南通市如皋市2021-2022学年高二上学期数学教学质量调研试卷（一）

江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上学期数学教学质量调研试卷（一）一、单选题1．抛物线y=2x2A．x=-1 B．x=-12 C．y=-122．已知方程x2m-2+y2A．（-∞，2） B．（0，2）C．（-∞，0） D．（-∞，0）∪（0，2）3．已知直线l:ax+by=r2，圆C:x2+y2=r2，其中r>0.若点A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切4．已知F1(-3,0)，F2(3,0)，若圆C:x2+y2=rA．[3，5] B．（0，5] C．[4，5] D．[16，25]5．已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，过底面圆周上一点作与圆锥底面成30°角的平面，截这个圆锥得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（）A．43 B．8 C．16 D．6．已知F1(-3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1|=2|MF2|，PA．15 B．215 C．415 7．在矩形ABB'A'中，A'A=8，AB=6，把边AB分成n等份，在B'B的延长线上，以B'B的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点A'作直线，过A．x216+yC．x216-y8．已知点M（0，4），点P在曲线x2=8y上运动，点Q在圆x2+(y-2)2=1A．3 B．5 C．4 D．6二、多选题9．方程x2+myA．圆 B．两条直线 C．椭圆 D．抛物线10．已知双曲线x216-y29=1上一点A．2 B．18 C．20 D．4211．已知P为椭圆C:x2+y24=1上一点，F1，F2为椭圆A．(12,3) B．(-13,12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率是2B．线段AB长度的取值范围是(0,3+3C．△ABF面积的最大值是9D．△OAB的周长存在最大值三、填空题13．圆C1:x2+y2-10y=0与圆14．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为.15．过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且|AF|=3|FB|，则直线AB的倾斜角为16．已知以点T(t,9t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆交x轴于O，A两点，交y轴于O，B两点，其中O为坐标原点，则△OAB的面积为；若直线l:9x+y-1=0与圆T交于M，N两点，且|OM|=|ON|，则圆T的标准方程为四、解答题17．已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点F（1）求拋物线方程；（2）直线2x-3y+4=0与拋物线相交于A,B两点，求|AB|的长.18．滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为2千米.一“直角型”公路A-B-C（即AB⊥BC）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系.（1）求直线BC的方程；（2）现欲在湖边和“直角型”公路A-B-C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心O1到湖中心O的距离19．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求椭圆的方程；（2）若直线y=x-3与椭圆交于M，N两点，椭圆上存在点P，使得OP=λ(OM+ON)(λ>0)20．换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知a>0，b>0，a+b=4，求a3+b3的最小值.其求解过程可以是：设a=2-t，b=2+t，(-2<t<2)，则a3+b3=(2-t)3+(2+t)3=(8-12t+6t2-t3)+(8+12t+6t2+t3)=16+12（1）请利用上述求解方法，求出P点的轨迹方程；（2）求∠F1PF221．设圆C与两圆C1:(x+2)2+y2（1）求圆心C的轨迹E的方程；（2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为34的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求△C2MN22．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q在一定直线上.

答案解析部分1．【答案】D【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】抛物线y=2x2的标准方程是x2所以其准线方程为：y=-1故答案为：D

【分析】根据题意由抛物线的简单性质，即可得出答案。2．【答案】B【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为方程x2m-2+y2m=1表示双曲线，所以m(m-2)<0故答案为：B.

【分析】由双曲线方程的性质，即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。3．【答案】B【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系【解析】【解答】由题意，点P(a,b)在圆C上，则a圆C:x2+y2=r2圆心到直线l的距离d=故直线l与圆C的位置关系是相切故答案为：B

【分析】由已知条件把点的坐标代入圆的方程即可得出a2+4．【答案】C【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】由题意，F1(-3,0)，F2(3,0)故点P在以F1(-3,0)，F2(3,0)为焦点，故a=5,c=3,b=a2-c圆C:x2+y2=r2联立x225+y∴0≤25r2-400则实数r的取值范围是[4,5]故答案为：C

