基于高斯白噪声的最佳接收机性能研究

基于高斯白噪声的最佳接收机性能研究

随着通信技术的快速发展，提高数字通信的可靠性已成为一个现实问题。特别是，高速计算机进入通信领域后，人们对数字通信网络的差异得到了控制。数字信号在通信系统中传输时,因系统特性不理想和信道中有噪声干扰而引起数字信号波形失真,在接收判决时可能误判而造成误码。信道中的噪声干扰随机地与信号叠加,使数字信号变形,这种噪声为加性噪声,信道中加性噪声的出现及其大小都是随机的。若噪声的n维分布都服从高斯分布,这类噪声统称为高斯噪声,它造成的误码前后无关,互为独立。若噪声的功率谱密度在整个频率范围内是均匀的(即是一个常数),则称之为白噪声。既服从高斯分布而功率谱密度又是均匀分布的噪声称为高斯白噪声。国内外的专家学者一直致力于研究在随机干扰存在的情况下如何最好地接收数字信号。作者从加性高斯白噪声信道最佳接收机的性能研究入手,重点探讨了获得最佳接收机的有效途径。1信号的信号条件在二进制通信系统中,由0和1组成的二进制数据采用两个信号波形S0(t)和S1(t)来传输。假设数据速率为Rbit/s,发送每个比特都根据如下规则映射为相应的信号波形:0→S0(t)0≤t≤Τb；1→S1(t)0≤t≤Τb0→S0(t)0≤t≤Tb；1→S1(t)0≤t≤Tb其中Tb=1/R是比特时间间隔。若数据比特中0,1出现的概率相同,且是相互统计独立的,信道在传输信号时还叠加有功率谱为N0/2W/Hz的高斯白噪声n(t),这种信道称为加性高斯白噪声(AWGN)信道。接收信号波形为:r(t)=Si(t)+n(t)i=0‚10≤t≤Τbr(t)=Si(t)+n(t)i=0‚10≤t≤Tb接收机的任务是根据在时间间隔0≤t≤Tb内所收到的信号r(t)来确定发送的是0还是1。根据尽可能减少差错的原则所设计的接收机称为最佳接收机。加性高斯白噪声信道的最佳接收机是由信号相关器(或匹配滤波器)、判决器两个模块组成的,如图1所示。2关于机座的性能的研究2.1信号相关器t的两种发送信号S0(t)和S1(t)与接收信号r(t)的互相关运算(图1),在时间间隔0≤t≤Tb内计算两个输出,在t=Tb时对输出进行抽样,并送入判决器。假设发送信号S0(t)和S1(t)的波形如图2所示,当发送信号S0(t)时,接收信号为:r(t)=S0(t)+n(t)0≤t≤Τb由于两个信号波形是正交的,存在∫Τb0S0(t)S1(t)dt=0,因此,在t=Tb抽样时刻相关器输出为r1=∫Τb0r(t)S1(t)dt=∫Τb0S0(t)S1(t)dt+∫Τb0n(t)S1(t)dt=n1r0=∫Τb0r(t)S0(t)dt=∫Τb0S20(t)dt+∫Τb0n(t)S0(t)dt=E+n0式中:n0,n1为信号输出的噪声分量,n0=∫Τb0n(t)S0(t)dt,n1=∫Τb0n(t)S1(t)dt;E为信号S0(t)和S1(t)的能量,E=∫Τb0S2(t)dt=A2Tb。当发送信号S1(t)时,接收信号为r(t)=S1(t)+n(t)‚0≤t≤Τb容易得出,此种情况下信号相关器的输出为r0=n0‚r1=E+n1相关器(无噪声情况)输出波形如图3所示。因为n(t)是功率谱N0/2的高斯白噪声的抽样函数,那么容易证明噪声分量n0和n1分别是均值为0、方差为σ2i(i=1,2)的高斯过程。所以,当发送S0(t)时,r1是一个均值为0、方差为σ2的高斯过程,而r0是一个均值为E、方差为σ2的高斯过程;当发送S1(t)时,r0是一个均值为0、方差为σ2的高斯过程,r1是一个均值为E、方差为σ2的高斯过程。2.2脉冲信号h0和s1t的输出匹配滤波器可以代替信号相关器进行信号r(t)的解调。一个与输入信号波形S(t)(0≤t≤Tb)相匹配的滤波器的脉冲响应为:h(t)=S(Τb-t)0≤t≤Τb(1)其输出信号波形y(t)可由卷积积分y(t)=∫t0S(τ)h(t-τ)dt(2)给出。用(1)式得出的h(t-τ)代入(2)式,有:y(t)=∫t0S(τ)S(Τb-t+τ)dt如果在t=Tb时刻对y(t)进行抽样,则得到:y(Τb)=∫Τb0S2(t)dt此时,匹配滤波器的输出与信号相关器的输出是相同的。对S0(t)和S1(t)两种信号采用匹配滤波器进行解调,先从S(t)得到S(-t),再将S(-t)延迟Tb得到S(t-Tb),最后获得脉冲响应(如图4所示):h0(t)=S0(Τb-t)h1(t)=S1(Τb-t)若发送信号为S0(t),接收信号r(t)=S0(t)+n(t)经过上述两个滤波器,得到的脉冲信号h0(t)和h1(t)的输出响应如图5所示。因此,在t=Tb抽样时刻,两个脉冲响应h0(t)和h1(t)的匹配滤波器的输出分别为:r0=E+n0r1=n1显然,这两个输出与t=Tb时刻抽样相关器输出信号是相同的。2.3关于平均误差和信噪比判决器是根据相关器或匹配滤波器的输出r0和r1来判决发送信号的波形是S0(t)还是S1(t)。对于信号相关器而言,这两个发送信号等概率,并且具有相等的能量。最佳判决器将比较r0和r1,并作出判决:当r0>r1发送为“0”,当r1>r0发送为“1”。判决器的差错率可由下面的推导得到。当S0(t)为发送信号波形时,其差错率为:Ρe=Ρ(r1>r0)=Ρ(n1>E+n0)=Ρ(n1-n0>E)因为n0和n1都是零均值的高斯随机变量,它们的差x≡n1-n0也是零均值的高斯随机变量,其方差为:E(x2)=E?(n1-n0)2⌋=E(n21)+E(n20)-2E(n1n0)又信号波形是正交的,E(n1n0)=0,则E(x2)=2(EΝ0/2)=EΝ0=σ2x所以,差错率为:Ρe=1√2πσx∫∞Ee-x2/2σ2xdx=1√2π∫∞√E/Ν0e-x2/2dx=Q(√EΝ0)同样可以证明,发送S1(t)信号波形时获得的差错率与发送S0(t)时相同。因为在数字序列中0和1是等概率的,所以上式给出的是平均差错率。有时,要求将符号差错率转变为等价的二进制数字误码率。对于等价的正交信号,所有符号差错发生的概率都是等价的,且为:PM/(M-1)=PM/(2k-1)k比特中的n比特出错的方式有(kn)种,因此,每k个比特符号的平均差错比特数为:k∑n=1n(kn)ΡΜ2k-1=k2k-12k-1ΡΜ上式除以k恰好得到平均误码率。于是,每一符号的比特数为:Ρb=2k-1ΡΜ/(2k-1)当M=2,4,8,16,32,64时,二进制数字误码率和信噪比Eb/N0间的函数关系如图6所示,这里Eb=E/k是比特能量。可以看出,它与信噪比存在着一定的关系。信噪比用对数表示为(10log10E/N0),