证明举例-两线垂直（第4课时）（教学课件）-（沪教版）

沪教版八年级上册

第19

章几何证明19.2证明举例—两线垂直（第4课时）目录1

学习目标2

新课讲解3

课本例题4

课本练习6随堂检测7课堂小结5

题型讲解学习目标1．通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路；2．了解证明两线垂直的基本方法，会证明垂直的简单问题；在同一平面内，两条不重合的直线具有怎样的位置关系？在前几节课我们共同探究了证明两条直线平行的方法，接下来大家认为今天这节课，应该学习哪一类证明呢？为什么？为什么学习了证明平行后就学习证明相交的特例——垂直？价值何在？现在让我们一起来探究证明两条直线垂直的方法．如果两条直线的夹角为

角，那么就说这两条直线互相垂直。90°ABCDOABCDO12ABCDO12ABCDO12垂直的定义等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合ABCD基本图形等腰三角形的“三线合一”问1：要证明AD⊥BC可从那些口子切入？（可设AD与BC的交点为E）例7.已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且∠1=∠2。求证：AD⊥BC切入点1：把△ABC看成两个三角形，即△ABE与△ACE．切入点2：把△ABC看成一个三角形，由∠1=∠2，AE∠BAC的平分线．问2：如何推得AB＝AC？答2：证明全等三角形（图1）

问3：整个证明过程先从何处开始表述？答3：应先证明全等三角形得到AB=AC．例7.已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且∠1=∠2。求证：AD⊥BC证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC（已知）∴∠ABD=∠ACD=90°（垂直的定义）在△ABD与△ACD中∠1=∠2AD=AD∠ABD=∠ACD（已证）（已知）（公共边）∴△ABD≌△ACD（AAS）得AB=AC（全等三角形对应边相等）∵△ABC是等腰三角形，且∠1=∠2∴AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）例题8已知:如图，在点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F.求证:BF⊥AD.中,AC⊥BD,垂足为点C，AC=BC.分析：问1：要证明BF⊥AD.的关键是什么？答1：证明∠BFD＝90°（或∠BFA＝90°）问2如何证明∠BFD＝90°呢？在含∠BFD的△BFD中只要推得∠1＋∠B＝90°就行，而△ACD中，∠ACD＝90°，∠D是与△BFD的公共角，如能推得∠2＝∠1，那么如何推得∠2＝∠1呢答2：证明△BCE≌△ACD问3：如果走要证∠BFA＝90°这条路，该在哪两个三角形中来考虑问题比较方便呢？为什么？

答3：在△BCE和△AFE中考虑，因为已有∠BCE＝90°，∠3＝∠4，只要推得∠2＝∠1，就可推出∠BFA＝90°问4：两种思路共同的关键是什么？答4：共同的关键是证明△BCE≌△AFE，从而推出∠1＝∠2．

变式1：如图：点A、E在CB同侧，且AC⊥CB，EB⊥CB，D为CB上的一点，且AC=BD，CD=BE．求证：AD⊥DE．BAECD证明：∵AC⊥CB，EB⊥CB（已知）∴∠ACD=∠EBD=90°（垂直的定义）在△ACD与△DBE中CD=BEAC=BD∠ACD=∠EBD（已知）（已证）（已知）∴△ACD≌△DBE（SAS）得∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∵∠ADE+∠EDB=∠CAD+∠ACD∴AD⊥DE（垂直定义）∴∠ADE=90°（三角形外角性质）（等式的性质）12变式2：如图：点A、E在CB同侧，且AC⊥CB，EB⊥CB，D为CB上的一点，且AC=BC，CD=BE．求证：AD⊥CE．BEACDO证明：∵AC⊥CB，EB⊥CB（已知）∴∠ACD=∠EBD=90°（垂直的定义）在△ACD与△CBE中CD=BEAC=BC∠ACD=∠EBD（已知）（已证）（已知）∴△ACD≌△CBE（SAS）得∠1=∠2（全等三角形对应角相等）12变式3：如图，在△ABC中，AD=BD=CD，求证：AC⊥BCCABD如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形证明：∵AD=BD=CD（已知）∴∠DAC=∠DCA（等边对等角）∠DCB=∠DBC∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°（三角形内角和性质）∴2∠DCA+2∠DCB=180°（等量代换）∴∠DCA+∠DCB=90°（等式的性质）即∠ACB=90°∴AC⊥BC（垂直的定义）1.已知：如图，AB=AC，BE=CF，且AB⊥BE，AC⊥CF，点D在EF上，∠BAD=∠CAD．求证：AD⊥EF．分析：分别联结AE、AF，构造全等三角形，得到等腰三角形．课本练习证明：联结AE、AF.∵AB⊥BE，AC⊥CF(已知),∴∠B=∠C=90°(垂直的定义).在△OAC与△OBD中,AB=AC(已知),∠B=∠C(已证),BE=CF(已知),∴△ABE≌△ACF(S.A.S).∴AE=AF(全等三角形的对应边相等).

∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).又∵∠BAD=∠CAD(已知),∴∠3=∠4(等式性质).∵△OCD是等腰三角形,且∠3=∠4,∴OM⊥CD(等腰三角形的三线合一).

2.小明用如下两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗?画法一:（1）

画∠AOB;（2）以点O为圆心、任意长为半径画弧,分别交OA于点C，交OB于点D;（4）分别画射线OP、线段CD.则CD与OP互相垂直.（2）分别联结AC、BC,延长AC到点D,使CD=CA;（3）联结DB.则DB与AB互相垂直.画法二:随堂检测作法：(1)以点P为圆心作弧交AB于点E，F；(2)分别以点E，F为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于点C；(3)过C，P两点作直线CD，则直线CD为所求的垂线．已知：如图，点P是直线AB上一点，求作直线CD，使CD⊥AB于点P．2.尺规作图:经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.答：他们的判断是对的．因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．3.某地地震过后,河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端挂一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的直角项点,同学们由此确信房梁是水平的,他们的判断对吗?为什么?4.

已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.图②图①证明：(1)如图