2024年高考数学复习：11 三角函数性质、最值和w小题归类（解析版）

11三角函数性质、最值和W小题归类 1 1 5 7 【题型八】最值与范围4:分式型 【题型九】最值与范围5:绝对值型 【题型一】图像与性质1:“识图”【典例分析】,,的最大值为9,则m的值为()令令,转化为求y=-2r²+4mt+1的最大值问题.,,,,,,,,因,【提分秘籍】确定y=Asin(wx+j)+b(A>0,w>0)(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则(2求0;确定函数的周期T,则可(3)求9:常用的方法有代入法和五点法.交点是在上升区间上还是在下降区间上).【变式演练】的部分图象如图所示，则满足条的部分图象如图所示，则满足条的最小正整数x为【答案】2【分析】先据图求出解析式，在解得两个可转为特殊角的三角函数值，解不等式验证最小正整数即可.的最小正周期),可看作五点作图法中的第二个点，的最小正周期),可看作五点作图法中的第二个点，得T=π,所以w=2,所以f(x)=2cos(2x+φ).点,得,所以.。当x=2时，。符合题意，所以满足题意的最小正整数x为2.上的最低点和最高点，若P、Q两点间的距离为5,则关于函数g(x)=Acos(ox-2φ)的说法正确的是()得到函数g(x)的解析式，进而判断函数g(x)在区间的单调性.如图，过点P作y轴的垂线，过点Q作x轴的垂线，设两垂线的交点为B,1,得A=4,5,由函数f(x)的图像经过点Q(1,2)可得得12k+7≤x≤12k+13(k∈Z),,∴当k=0时g(x)在区间[1,7]上单调递减，故选C.)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移单位长度D.向右平移个单位长度【分析】先由图用“求出0,由求出9,由f(O)=√3求出A=√3,;运用二倍角公式和辅助角公式化简,【典例分析】【详解】故选C.【提分秘籍】基本规律1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解2.利用图像观察求解。4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期(需要证明是否是最小正周期)【变式演练】【答案】B【分析】画出f(x)=1+2sin2【详解】sin2x|的最小正周期为()x图象，再利用图象翻折得到f(x)=|1+2sin2x|观察图象可得周期.【点睛】本题考查三角函数型的图像与性质.三角函数周期的求解公式法：y=Asin(wx+j)+t或y=Acos(wx+j)+t的最小正周期为的在区间有三个零点x,x₂,x₃,且x₁<x₂<x₃,若则f(x)的最小正周期为()A.B.【答案】C【分析】根据题意，知当时，由对称轴的性质可知和即可求有三个零点x₁,x有三个零点x₁,x₂,x₃,A.f(x)的最小正周期为π,最小值为1B.f(x)的最小正周期为π,最小值为-3C.f(x)的最小正周期为2π,最小值为1D.f(x)的最小正周期为2π,最小值为-3【分析】首先利用余弦倍角公式，将式子进行化简，使得解析式中只有一个函数名，之后进行配方，结合【题型三】图像与性质3:正余弦函数的对称轴【典例分析】,若方程f(x)=a恰好有三个根，分别为x,x₂,x₃(x₁<x₂<x₃),则【详解】【提分秘籍】【变式演练】在上的最大值为()【答案】A,,即,即,时，即,若关于x的方程f(x)+k=0在区间,若关于x的方程f(x)+k=0在区间BB,;从而可得.,利用数形结合的方法求解即可.),作，),作，∴上有两个不同∵关于x的方程f(x)+k=0在区间[0,上有两个不同,:的图象的相邻两个对称轴之间的距离为且Vx∈R恒有,,若存在成立，则b的取值范围为.根据正弦函数的性质确定f(x)的最值，最后由不等式恒成立求参数范围即可.由f(x)相邻两个对称轴之间的距离为故对称，即,故【题型四】图像和性质4:对称中心【典例分析】同，若.范围是【答案】,【详解】,【提分秘籍】【变式演练】.0是函数/0)的一个对称中心，则函数/在上的取值范围是()A.(-1,√5)B.(-1,2)D.[-1,2]【答案】B可得.(k∈Z),则o=2+4k,(k∈Z),则o=2,A.(-x,-1)U(1,+x)B.(-1,0)U(1,+x)C.(-o,-1)U(0,1)D.(定解集.【答案】B0)对称时，x2-x最小，即可求出答案.;(舍去),在第一象限，∴取(舍去),,【答案】D),,再利用换元法令),,再利用换元法令).,).,,文文,,,,所以故选D.2.已知当时，函数f(x)=asinx+cosx取【答案】B可得答案.可得答案.、,在(0,π)上有两个不等实根，则正整数3.若存在正整数m使得关于x的方程nsinx+(1+mn)co在(0,π)上有两个不等实根，则正整数【答案】4有两个不等实根，故即可得出答案.,①对任意m,n∈N*,恒成立.由②得3mn<4n-3,存在m∈Z*,成立，【题型六】最值与范围2:一元二次正余弦有界性【典例分析】A.a≤-2√3+1B.a=-2√3+1C.a≤-7D.a=-7【答案】D【分析】【详解】,则;不满足题意，的子集，此时m-m的最大值为不满足题意，的子集，此时m-m的最大值为显然对任意x∈R恒成立，此时m-n无最显然对任意x∈R恒成立，此时m-n无最大值；故C错；,的子集，此时m-n的最大值为满足题意，由题意可得，(n,m)的子集，此时m-n的最大值为满足题意，;。;。【提分秘籍】【变式演练】则函数y=sinα-cos²β的值域是(则函数y=sinα-cos²β的值域是(【详解】因为sina+sinβ=1,所以sina=1-sinβ,因为sina+sinβ=1,所以O≤sinβ≤1,所以,所以故函数y=sina-cos²β2.