和是靠磁场的弯曲来平衡的。压力高－磁压弱压力低－磁压强复杂的Tokamak磁场5.2.2磁面和磁通磁面是反映磁场拓扑结构的一组磁力线组成的空间曲面。如果一根磁力线与一个磁面相交，则这根磁力线完全落在这个磁面上，磁面的法线与磁场垂直。磁面由于等离子体的形状多种多样，为了方便描述等离子体在磁场中的行为，引入磁面的概念。设想，如果一根磁力线绕着一个轮胎状的环不断延伸，将形成一个环形的磁面，如图。平衡等离子体的磁场可以是由一层层磁面嵌套而构成，而最内的磁面退化成首尾相连的磁力线，叫着磁轴。通常沿着环的长周方向为环向，而沿着环的短周方向为极向。有些磁力线沿着环向走了有限圈后自我闭合，称为有理磁面，否则称为无理磁面。每个有理磁面总是套在两个无理磁面子之间。环向极向磁轴rqfR托卡马克磁场环向极向环向极向平衡方程?是通过任意一给定曲面的磁力线的总量，即：利用高斯定理和磁场的无散性：可以证明进/出某一封闭体积的磁通均相等。在该体积上任意取一条封闭曲线，上式表明通过张于该封闭曲线上的任何曲面的磁通都相同。来表示这个磁面。磁通在一个磁面上均匀的任一变量(压力,温度等)可称之为面量，磁通是面量。因此可以用：环向磁场通过等离子体环的小截面的环向磁通为：环向磁通而极向磁场通过等离子体环的磁轴向还面上辐射所作的割面的极向磁通为：极向磁通实际上在平衡条件下，电流密度及压强也是磁通的函数两边点乘磁感应强度和电流密度：由此可见，平衡时等离子体压强沿着磁力线和电流线没有梯度，即在任意一磁面上压强为常数。换句话说，磁力线和电流线均位于等压面上。压强和电流密度是磁面的函数，也是磁通的函数：5.2.3一维Grad-Shafranov平衡方程考虑一种被称之为螺旋箍缩的磁场位形（托卡马克磁场常用的磁场位形）解决这样一个磁场中的等离子体问题最方便的坐标是柱状坐标系等离子体圆柱中的电流密度为：产生的磁约束磁场为电流线及磁力线均为螺旋线平衡方程极向电流密度纵向电流密度?下面引入磁通函数可以使平衡问题的研究大大简化。rqfR0对于极向磁通则有：设一个磁通函数：rqfR0电流密度纵向电流密度极向电流密度极向电流为：如果令：则：极向电流密度则极向电流密度的表达式变为注意：压强和电流密度是磁面的函数，也是磁通的函数平衡方程一维Grad-Shafranov平衡方程如何求解这个方程：给定函数形式：确定边界条件以及外界对磁通的约束条件对方程进行反演运算来确定讨论两种情况：等离子体圆柱中的电流密度为：产生的磁约束磁场为平衡方程的另一种形式

θ-Pinch箍缩电流密度为：磁约束磁场：由于：一维Grad-Shafranov平衡方程磁压热压这一参数可以衡量磁场B对等离子体约束的“效率”。对于核聚变而言，希望得到大的β值，但是却受到等离子体的不稳定性等因素的限制。定义一个参数等离子体平衡与稳定性平衡：是在一定的时间期限内，特征参量不发生显著变化的系统状态。稳定性：描述系统在给定时间内是否处于平衡态或者平衡态的演变。等离体不稳定性分类宏观不稳定性又称磁流体力学不稳定性。微观不稳定性又称动力论不稳定性。互换不稳定性气球模不稳定性腊肠不稳定性扭曲不稳定性耗散不稳定性

撕裂模不稳定性

朗道增长双流不稳定性离子声不稳定性损失锥不稳定性漂移不稳定性捕获粒子不稳定性研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：直观分析,简正分析,能量原理基本（平衡）方程当体系处于静态且惯性可以忽略时，磁流体力学的运动方程：平衡方程一维Grad-Shafranov平衡方程一维Grad-Shafranov平衡方程如何求解这个方程：给定函数形式：确定边界条件以及外界对磁通的约束条件对方程进行反演运算来确定讨论两种情况：等离子体圆柱中的电流密度为：产生的磁约束磁场为平衡方程的另一种形式