【分析】根据题意由椭圆的定义即可求出a的取值，再由椭圆的a、b、c三者的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程，再联立圆与椭圆的方程计算出x的取值，结合题意即可得到关于r的不等式，求解出r的取值范围。5．【答案】A【考点】椭圆的简单性质；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；二面角的平面角及求法【解析】【解答】解：设圆锥的顶点为S，轴截面为SEF，过F的一平面α与底面所成角为30°，截这个圆锥得到一个椭圆，α与母线SE交于点H，则∠HFE就是α与底面所成角，且FH为椭圆的长轴.

因为圆锥的底面半径为4，母线长为8，∴△SEF是等边三角形，∴由∠HFE=30∘,∠SEF=60∘，得FH⊥SE

Rt△EFH即椭圆的长轴长为43故答案为：A.

【分析】根据题意由已知条件即可得到截这个圆锥得到一个椭圆，α与母线SE交于点H，则∠HFE就是α与底面所成角，且FH为椭圆的长轴，由此即可得出△SEF是等边三角形，结合三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。6．【答案】A【考点】两点间的距离公式；点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系【解析】【解答】设M(x,y)，因为动点M满足|MF1所以(x+3)2+即x2+y2-10x+9=0表示以(5,0)为圆心，以4为半径的圆，圆心到直线3x-4y+6=0的距离为d=|3×5+6|3所以|PM|的最小值是d-r=215故答案为：A

【分析】根据题意设出点的坐标，然后由两点间的距离公式整理化简即可得出方程(x-5)2+y2=16，由此即可判断出点M满足的轨迹是圆，再由圆心到直线的距离公式整理得到d7．【答案】C【考点】确定直线位置的几何要素；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【解析】【解答】设P(x0,y0)，则x0≥4，y0由lA'P:y=y0x0+4(x+4)，令x=4，得由lAP:y=y0x0-4(x-4)，令y=6，得x=6(x结合题意，可知6(x0-4)y0因此点P满足的方程为：x2故答案为：C.

【分析】根据椭圆设出点的坐标，然后由点斜式设出直线的方程，再由直线的性质求出截距即在边AB和B'B的交点坐标，结合题意整理化简即可得出点8．【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值；两点间的距离公式；抛物线的简单性质【解析】【解答】抛物线x2=8y的焦点坐标F(0,2)，该点就是x2+(y-2)2=1要使|PM|2|PQ|最小，则|PQ|取得最大|PF|+1=|PM|2|PQ|的最小值即x2+即y=8t-24+(t-7)当t=5时取得最小值，此时x2故答案为：C

【分析】根据题意首先求出抛物线的焦点坐标，然后由已知条件即可得出点就是x2+(y-2)2=1的圆心，再由两点间的距离公式即可得出|PM|2|PQ|的最小值即x2+(x289．【答案】A,B,C【考点】曲线与方程【解析】【解答】当m=1时，x2+y2=1，表示以坐标原点为圆心，1当m>1时，x2+my2=1，表示焦点在x轴上的椭圆，当0<m<1时，x2+my当m=0时，x2=1即x=±1，表示两条垂直于x轴的直线，当m<0时，x2+my2=1故答案为：ABC.

【分析】根据题意对m分情况讨论，结合圆、椭圆以及双曲线方程的性质，对选项逐一判断即可得出答案。10．【答案】A,B【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线的方程为x216-所以双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a=8，点P到左焦点的距离为10，所以点P到右焦点的距离为2或18故答案为：AB

【分析】首先由双曲线的简单性质即可求出a的取值，由此得出点P到左焦点的距离，结合双曲线的定义即可得出答案。11．【答案】A,D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】椭圆C:x2+y24=1由△PF1F2设P(x,y)，若∠PF1F2为直角顶点，则P(x,3)，所以若∠PF2F1为直角顶点，则P(x,-3)，所以若∠F1PF2为直角顶点，则P(x,y)由x2+y2故答案为：AD

