一种多分辨分析小波阈值去噪方法

一种多分辨分析小波阈值去噪方法

1阈值去噪方法的应用在数据处理中，去除噪声信号一直是噪声去除的重要内容之一。采用的算法基于统计估计的原理，即使用一些噪声预防知识来估计最小散射噪声。1995年,D.L.Dohono在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的概念,由于此方法在Besov空间上可得到最佳估计值,而任何其他线性估计都达不到同样的估计结果,因此,阈值去噪的方法引起了世界范围内学者的广泛关注。除了斯坦福大学的D.L.Dohono和I.M.Johnstone继续对此方法进行较深入的理论研究外,耶鲁大学的R.R.Coifman、德克萨斯大学的Xiao-pingZhang、M.D.Desai等都对此方法作了进一步的研究和应用,在国内,西北工业大学的潘泉、戴冠中等,上海交通大学的李冲泥、胡光锐,北京理工大学的梅文博都拓宽了此方法的应用前景。但是由于此方法所采用的硬阈值函数和软阈值函数分别存在着一些缺陷,如硬阈值函数的不连续性,软阈值函数的导数不连续以及由他估计的小波系数与被处理的信号的小波系数之间存在恒定偏差等,而正是这些缺陷大大限制了这两种方法的进一步应用。本文提出了一种新的阈值函数,作为对传统的硬软阈值方法的改进。与原来的阈值函数相比,新阈值函数表达式简单、易于计算,而且具有无穷阶导数,便于进行各种数学处理等诸多优良数学性能,同时大大改善了硬软阈值方法的去噪效果,并且为小波阈值的自适应选择提供了可能,为更充分地发挥阈值去噪的优越性开辟广阔的前景。最后用仿真试验验证了新阈值函数在阈值去噪方法中的有效性和优越性。2小波变换一般方法设有如下观测信号:f(k)=s(k)+n(k)k=0,1,2,⋯‚N−1(1)f(k)=s(k)+n(k)k=0,1,2,⋯‚Ν-1(1)其中:s(k)为原始信号;n(k)为方差σ2的高斯白噪声,服从N(0,σ2)。对观测信号f(k)作离散小波变换,即:Wf(j,k)=2−j/2∑k=0N−1f(k)Ψ(2−j−k)j=0,1,2⋯‚J−1(2)Wf(j,k)=2-j/2∑k=0Ν-1f(k)Ψ(2-j-k)j=0,1,2⋯‚J-1(2)但在实际应用中,常采用Mallet算法来实现小波变换,即:Sf(j+1,k)=Sf(j,k)*h(j,k)Wf(j+1,k)=Sf(j,k)*g(j,k)(3)Sf(j+1,k)=Sf(j,k)*h(j,k)Wf(j+1,k)=Sf(j,k)*g(j,k)(3)相应的小波重构公式为:Sf(j−1,k)=Sf(j,k)*h˜(j,k)+Wf(j,k)*g˜(j,k)(4)Sf(j-1,k)=Sf(j,k)*h˜(j,k)+Wf(j,k)*g˜(j,k)(4)其中:J为最佳尺度;h和g分别是尺度函数ψ(t)和小波函数Ψ(t)对应的低通和高通滤波器;h˜h˜和g˜g˜分别是h和g的共轭;Sf(0,k)为原始信号;Sf(j,k)为尺度系数;Wf(j,k)为小波系数,以下简单记为wj,k。由以上小波变换算法可以看出,他是线性变换,所以对f(k)=s(k)+n(k)做离散小波变换后,得到的小波系数wj,k仍由2部分组成,一部分是信号s(k)对应的小波系数Ws(j,k),记为uj,k,另一部分是噪声n(k)对应的小波系数Wn(j,k),记为vj,k。D.L.Dohono提出的小波阈值去噪方法非常简洁,在最小均方误差意义上是有效的并且能达到较好的视觉效果,其主要的理论依据为:属于Besov空间的信号在小波域内其能量主要集中在有限的几个系数中,而噪声的能量却分布于整个小波域内,因此经小波分解后,信号的系数要大于噪声的系数,于是可以找到一个合适的数λ作为阈值(门限,)当wj,k小于该阈值时,认为这时的wj,k主要是由噪声引起的,并置为零,予以舍弃;当wj,k大于该阈值时,认为这时的wj,k主要是由信号引起的,则把这一部分的wj,k直接保留下来(硬阈值方法)或者按某一固定量向零收缩(软阈值方法),然后由新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号。