收敛自恰解θ-Pinch箍缩Z-Pinch箍缩θ-Pinch箍缩电流密度为：磁约束磁场：一维Grad-Shafranov平衡方程磁压热压压比Z-Pinch箍缩Z-Pinch箍缩Z-Pinch箍缩Z-Pinch箍缩Z-Pinch箍缩Z-Pinch箍缩电流密度为：磁约束磁场：则GS方程：Z-Pinch平衡方程热压磁压磁场弯曲在垂直于磁场方向上等离子体的热压和磁压之和是靠磁场的弯曲来平衡的。Z-Pinch平衡方程平衡方程θ-Pinch箍缩一维Grad-Shafranov平衡方程Z-Pinch箍缩宏观不稳定性的描述方法研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：直观分析简正分析能量原理5.3双流不稳定性双流不稳定性是一种静电微观不稳定性。当两束带电粒子具有相对运动，且两者的速度分布函数的峰值可以清楚地分开时，则可以发展成双流不稳定性。微观不稳定性的种类多不胜举。其中较简单的例子是双流不稳定性。当两群带电粒子在等离子体中作反向运动时所激发的不稳定性---双流不稳定性。引起这类不稳定性的能量来源于流动能量。当相对运动粒子的相对运动速度达到一定程度时，粒子的能量转换为波的能量，等离子体中就出现不稳定的波动。简正分析假设等离子体是冷的，kT=0可以用流体力学方法来描述,考虑到离子比电子质量大很多，可以认为离子是不动的（ui0=0），而电子有一个相对于离子的速度：u0,采用双流体方法来分析，连续性方程：没有外磁场时候,运动方程为:u0假设每一个量都是平衡量加上扰动项假设线性化以上方程：

关于一阶扰动项的微分方程假设扰动项可以写成：考虑一维情况简正分析应该使用泊松方程扰动离子密度远远小于扰动电子密度，这主要是因为离子惯性远大于的惯性。此时，不宜使用准中性条件：扰动频率如果

保持不变，系统是稳定的，如果变化呢？如何变化？简正分析由于第一项很小，所以有这个就是关于扰动频率

的方程，但是这个方程太复杂，很难看出扰动频率清晰的表达式，也就很难看出系统的稳定情况，利用电子和离子质量之间的差别对方程进行简化.扰动频率扰动初始时刻扰动发展过程扰动频率该公式包含着系统是否稳定性如果没有第二项扰动波的相速度粒子的运动速度显然这是一个共振条件，当粒子的运动速度和扰动波的相速度相近时，发生强烈的能量交换一是扰动能量损失，扰动减弱；二是扰动加强，导致不稳定性。稳定否?u0第二项的出现尽管使扰动波偏离共振，但是也使扰动偏离平衡扰动，也导致系统不稳定不稳定性增长率:扰动是波动，稳定

