第12讲5.7三角函数的应用（原卷版）

第12讲课程标准学习目标①掌握三角函数的图象与解析式之间的对应问题的处理方法。②能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题。③能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题。④掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知识解决问题。掌握常见的三角函数应用问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义振幅它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离

周期它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间

频率它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数相位时的相位称为初相

知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:

(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.题型01三角函数模型在物理学中的应用【典例1】（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）A． B． C．1s D．【典例2】（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（

）A．、、B．当时，点到轴距离的最大值是C．当时，函数单调递减D．当时，【典例3】（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为.【典例4】（2023春·高一单元测试）已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆作匀速圆周运动，质点运动的角速度为ω弧度/秒()，经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递减区间及上的最值．【变式1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（

）cm．（精确到0.1cm）【变式2】（多选）（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（

）A．频率为B．初相位或C．振幅D．当时，小球第三次回到平衡位置【变式3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是cm.【变式4】（2023·全国·高一假期作业）已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h（单位：cm）由函数解析式决定，其部分图像如图所示(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；(2)若时，小球至少有101次速度为0cm/s，则的最小值是多少？题型02三角函数模型在日常生活中的应用【典例1】（2023·海南·统考模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）已知某海滨浴场的浪高是时间（时）（）的函数，记作．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，可近似地看成是函数．/时03691215182124(1)根据以上数据，求出该函数的周期、振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动．【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0:009:0018:003:0012:0021:06:0015:0024:00(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【变式1】（2023春·江西萍乡·高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（

）【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：，，第二问精确到）【变式3】（2023春·浙江温州·高一校联考期中）如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？题型03三角函数模型在圆周运动问题中的应用【典例1】（多选）（2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（

）A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点D．时，盛水筒处于向上运动状态【典例2】（多选）（2023秋·湖北武汉·高二统考开学考试）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（

）A．摩天轮离地面最近的距离为5米B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则C．存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米D．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为20【变式1】（多选）（2023秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（

）A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，【变式2】（多选）（2023秋·重庆·高三校联考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为.游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差.下述结论正确的是（

）A． B．C．在运行一周的过程中，的时间超过10min D．题型04数据拟合三角函数模型问题【典例1】（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻水深(米)经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．(1)根据以上数据，求出函数的表达式；(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内何时能进入港口？【典例2】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．(1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．【变式1】（2023春·江西吉安·高一校联考期中）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：（小时）03691215182124（米根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【变式2】（2023春·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．(1)根据以上数据，求出函数的表达式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023春·湖南·高一校联考开学考试）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（

）A．5 B．6 C．8 D．102．（2023·全国·高一专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，则当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是（

）A．， B．2， C．，π D．2，π4．（2023春·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考阶段练习）在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后即的振幅为（

）A． B．8 C．4 D．5．（2023·全国·高一专题练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为A．B．C．D．6．（2023·全国·高三专题练习）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（

）A． B．4mC． D．t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（

）t0123456789101112sA．， B．C． D．，8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间上交点的个数为（

）A．9个 B．8个 C．7个 D．5个二、多选题9．（2023·全国·高一假期作业）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零10．（2023秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为12B．C．时，过山车距离地平面40mD．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s三、填空题11．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为．12．（2023春·浙江宁波·高一统考期末）如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为m．四、解答题13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：(1)小球在开始振动（即）时的位置在哪里？(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(3)经过多少时间小球往复运动一次？(4)每秒钟小球能往复振动多少次？14．（2023春·福建厦门·高一校考期中）建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.(1)求的表达式；(2)请根据（1）的结论，求该商场的