专题1.15 有理数（分类讨论问题）（综合练）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题1.15有理数（分类讨论问题）（综合练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）一条数轴上有两点A与B，已知点A到原点O的距离为2，点B至点A的距离为5，则点B所表示的数可能是（）A．7或 B．或3 C．7或 D．7，，3或2．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上，两点到原点的距离分别是和，则，两点间的距离是（

）A． B．或 C． D．或3．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）在数轴上点A表示的数是1，到点A的距离是3个单位长度的点表示的数是（

）A．3 B． C． D．4或4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，则的值是（

）A． B． C．无意义 D．或无意义5．（2023·浙江·七年级假期作业）若数轴上点表示1，且，则点表示的数是（

）A． B．5 C．或5 D．或46．（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长长的线段，则线段盖住的整点有（

）个．A．2018或2019B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或20227．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）若，则是（

）A． B． C． D．以上都不对8．（2020秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．以上都不对9．（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上与距离等于个单位的点所表示的数是（

）A． B． C． D．或10．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）若，，且，那么的值是（

）．A．5或13 B．5或 C．或13 D．或填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022秋·山东临沂·七年级校考期中）点A是数轴上一点，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是．12．（2022秋·江西九江·七年级统考期中）已知数轴上点表示的数的绝对值等于，如果点表示的数与点表示的数的距离等于，那么点表示的数是．13．（2022秋·江苏常州·七年级统考期中）数轴上有A、B两点，点A表示8的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，在数轴以1单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为单位长度．14．（2023·浙江·七年级假期作业）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将点A沿着数轴向右移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数是．15．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图所示，在数轴上存在A、B、C三点，已知A点表示的有理数是，B、C两点表示的两个数分别为x、y，且x、y满足．在数轴上存在一点P，满足．则P点所表示的数为．16．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知，的相反数为，则．17．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）点、、是数轴上的三个点，且，已知点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．18．（2023·浙江·七年级假期作业）已知在数轴上A点表示数，点B表示数5，数轴上另有一点P到点A、B的距离之和是9，则点P表示的数为.三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2022秋·四川宜宾·七年级统考期中）如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题：（1）将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？（2）将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？（3）怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？20．（8分）（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．（1）探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x．