最后不稳定性退稳条件为（或者出现不稳定的条件）：上述条件不可能满足。当时候上述条件有可能满足。一般情况下，等离子体频率

p

很大，故只有当u0足够大且波长足够短的时候，不稳定性才有可能发生。显然，当时候注意：稳定不稳定扰动频率一是扰动能量损失，扰动减弱；二是扰动加强，导致不稳定性。退稳条件时候上述条件有可能出现不稳定性。双流不稳定性简正分析u0只有当u0足够大且波长足够短的时候，不稳定性才有可能发生。宏观不稳定性的描述方法研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：直观分析简正分析能量原理5.4能量原理根据能量守恒原理:热应力磁应力静电力洛伦兹力………?磁流体方程这里我们把等离子体看成理想流体，连续方程运动方程状态方程电流密度法拉第定律欧姆定律扰动条件下系统势能的改变假设每一个量都是平衡量加上扰动项假设线性化以上方程：假设扰动所造成的位置移动矢量为:流体元的平衡位置一阶小量则有:qfR0平衡量不随时间变化运动方程:关于扰动位移的二阶微分方程等效一个作用在单位体积流体上的力，适当的条件下可以求解该方程获得稳定条件。牛顿第二定律根据能量守恒原理，扰动位移引起的系统总能量的变化为零，即动能和势能变化之和为零：总能量势能动能扰动位移距离上动能变化函数的自拌性：关于扰动位移的二阶微分方程：功消耗位能扰动位移距离上位能变化利用这个方程讨论约束等离子体平衡稳定问题等离子体假设等离子体边界为理想导电壁，电阻率为零，边界上等离子体没有运动则边界上的垂直位移应该为零：等离子体器壁矢量运算！略。第一项：正的，流体可压缩性的稳定作用。第二项：多数条件下是负的，可导致压缩梯度驱动的不稳定性。第三项：正的，磁张力的稳定作用，弯曲磁力线导致磁能增加。第四项：负的，导致电流驱动的不稳定性。如果等离子体边界处为真空，边界条件稍微复杂一些。在等离子体内部，根据欧姆定律等离子体真空线性化后有：电场的切向分量在边界上连续真空区域：磁矢势法拉第电磁感应等离子体真空边界条件1在等离子体内部：在等离子体边界处的理想导电壁：等离子体真空跨越等离子体边界上的压力应该连续跨越等离子体边界上的压力应该是连续的：真空等离子体在位移(扰动)边界上总压强必须连续：等离子体真空边界条件2各项展开，保留一级近似：边界上的位移方程边界上的势能表面扰动势能界面上的扰动势能：真空中的扰动势能：总是起稳定作用扰动势能小结等离子体真空跨越等离子体边界上的压力应该连续等离子体内部扰动势能变化界面上的扰动势能变化真空中的扰动势能变化两种等离子体不稳定性是什么？如何分析等离子体不稳定性？写出静态等离子体平衡方程及其变形形式，说明其物理意义.5.6瑞利－泰勒不稳定性5.6.1重力瑞利－泰勒不稳定性从日常的体验中，我们可以从物体“头重脚轻”联想到“不稳定”，因为这种状态很容易倾翻，变成“头轻脚重”。头重脚轻的状态实际上就是处于不稳定的状态，倾翻的过程，就是不稳定性发展的过程，也是物体势能降低的过程。对一般热力学体系的不稳定性而言，不稳定性发展的过程是自由能降低的过程。Rayleigh-Taylorinstability5.6.1重力瑞利－泰勒不稳定性在通常的流体中，当密度轻的流体试图支撑其上的密度比较中的流体时，系统的势能处于较高的位置。任何系统都有向势能最低的稳定态方向发展的趋势，所以一旦系统有一个小小的扰动，必然在界面处出现波动，使得重流体向轻流体渗透，这是系统一种不稳定性的表现称为瑞利－泰勒不稳定性。以上虽然讲的是重力瑞利－泰勒不稳定性，可以想见，如果由于其它的物理效应产生一个类似重力的等效力，同样可以产生瑞利－泰勒不稳定性。瑞利－泰勒不稳定性是通常可以碰到的。我们知道，油可以均匀的漂浮在水面上，但水却不能浮在油面上；将一杯水倒置，水一定会流出。这里水流下的原因并不是杯子里的水受到了净的向下的力，水的重力实际上与大气对水的压力是平衡的。水可以流出的原因是这种平衡是不稳定的，分界面一个小的涟漪，就使这种平衡遭到破坏，涟漪发展成水的整体下落.5.6.1重力瑞利－泰勒不稳定性流体模拟的瑞利-泰勒不稳定性5.6.1重力瑞利－泰勒不稳定性惯性约束核聚变太阳内部的聚变过程中当等离子体有密度梯度，或更极端一点，等离子体有一个明确的边界，磁场对等离子体的作用力平衡着等离子体的压力梯度，若同时在密度梯度的方向上存在着非电磁力（类似于重力），这种情况就与上述的流体发生瑞利－泰勒不稳定性的状态类似。下面我们分析一下磁流体中瑞利－泰勒不稳定性的图像。如图所示，设等离子体有一个锐边界（y=0），磁场垂直于纸面，在重力作用下，等离子体中的电子、离子成分会产生不同的重力漂移，等离子体中一个简单地物理图象:与离子成分相比，电子流体的漂移方向相反，但速度大小可以忽略。因而，在分界面开始有流体扰动的情况下（kx≠0），漂移运动会产生电荷分离，在表面积累电荷，从而产生电场。在此电场的作用下，离子与电子的流体电漂移方向与初始扰动方向一致，使扰动幅度增加，因此产生了不稳定性。xy讨论问题的出发点：磁流体方程组模型及假设等离子体在z轴方向上不均匀密度梯度及重力方向如图不考虑平衡流，即：首先考虑没有磁场的情况，再假设等离子体是不可压缩的:有：假设扰