已知a,b∈R且对任意x∈R,不等式acosx+2bcos2x>1无解，当实数b取得最大值时，方程根据余弦函数的二倍角公式将不等式acosx+2bcos2x>1转化为4bcos²x+acosx-2b-1>0,再令cosx=t,,故答案为：322.若cos²O+2msinO-2m-2<0对任意实数θ恒成立，则实数m应满足的条4当x=m≤0或O<x=m<1或x=m≥1时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.【详解】∵cos²θ+2msinθ-2m-2<0:1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-sin²θ+2msinθ-2m-1<0.则f(x)<f(I)=-1+2m-2m-1=-2<0,即m≥1【题型七】最值与范围3:sinx与cosx积和(差)换元型【典例分析】函的值域为()A.(-√Z+1,√2+1)B.(-√Z+1,√Z+1)C.【答案】D,将f(x)转化为关于1的二次函数，利用二次函数的性质求解值域.2sinxcosx=f²-1,则f(x)=f²+t-1,t【提分秘籍】基本规律【变式演练】【分析】令sinx-cosx=t,函数化为]1,利用二次函数的性质即可求出.【详解】3.函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为则用换元法，设t=sinx-cosx,则值域.【典例分析】A.B.-1C.-√2【详解】【提分秘籍】【变式演练】的最大值为M(a),最小值为m(a),则()A.3a₀∈R,M(a₀)·m(a₀)=2【分析】定理，即可得到答案.a(sinx-ycosx)=(a²+2)(y-1),即A.1则f(x)的最小值为()【答案】B【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间(0,2)的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.【详解】又因为的最小值与函数在区间[0,2]的最小值相同，,当且仅当即的最小值2.的最小值2.的最大值为(其中(其中【题型九】最值与范围5:绝对值型【典例分析】若函数f4)=a+bcosx+csnx的图象经过点(0.)和,且当时，If(x)|≤2恒成立，则实数a1,解得a≤4+3√2,又a>1,从而1<a≤4+3√2.【提分秘籍】【变式演练】A.[l.√5]B.[1,2], 【题型十】三角换元1:圆代换,所以因为Θ∈[π,2π],所以【提分秘籍】(xa)²+(y-b)²=R²的参数方程是：【变式演练】【分析】【详解】【1【分析】首先由数量积公式可得∠AOB=120°,再根据绝对值的几何意义得表示两点AB分别到直线x-2y=0的距离之和，再以直线x-2y=0为x轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示h,根据角的范围求值域.表示两点A,B分别到直线x-2y=0的距离之和.取直线x-2y=0为x轴重新建立直角坐标系后，则h表示两点A,B分别到x轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设A(cos0,sinθ),B(cos(O+120°),sin(O+120°))。由对称性，不妨设点B在x轴上或上方，即-120⁰≤θ≤60°.,,,【典例分析】将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.,又x,y为非负实数，Q(x+y)²=x²+y²+2xy≥4x, 时，θ+φ取得最大值，,【提分秘籍】1.二次型双变量可以三角换元2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元。【变式演练】1.已知实数x,y满足4+9°=1,则2+¹+3【解析】的取值范围是A.6√2-5B.6V2-7C.【详解】因为实数x,y满足,设x=√Zcosθ,y=sin0,:|x²+y²-2|+|x²+y²-6x+7|H2cos²O+sin²O-2|+12cos²O+sin²O-6√ZcosO+7H:|x²+y²-2|+|x²+y²-6x+7|=sin²O+cos²0-6V【题型十二】三角换元3:无理根号代换【典例分析】解：因为y=√x-4+√18-3x所以解得4≤x≤6,令x=4+2sin²t,【提分秘籍】通过本专题注意总结积累无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征3.式子可能具有“轮换特征”【变式演练】【答案】8.【详解】由4-x²≥0可得-2≤x≤2,即函数的定义域为[-2,2]。所以设x=2cosθ,θ∈[0]则y=2cosθ-√4-4cos?6=2cosθ-2sinθ=2√Z(cosθ-s3.设r,t∈R满足r-2√t-2Vr-t+1=0,则r的取值范围是..【答案】[3-2√2,3+2√2]【详解】【题型十三】三角换元4:正切代换【典例分析】设a≥0,则的最小值是讨论的最小值即可【详解】∵a≥0,∴可令a-【提分秘籍】基本规律适当掌握万能代换公式。并且万能代换还能用于二选一题4-4的消参。具体参考高考题2019年新课标1第22题，如下，消参方法之一，就是万能代换。,,在曲线C的参数方程为(t为参数)的最大值和最小值分别为()A.1,-1B.,再根据二次函数的性质即可求出结果.,【典例分析】的最大值是,最小值是.