填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是______；（2）解决问题：①直接写出式子的最小值为_______；②直接写出不等式的解集为_______；③当a为_______时，代数式的最小值是2．（直接写出结果）21．（10分）（2022秋·云南昆明·七年级统考期中）问题探究：（1）如图①，将两根长度为6的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，第一根的两端分别与数轴上表示2的点和点A重合，第二根的两端分别与数轴上点A和点B重合，则图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____；（2）如图②，将一根未知长度的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与数轴上的点D重合．若将木棒沿数轴向右移动，当它的左端移动到点D时，右端在数轴上所对应的数为26；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端移动到点C时，左端在数轴上所对应的数为2．由此可得这根木棒的长为_____；（3）在（2）的条件下，若数轴上有一点P，点P到木棒中点的距离为16个单位长度，则点P所表示的数是_____．22．（10分）（2022秋·广东韶关·七年级校考期中）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．（1）请在数轴上画出表示A、B的点；（2）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁O恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？23．（10分）（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点从点出发以每秒个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）．（1）当时，点表示的有理数为______，当点与点重合时，的值为________；（2）在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点与点的距离．（用含的代数式表示）24．（12分）（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．（1）当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；（2）在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；（3）当线段的长为7时，直接写出t的值．参考答案1．D【分析】首先根据点A和原点的距离为2，则点A对应的数可能是2，也可能是．再进一步根据A和B两点之间的距离为5求得点B对应的所有数．解：∵点A和原点O的距离为2，∴点A对应的数是．当点A对应的数是2时，则点B对应的数是或；当点A对应的数是时，则点B对应的数是或．∴点B所表示的数可能是3或或7或，故选：D．【点拨】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．2．D【分析】分、两点表示的数同号与异号两种情况讨论，即可求解．解：、两点表示的数同号时，，两点间的距离是或，、两点表示的数异号时，，两点间的距离是或，，两点间的距离是或．故选：D．【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，分类讨论是解题的关键．3．D【分析】分类讨论：点B在A点左边，则点B表示的数为；若点B在A点右边，则点B表示的数为．解：因为点A表示数1，点B与点A相距3个单位，若点B在A点左边，则点B表示的数为；若点B在A点右边，则点B表示的数为，即点B表示的数为4或．故选：D．【点拨】考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是分两种情况进行讨论，一种为在点A的左边时，另一种为在点A的右边时．4．D【分析】分，两种情形计算即可．解：当时，∵，∴，∴；当时，∵，∴，∴无意义，∴的值是或无意义，故选D．【点拨】本题考查了相反数的意义，及其商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．5．C【分析】分点B在点A左侧和右侧两种情况，利用数轴上两点间的距离公式求解即可．解：当点B在点A左侧时，点B表示的数为；当点B在点A右侧时，点B表示的数为；∴点B表示的数为或5，故选C．【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6．D【分析】分线段的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则长的线段盖住1个整点，∵，∴的线段AB盖住2021或2022个整点．故选：D．【点拨】本题考查了数轴，解题的关键是根据题意得到找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点并注意利用分类讨论思想解答．7．C【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．解：∵，∴．故选：C．【点拨】解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．8．C【分析】利用绝对值的意义可得，解出的值即可．解：，，或，故选：．【点拨】本题考查了含有绝对值得方程，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键．9．D【分析】在数轴上与距离等于个单位的点，可分为在表示的点的左边和右边两种情况，分别求出即可．解：设与距离等于个单位的点所表示的数为，由题意得：，，或，故选：D．【点拨】本题考查数轴上两点距离，掌握数形结合思想是解决此类题型的关键．10．D【分析】根据，，且，得到，，代入计算即可．解：∵，，且，∴，，∴或故选D．【点拨】本题考查了绝对值的化简计算，正确化简绝对值，灵活计算是解题的关键．11．4或.【分析】分数轴上原点左、右两侧考虑，与原点距离为4的点有两个，即得答案．解：由题意知，点A所表示的数是为4或．故答案为：4或.【点拨】本题考查数轴表示数，需注意到有原点左右两侧两种情况．12．或或【分析】首先根据题意得出点表示的数，再分情况求出点表示的数．解：数轴上点表示的数的绝对值等于，点表示的数为或，当为时，点表示的数与点表示的数的距离等于，，，即点表示或；当为时，点表示的数与点表示的数的距离等于，，，即点表示或；综上所述：点表示的数是或或．故答案为：或或．【点拨】本题主要考查了数轴的知识、绝对值的知识，难度不大，分情况讨论是解答的关键．13．11或5【分析】根据题意确定出点A与B表示的数字，利用平移规律求出所求即可．解：根据题意得：A表示的数为，B表示的数为0，∵点P经过3秒后的路程为（个单位长度），且向左或向右平移，∴平移后点P对应的数字为或3，∴，或，则点P到点A的距离为11或5个单位长度．故答案为：1或5．【点拨】醒考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的求法是解题关键．14．5或【分析】由于点A与原点0的距离为3，那么A应有两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离为3，这两个点对应的数分别是和3．A向右移动2个单位长度，通过数轴上“右加左减”的规律，即可求得平移后点B表示的数．解：点A在数轴上距离原点3个单位长度，当点A在原点左边时，点A表示的数是，将A向右移动3个单位长度，则点B表示的数是；当点A在原点右边时，点A表示的数是3，将A向右移动2个单位，得．故答案为：或5．【点拨】此题考查数轴问题，根据正负数在数轴上的意义来解答：在数轴上，向右为正，向左为负．15．0或/或0【分析】先根据绝对值的非负性求出B、C两点表示的数，再分两种情况讨论：①当点P位于A点左侧时，②当点P位于两点之间时，根据两点间距离表示出，根据列式求解即可．解：∵，，∴，解得，即B、C两点表示的两个数分别为2、3，设点P表示的数为t，①当点P位于A点左侧时，，∵，∴，解得；②当点P位于两点之间时，，∵，∴，解得；综上，P点所表示的数为或0，故答案为：或0．【点拨】本题考查了绝对值的非负性，两点间距离公式，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点，能够运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．16．或【分析】先根据绝对值意义和相反数的概念求出和的值，再分别代入即可求解．解：因为||，所以或，因为的相反数为，所以，则或．故答案为：或【点拨】本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解．17．或【分析】先根据A、B两点表示的数求出，再根据，得到，设点C表示的数是x，由题意得，解这个含有绝对值的一元一次方程即可．解：∵点A表示的数是，点B表示的数是3，∴，∵，∴，设点C表示的数是x，∴，∴．解得或．故答案为：或．【点拨】本题考查了数轴上两个点之间的距离的求法，解绝对值方程，数轴上两个点之间的距离等于两个点对应的数差的绝对值．18．或【分析】设在数轴上到A、B两点距离之和为9的点所表示的数为，根据题意列出方程即可求解．解：在数轴上到A、B两点距离之和为9的点所表示的数为，根据题意可知，当时，原方程可化为：解得，当时，原方程可化为：此方程无解，当时，原方程可化为解得故答案为：或【点拨】本题考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，掌握绝对值的意义是解题的关键．19．（1）点B表示的数最小，是；（2）点B表示的数比点C表示的数大2；（3）见分析【分析】（1）找出移动后点A、B、C表示的数，比较后即可得出结论；（2）找出移动后点C表示的数，作差后即可得出结论；（3）分情况讨论，把其中两个点移动到第三个点即可．（1）解：移动后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为2，∵，∴点B表示的数最小，是；（2）解：移动后，点B表示的数为，点C表示的数为，∵，∴点B表示的数比点C表示的数大2；（3）解：有三种方法：①点A向右移动1个单位，点C向左移动4个单位；②点A向右移动5个单位，点B向右移动4个单位；③点B向左移动1个单位，点C向左移动5个单位．【点拨】本题考查了数轴，根据数轴找出点表示的数是解题的关键．20．（1）3；（2）①6；②或；③或【分析】（1）根据题意即可求解；（2）①把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示4与的点之间的距离最小值，进而问题可求解；②根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；③根据原式的最小值为2，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可．（1）解：当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是3；故答案为：3；（2）解：①，表示到与到的距离之和，

