天津市西青区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【含答案解析】

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市西青区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾2．方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．无实数根C．有两个相等的实数根 D．无法判定3．如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（

）A． B． C． D．4．将方程配方后，原方程可变形为（

）A． B． C． D．5．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．6．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y28．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是（

）A． B． C． D．9．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．10．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(

)．A． B．C． D．11．关于二次函数，下列说法正确的是（

）A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-312．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，．其中，正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题13．若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是．14．若是关于x的方程的一根则k的值为．15．已知抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为．16．若二次函数的图象经过原点，则m＝．17．如图，将绕点O逆时针旋转得到，若点B在上，则．18．已知实数，满足等式，，则的值是．三、解答题19．解方程：(1)；(2)．20．在平面直角坐标系中，的A点坐标为，请你写出B，C点的坐标．画出关于原点O成中心对称的．并写出，，点的坐标．21．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．22．某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元．设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）．(1)根据题意填写表：售价（元/件）每件利润（元）每周销量（件）每周利润（元）现在602030020×300＝6000涨价后60+x20+x(2)若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？23．已知二次函数的图象为抛物线C．(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围；(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为．请直接写出抛物线的函数解析式．24．在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为．（1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长；（2）如图②，连接BD，若，求证：．25．如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点．(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；(2)连接，求的面积；(3)在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．C【分析】把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有两个相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．3．B【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可．【详解】∵，∴，∵由旋转可知，∴，故答案选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．4．A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：．故选A．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．5．A【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选A．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h．6．C【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∵a=-1＜0∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．故选C．【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键．7．B【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，∴y1＞y3＞y2．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键．8．D【分析】过作轴于D，根据菱形与旋转的性质，得出长和的度数，然后利用直角三角形性质与勾股定理求解即可．【详解】解：过作轴于D，如图所示，，菱形的顶点，菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，，，，，，故点的坐标为；故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质、图形旋转的性质、含的直角三角形的性质与勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质是解答此题的关键．9．A【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植区域，然后根据已知条件，列出方程即可．【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为米，所以种植区域的长为（）米，宽为（）米，根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．故选：A．【点睛】本题考查列一元二次方程解决问题，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程．10．C【分析】观察二次函数的图象得：，可得，，从而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解．【详解】解：观察二次函数的图象得：，∴，，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．故选：C【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．11．D【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．B【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，即可判断①；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对③选项进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∴b＝-2a＜0，∴ab＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，故②正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，故③正确；∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，故④错误；故选B．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．13．【分析】根据定义二次项系数不为0解题即可．【详解】解：关于的方程是一元二次方程，，解得．故答案是：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，能够熟记定义并列式是解题关键．14．5【分析】根据方程的解满足方程直接代入求解即可得到答案．【详解】解：∵是关于x的方程的一根，∴，解得，故答案为5．【点睛】本题考查方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．15．或或【分析】将抛物线化成顶点式，求出顶点坐标，再根据顶点在坐标轴上，分在轴上或者轴上两种情况求解即可得到结论．【详解】解：抛物线，顶点坐标，抛物线的顶点在坐标轴上，当顶点在轴上时，，解得；当顶点在轴上时，，解得；综上所述，b的值为或或，故答案为：-2或0或2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握一般式化为顶点式，会求顶点坐标，并理解坐标轴上点的坐标特征是解决问题的关键．16．2【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，得，整理得，解得，∵，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．17．/80【分析】由旋转的性质得，，，即可得．【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，∴，，，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键掌握旋转的性质．18．【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数，满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．19．(1)，；(2)，．【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键．（1）先计算，再利用求根公式解方程即可；（2）先把方程移项，再分解因式为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：，∴，∴，解得：，；（2），∴，∴，∴或，解得：，．20．画图见解析，，，，，．【分析】本题考查的是坐标与图形，画关于原点对称的三角形，先确定A，B，C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可，再根据点的位置可得其坐标，熟记中心对称的性质并进行画图是解本题的关键．【详解】解：如图，即为所画的三角形，，，，，．21．(1)(2)2【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，此方程根的判别式，解得．（2）解：由题意得：，解得或，由（1）已得：，则的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．22．(1)；(2)该商品每件应涨价2元或8元【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解；（2）根据（1）的结论，结合题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．故答案为：；．（2）依题意得：＝6160，整理得：，解得：．答：该商品每件应涨价2元或8元．【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出代数式以及方程是解题的关键．23．(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；(2)y的取值范围为；(3)【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）根据二次函数的性质可得出答案；（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．【详解】（1）解：∵，∴抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）解：∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，；当时，；∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为；（3）解：∵抛物线C：向左平移2