【高中数学】函数模型的应用课件（一） 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章

指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）

4.5.3函数模型的应用（一）

人教A版（2019)教学目标学习目标数学素养1.会利用已知函数模型解决实际问题.1.数学建模素养.2.能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题.2.数学建模素养.温故知新我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？（一）常用的函数模型1.直线型：y＝kx＋b(k≠0)；3.抛物线型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；4.指数函数型：y＝a·bx＋c(a≠0,b>0,且b≠1)；5.对数函数型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且a≠1)；6.幂函数型：y＝a·xn(a≠0)；

温故知新思考解决实际应用问题的关键是什么？解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.（二）对于一次函数、指数函数、对数函数，函数变化的速度有什么不同？温故知新（三）解决函数应用问题的基本步骤1.审题；2.建模；3.求解；4.验证（还原）.新知讲解【例1】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：

y=y0ert，

其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？新知讲解思考问题：(1)本例中所涉及的数量有哪些?答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的时间t以及1950～1959年我国的人口数据.(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定这种函数模型需要几个因素?答：是；两个,即y0和r.(3)根据表中数据如何确定函数模型?答：先求1951～1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定y0的值,从而确定人口增长模型.新知讲解思考问题：(4)对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价?答:作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上.(5)如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法?答:已知函数值,利用函数模型，求自变量的值.新知讲解解：(1)由题意知y0=55196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有

67201=55196e9r,由计算工具得

r≈0.021876.因此我国在1950～1959年期间的人口增长模型为(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.新知讲解解：(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.(2)分别取t=1，2，…，8，由y=55196e0.021876t

可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表所示.年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661465628286456365994新知讲解年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661465628286456365994根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数由上表和图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.新知讲解解：(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？(3)将题意知y=130000，代入由计算工具可得

t≈39.15.所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿.新知讲解

事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？

因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．初试身手1．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt，其中Ta称为环境温度，k为比例系数．现有一杯90oC的热水，放在26oC的房间中，10分钟后变为42oC的温水，那么这杯水从42oC降温到34oC时需要的时间为（

）A．8分钟 B．6分钟 C．5分钟 D．3分钟解：由T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt可得，当90oC的热水，放在26oC的房间中，10分钟后变为42oC的温水时有：42－26＝(90－26)·e-10k，

初试身手1．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt，其中Ta称为环境温度，k为比例系数．现有一杯90oC的热水，放在26oC的房间中，10分钟后变为42oC的温水，那么这杯水从42oC降温到34oC时需要的时间为（

）A．8分钟 B．6分钟 C．5分钟 D．3分钟解：

故选C.C新知讲解【例2】2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么年代建成的？资料知识：

科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”.死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年.这也是考古中常用碳14来推断年代的原因.

那么，碳14的变化规律属于哪种常用的函数模型，如何利用已知数据建立具体的数学函数模型？当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰变率），属于指数衰减.大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.

新知讲解【例2】2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么年代建成的？解：设样本中碳14的初始量为k,衰减率为p(0<p<1),经过x年后，残余量为y.根据实际意义，可选择如下模型：

新知讲解【例2】2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么年代建成的？解：

因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此大坝大概是公元前2903年建成.初试身手解：

则至少应过滤8次才能达到市场要求．