点在线段上，，当点在点的左侧或点的右侧时，，∴的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，

当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；故答案为：或；③当为或时，代数式为或，∵数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离为，数轴上表示数5的点到表示数3的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是．故答案为：或．【点拨】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．21．（1）8，14；（2）8；（3）或30【分析】（1）用2加木棒的长度得点A表示的数，点A表示的数加木棒的长度得点B表示的数；（2）由题意可得数2与数26之间的线段的长等于木棒长度的三倍，根据这一关系可求结论；（3）根据（2）可知中点表示的数为，即可求出点P所表示的数．（1）解：点A所表示的数是，点B所表示的数是；故答案为：8，14；（2）解：∵数2与数26之间的线段的长等于木棒长度的三倍，∴这根木棒的长为；故答案为：8；（3）解：根据（2）可知中点表示的数为，∴点P所表示的数为或．故答案为：或30．【点拨】本题考查的是数轴，解题的关键是结合数轴来解决问题，体现了数形结合的数学思想．22．（1）见分析；（2）40；（3）13秒或27秒【分析】（1）画出数轴，标出A、B两点，即可求解；（2）先求出A、B两点之间的距离：，再求出M点到A、B两点的距离：，然后借助数轴即可求出M点；（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度两种情况，即可求解．（1）解：数轴上画出表示A、B的点，如下图：（2）解：A、B两点之间的距离：，所以M点到A、B两点的距离为，观察数轴得：与A，B两点距离相等的M点对应的数为40；（3）解：相遇前：（秒），相遇后：（秒），则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．【点拨】此题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是要分两种情况：相遇前和相遇后．23．（1）；；（2）点与点的距离【分析】（1）根据数轴的特点，结合路程、速度、时间之间的关系列式计算即可；（2