基于lomb-scarg功率谱的非均匀含噪时域序列的研究

基于lomb-scarg功率谱的非均匀含噪时域序列的研究

图1中的曲线y1对应于0.25的信噪比。当p.f时，表示功率谱的大小和半波宽a和峰偏移度。曲线y2、y3、y4分别对应不同信噪比序列的傅立叶功率谱曲线。大采样间隔是一种典型的时间分布不均匀性情形,对应于实际观测数据中的数据缺失现象。模拟产生4个具有不同数据缺失比的非均匀含噪系列,各序列的长度T、统计量N和噪声强度都相同,然后在模拟序列中加入一周期信号。因此这4个序列具有相同的信噪比。最后对这4个序列进行Lomb-Scargle傅立叶变换,其功率谱结构如图2所示。图2中4条曲线分别对应序列中具有不同大采样间隔序列的功率谱,曲线y1、y2、y3、y4分别是数据缺失比为:0.025,0.125,0.25,0.5的4个序列的功率谱曲线。实际实验序列的长度T都是有限的,下面通过模拟方法来研究序列的长度对傅立叶功率谱的影响。在确定模拟序列的统计量N、信噪比ξ的情况下,通过改变序列的长度T,来研究信号谱峰的不确定度Δf、半波宽度a的变化,各模拟序列的参数及功率谱如图3所示。图3中y1对应着长度T=40序列的功率谱曲线,其功率谱大小P,半波宽度a及谱峰偏移度Δf等参数如图所示。y2、y3、y4分别对应着长度为:80,20,400序列的傅立叶变换功率谱。3虚假谱峰的信号分析从上述三种模拟分析中可以清楚的看到,序列的信噪比ξ、时间分布的非均匀性和有效长度都是影响其傅立叶变换功率谱结构的重要因素。在确定序列其他参数不变,序列的信噪比ξ对谱峰的大小P,不确定度Δf都有重要影响。从图1中的模拟结果可以发现信噪比越大,功率谱越小(对应的虚警概率越大,因此信号的显著性越高),谱峰的不确定度越大,但是信噪比对谱峰的半波宽度没有影响。序列时间分布的非均匀性可以在功率谱中产生虚假谱峰,如图2所示。序列的数据缺失比愈大,虚假谱峰愈显著。如图2d中,序列数据缺失比为0.5,对应的次极大虚假谱峰的显著性水平较高。序列数据缺失比越大,虚假谱峰结构也越复杂,因此真假信号的鉴别也越困难。但是虚假谱峰也有明显特点:虚假谱峰总是成对出现,并且关于主峰对称,另外离主频信号越远,次级虚假谱峰也越小。图3中的模拟结果显示,序列的长度是影响信号谱峰半波宽度的主要因素。序列越长,半波宽度越小即频率分辨率越高。在确定其他参数不变时,序列长度与半波宽度成反比,谱峰的不确定度也随序列长度的增大而减小,而序列长度对功率谱大小没有影响。因此在分离频率相近的多目标信号时,可以通过增加序列的有效长度,提高频率分辨率,从而准确地分离多目标信号。4时间分布的非均匀性引起的虚假谱峰通过上述模拟分析,重点讨论了时间序列的信噪比、时间分布和有效长度等参数对其Lomb-Scargle傅立叶变换功率谱的影响,得出如下结论:(1)序列信噪比是影响其功率谱大小的主要因素,信噪比越大,对应的功率谱越小,其虚警概率越大,因此信号显著性也越低。Lomb-Scargle算法的探测效率较高,可以准确地探测到信噪比很小的弱周期信号,另外序列信噪比对谱峰的不确定度也有影响。(2)时间分布的不均匀性是影响功率谱结构的重要因素,大采样间隔越大,虚假谱峰结构越复杂,显著性也越高。(3)序列的有效长度是影响主频信号半波宽度的主要因素,即序列长度越大,主峰半波宽度越小,对应频率分辨率越高。(4)Lomb-Scargle算法可以从信噪比较低的时间序列中准确地提取出弱周期信号,探测效率较高;功率谱频率的分辨率较高,时间分布的非均匀性引起的虚假谱峰结构特点鲜明。因此该方法是提取非均匀序列中弱周期信号的有效方法。