【分析】进而表示b?c,作图分分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.【详解】大值为16;显然β在第四象限，因,所以-45<b<0,即0<-b<45?9090-b<135?90a<9由①中0<j<45,即90<90+atj<qtj?180j<225【提分秘籍】【变式演练】【分析】,b?c的最大值是,最小值是,则进而表示a?作图分;利用分类讨论c与a,b的投影的正负，以c与a垂直，c与b垂直作为分界线，从而【详解】0<-b<45?9090-b<135?90a<90-b+a<135+a<2290<90-b<q-b?90b+a由①中0<j<45,即90<90+a+j<qtj?180j<225其中x、y∈R,则x+y的最大值是()【答案】B可得A(1,0),可得A(1,0),,,∴x+y=cosO+√Ssinθ=2sin(O+30°),:0D,8-a,8-a与一6的夹角为,|ā-6|=2V3,|ē-b|=2,由ā,b的夹角为,E-a与-b的夹角为可知：四点O,A,B,C共圆，然后结合正弦定理与三角函数求,,【题型十五】三角函数中w求解【典例分析】的一条对称轴，且f(x)在上单调递减.记满足条件的所有0的值的和为S,则S的值为()【答案】A【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或或或或或算出0的大致范围，验证即可.∴,或上单调递减，满足f(x)在上单调递减，②当时，取k=0知；此时.),当此时f(x)在上单调递增，舍去【提分秘籍】求0题型多为难题，规律不明显，大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或”零【变式演练】1.已知向量a=(sinox,cosox),b=(1,-1)交点的横坐标都不属于区间(3π,4π),则0的取值范围是()【答案】B【解析】,由对称轴当k=1,2,3 ,,且f(x)在上单调，则o的最大值为【答案】5取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对0赋值验证找到适合的最大值即可.所以单调递减，满足题意，所以0的最大值为5.3.已知定义在>0)的最大值)则正实数0的取值个数最多为A.4B.3【答案】C的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数0的取值个数.【详解】①当时，即o≥4②当时，即O<o<4,根据正弦函数的单调性可知，y=sinx在上单调递增，所以【题型十六】数列与三角函数【典例分析】只含有4个元素，则t的可能取值有()个A.2【答案】C【分析】考虑t≤3不符合题意，t=4,6,7,8时，列举出满足条件的集合，再考虑t=5时不成立，得到答案.【详解】,根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；,满足条件；,满足条件；2在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；【变式演练】f,(x)=m总有两个不同的根，则{a。}的通项公式是a,=【答案】【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得a-a=nπ,再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解.【详解】由题意，因为a₁=0,当n=1时，f(x)=|s又因为对任意的实数m∈[0,1],对任意的实数m∈[0,1],f(x)=mf(x)=m总有两个不同的根，所以a₂=π,总有两个不同的根，所以a₃=3π,对任意的实数m∈[0,1],f(x)=m总有两个不同的根，所以a₄=6π,所以.故答案为【答案】10200,所以【详解】因为,所以a₄n-2=-(4n-2)²,a₄n-=-(4n)²3.设数列(au)是首项为0的递增数列，l,x∈[an,an+j](n∈N*),满足：对于任意的b∈(0,1),fn(x)=b总有两个不同的根，则{an}的通项公式为【详解】试题分析：根据条件确定an+1-an=nπ,利用叠加可求得{an}的通项公式.又∵对任意的b∈(0,1),fi(x)=b总有两个不同的根，∴a₂=π∵对任意的b∈(0,1),f₁(x)=b总有两个不同的根，∴a₃=3π…EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(∵),由)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(对),此)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(任),可)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(意),得)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(的),an)【答案】B【分析】【详解】由图象及J,所以,【答案】4【解析】【详解】考点：1、函数y=Asin(ox+φ)的图像与性质；2、圆的方程.【方法点晴】本题主要考查函数y=Asin(ox+φ)的图象与性质和圆的方程，综合性较高，属于较难题型.解决本题的关键是由f(x)图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点这一条件判断出f(x)的T=2k(不妨取k>0),进而可得最大值点在圆上(用最小值点也可以),从而代入圆方程