3阈值函数的选择硬、软阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用,也取得了较好的效果,但这些方法本身还存在一些缺陷,在硬阈值处理过程中,得到的估计小波系数值连续性差,即wˆw^j,k在±λ处是不连续的,利用wj,k重构所得的信号可能会产生一些振荡;而软阈值方法中估计小波系数wˆw^j,k虽然整体连续性好,但是由于当小波系数较大时,wˆw^j,k与wj,k之间总存在恒定的偏差,这将直接影响重构信号与真实信号的逼近程度,给重构信号带来不可避免的误差。本文构造的新的阈值函数,能有效的弥补以上所述的硬、软阈值方法的不足,是硬、软阈值方法很好的一个改进方案。新阈值函数如下所示,图1为其示意图,其中取a=0.5:wˆj,k={wj,k−aλ+2aλ1+exp(x)|wj,k|≥λ(0≤a≤1)0|wj,k|<λw^j,k={wj,k-aλ+2aλ1+exp(x)|wj,k|≥λ(0≤a≤1)0|wj,k|<λ该方法思路很简单,也很通俗,去噪效果很好。由于软阈值方法估计出来的小波系数wˆw^j,k的绝对值总比wj,k要小λ,而影响了重构精度,所以要设法减小此偏差,但这种偏差减小为零(硬阈值方法情况)也未必是最好的,因为wj,k本身就是由uj,k和vj,k组成的,他可能由于vj,k的影响而使|wj,k|>|vj,k|(对于大多数的wj,k来讲),而我们的目的是使∥wˆj,k−uj,k∥∥w^j,k-uj,k∥最小,因此使|wˆw^j,k|的取值介于|wj,k|-λ和|wj,k|之间可能会使估计出来的小波系数wˆw^j,k更加接近于uj,k,基于这一思想构造了该阈值函数。考察此函数:f(x)=x−aλ+2aλ1+exp(x)f(x)=x-aλ+2aλ1+exp(x)可知,当a分别取0和1时,上式即等效于硬阈值、软阈值函数;当a取0和1之间的数,x→±∞时,有|f(x)-x|→aλ,也就是说,随着|wj,k|的增大,wˆw^j,k和wj,k的偏差的绝对值逐渐减小为aλ,所以大大减小了软阈值方法中产生的恒定偏差,提高了重构精度,改善了去噪效果。可见相对于硬、软阈值函数,新阈值函数是一个更优、更灵活的选择,只要在0和1之间适当的调整a的大小,就可以获得更好的去噪效果。另外,传统的软阈值函数的导数不连续,而在实际应用中经常要对一阶导数甚至高阶导数进行运算处理,所以这也限制了该方法进一步的深入发展和广泛应用。而新阈值函数具有无穷阶连续导数,便于进行各种数学处理,为小波阈值的自适应选择提供可能,以便更高效的发挥阈值去噪的优势。因此与传统的硬、软阈值函数相比,新阈值函数具有明显的优势和广阔的应用前景。4新阈值去噪性能为了说明新阈值函数在去噪算法中的有效性和优越性,分别采用传统的硬、软阈值函数和新阈值函数进行了大量的去噪试验。从大量的试验中可以清晰地看到新阈值函数的去噪效果确实非常好。另外,由于阈值λj的选取比较灵活,有多种选取规则,大量的试验结果显示,不同的阈值λj会影响到以上3种方法的去噪性能,其中,硬、软阈值方法对λj的依赖性较强,其稳定性较差,而且对给定的λj,硬、软阈值方法中至少有一个效果不太好;而新阈值方法则不管阈值λj如何选择,只要在0和1之间适当调整a的大小,他的去噪效果总是明显优于硬、软阈值方法,具有很强的稳定性,所得重构信号的信噪比增益比硬、软阈值去噪方法有了明显提高,均方误差有了明显降低。表1采用的试验信号为信噪比为10的Bumps信号,采用的小波基是Sym4小波,最大分解尺度J取为4,新阈值函数中a=0.2,阈值λ取在每一尺度上可变的λj,即λj=σ2lgN−−−−−√/lg(j+1)‚σ2λj=σ2lgΝ/lg(j+1)‚σ2为噪声方差,j为分解尺度,N为信号长度。表2是采用另一组λj所得到的结果:表1和表2的数据很好地说明了以上结论。5新阈值函数的特性本文提出了一种新的阈值函数,与传统的硬、软阈值方法相比,去噪效果无论在视觉上还是在去噪后信号的信噪比和均方误差意义上都有了明显改善,而且新阈值方法很灵活,且具有很好的稳定性。特别地,新阈值函数具有连续的无穷阶导数,而且对于阈