受篇幅影响本文在讨论时间分布的非均匀性在功率谱中引起虚假谱峰的过程中,只讨论了大采样间隔这一种非均匀情形,没有讨论时间分布的随机性这一情形,这将是后续研究工作的重点。时域序列中可能存在的周期行为分析是生物医学、大气科学、天文学等学科领域的研究课题之一,描述这些周期行为的最常用方法就是傅立叶分析法。对于连续均匀分布的时域序列,通过普通的傅立叶分析可以获得很好的频谱图。但是,由于实验观测本身的原因,实际的观测数据在时域上都是不均匀的,并且含有大量的噪声,因此在进行傅立叶变换时,时域序列的非均匀性和有限长度等因素会在傅立叶变换的功率谱中产生虚假谱峰,此外由于噪声影响,周期信号的振幅和相位也可能存在较大的误差。为了解决普通傅立叶变换在处理含噪非均匀时域序列时存在的虚假谱峰、探测效率较低等问题,人们做了一些相关研究。1999年余建航,张曾锠等人采用时域平均处理的方法从非均匀的时域序列中提取出弱周期信号,研究结果发现周期测量误差对简谐分量的幅值和相位有较大影响。因为对序列的非均匀性进行均匀处理严重影响了序列的统计特性,不能很好表现序列中的高频信号。2001年,贾焕玉等人用周期折叠法从非均匀时域序列中寻找周期信号,并估计其相位和振幅,但是该方法只能给出序列中所存在周期信号的周期、振幅、相位,不能对周期信号的显著性进行准确估计。本文在模拟仿真的基础上,对有限长的含噪非均匀时域序列的Lomb-Scargle功率谱结构作了系统的分析;深入地研究了时间分布的非均匀性、噪声强度和序列的有效长度对傅立叶变换功率谱的影响;然后对功率谱中信号频率不确定度、虚假谱峰和半波宽度进行重点讨论。1功率谱pxf的基本概念对于连续均匀分布的时域序列,通过普通的傅立叶分析可以获得很好的频谱。但是实际的实验数据很难做到时域上的均匀,时域序列的不均匀分布在傅立叶变换时会产生虚假信号。由Lomb发展,经过Scargle进一步完善的Lomb-Scargle傅立叶变换法不仅能有效地从时域序列中提取出弱周期信号,还可以在一定程度上减弱时域序列的不均匀性产生的虚假信号。此外,该方法还能给出各个频率信号存在的虚警概率和显著性。对于时域序列X(tj),j=1,2,3…,N,其功率谱可定义为关于频率f的函数:这里Px(f)是频率为f的周期信号的功率;X(tj)是离散实验数据;tj是离散实验数据的时间,N为实验数据统计量,τ为时间平移不变量。功率谱Px(f)具有其他常用离散傅立叶变换所不具备的有用特性。首先,常量τ使得时间原点平移一个常数时,功率Px(f)保持不变。其次,该傅立叶分析法等同于正弦曲线的最小二乘拟合法;另外归一化后的功率谱PN(f)服从e-z的指数概率分布,定义:这里σ2是样本数据的总方差。对于任意频率f,其归一化功率PN(f)不小于z的概率为:假设z0是功率谱中M个独立频率中的一个最高峰,对应的频率为f0,任意独立频率信号功率小于z0的概率为1-e-z0,而每一个独立频率信号功率小于z0的频率的概率为[1-e-z0]M。因此,如果e-z0远小于1,功率不小于z0的概率即虚警概率可近似为:假设序列中存在频率为f0的周期信号,噪声和序列的有限长度会导致功率谱图中的谱峰偏离f0,在理论上偏离程度可以用如下公式近似表示:这里A为信号的幅度,σN是序列的均方差,T为数据总长度,N为序列统计量。另外,对于多信号情形,如果彼此相隔很近,多频率信号的相互调制作用可能使信号频率发生偏移(Kovacs1981);数据跨度的线性趋势也会导致给定频率信号的另一种偏移。2序列信噪比对光谱峰的影响对于非均匀的时域序列,采样时间的分布对该序列的频谱结构有很大的影响。针对天文学、生物医学等领域中实验观测数据的特点,本节以模拟的方法对背景噪声、时间分布的非均匀性和序列的有效长度对信号谱峰的显著性、不确定度、虚假谱峰和半波宽度的