线段的垂直平分线（教学课件）-（沪教版）

沪教版八年级上册

第19

章几何证明19.4线段的垂直平分线学习目标1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）ABNM复习引入线段的对称轴是什么？线段的中点线段的垂直平分线（线段的中垂线）PPPA=PB？ABP1命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。MN动手操作：在长方形纸上画一条线段AB，然后将纸对折，使得A点与B点重合。由此你能得到什么规律？P命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。ABPMNCPA=PB

直线MN⊥AB,垂足为C,

且AC=CB.点P在MN上.

已知：求证：证明：∵MN⊥AB(已知）∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直定义）在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC（已知）∠PCA=∠PCB（已证）

PC=PC（公共边）∴ΔPAC≌ΔPBC（SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等）性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。ABPMNC∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等)例1已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PCBACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：例1已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上（已知）∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）同理PB=PC∴PA=PB=PC（等量代换）BACMNM’N’PABPC性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。逆命题：ABPC性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知：

PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等三、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合例2：已知:如图,在ΔABC中,ON是AB的垂直平分线，OA＝OC。求证：点O在BC的垂直平分线上。ANBCO证明：连结OB∵ON是AB的垂直平分线（已知）∴OA＝OB（线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）∵OA＝OC（已知）∴OB＝OC（等量代换）∴点O在BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）练习：

已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：点P在AC的垂直平分线上证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上（已知）∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）同理PB=PC∴PA=PC（等量代换）∴点P在AC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）BACMNM’N’P1.如图,已知在AABC中,AB=AC=24cm,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F,且BCE的周长为34cm，求底边BC的长。课本练习解：∵EF是AC的垂直平分线

∴AE=CE

∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=34cm

∵AB=24cm

∴BC=34-AB=34-24=10cm2.已知:如图,CD垂直平分AB,AB平分∠CAD求证:AD∥BC.解：由CD垂直平分AB，得CA=CB，可知∠CAB=∠B。由AB平分∠CAD，得∠CAB=∠BAD。于是∠B=∠BAD，所以AD∥BC3.已知:如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AD于点F.求证:∠EAC=∠B.证明：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD又∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠EAC=∠B1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(

)A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点随堂检测C2.下列说法错误的是()A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称D3.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.3PABCDB4.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80°

B．70°C．60°D．50°BADECC5.如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______.ABCDE86.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.ABCEF【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点E∴EA=EB∵