【分析】首先由椭圆的方程求出焦点的坐标，再由三角形中的几何计算关系，设出点的坐标结合直角三角形的形状，计算出点P的坐标，由此对选项逐一判断即可得出答案。12．【答案】A,B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；椭圆的简单性质【解析】【解答】由题得半圆的方程为x2+y设椭圆的方程为x2a2+所以椭圆的方程为x2A.椭圆的离心率是e=caB.当t→0时，|AB|→3+32；当t→3时，|AB|→0，所以线段AB长度的取值范围是(0,3+32C.由题得△ABF面积S=12×|AB|t，设设B(x2,t),∴x2218+t29=1,∴x2D.△OAB的周长=|AO|+|OB|+|AB|=3+(2+1)9-t2+18-t2,所以当t=0时，△OAB的周长最大，但是t故答案为：ABC

【分析】根据题意把实际问题化为数学问题，结合椭圆的定义以及简单性质，即可判断出选项A、B正确；根据题意设出点的坐标，并代入到椭圆的方程计算出x的取值，再由弦长公式以及三角形的面积公式结合基本不等式即可判断出选项C正确；由椭圆的定义结合三角形的周长公式即可判断出选项D错误，由此即可得出答案。13．【答案】6【考点】点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】因为圆C1:x2所以两式相减得y=1圆C2:x所以公共弦长为2故答案为：6

【分析】根据题意把两圆的方程相减，再由点到直线的距离公式结合勾股定理计算出公共弦的长度。14．【答案】5【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意可知2c=10，a=3，则c=5，所以b=52-结合共轭双曲线的概念可知，a'=b=4,c'=5故答案为：54

【分析】根据题意双曲线的简单性质即可求出a与c的取值，再由双曲线里的a、b、c三者的关系，计算出b的取值，结合共轭复数的定义即可求出a、b、c的值，由此即可得出双曲线的方程。15．【答案】π【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】因为|AF|=3|FB|，所以直线AB存在斜率，设为k(k≠0)，抛物线C:y2=4x焦点F的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为：y=k(x-1)，与抛物线联立为：设A(x1,y1),B(x2,y因为点A在第一象限，且|AF|=3|FB|，所以AF=3FB⇒(1-x1,-设直线AB的倾斜角为α，所以tanα=3，解得：故答案为：π

【分析】根据题意对直线的斜率分情况讨论，由点斜式设出直线的方程，再联立椭圆的方程消元后得到关于y的方程，然后由韦达定理计算出两根之和与两根之积，然后由斜率的坐标公式代入整理化简计算出k的取值，再结合斜率公式计算出角α的大小。16．【答案】18；(x-9)【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为O为坐标原点，且在圆T上，OA⊥OB，所以AB是圆T的直径，T是AB的中点，所以A(2t,0),B(0,18t)(t≠0)，所以因为|OM|=|ON|，所以原点O在MN的中垂线上，又圆心T在MN的中垂线上，则直线OT与直线l:9x+y-1=0垂直，所以kl⋅kOT=-1所以-9×9t2=-1，解得当t=-9时，T(-9,-1)，圆的半径|OT|=81+1=82，圆心到直线l:9x+y-1=0的距离为当t=9时，T(9,1)，圆的半径为81+1=82，圆心到直线l:9x+y-1=0的距离为|81+1-1|81+1=8182<82，满足直线与圆相交，故故答案为：①18；②(x-9)2

【分析】根据题意由已知条件即可得出A(2t,0),B(0,18t)(t≠0)，再由三角形的面积公式计算出△OAB17．【答案】（1）由题：抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点F的距离为2即p2+1=2,p=2所以抛物线方程：y（2）联立直线2x-3y+4=0和y2=4x得y2-6y+8=0，解得A(1,2),B(4,4)，|AB|=【考点】两点间的距离公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的简单性质，计算出P的取值，由此得出抛物线的方程。(2)联立直线与椭圆的方程消元后得到关于y的方程，由此求解出点的坐标，再由两点间的距离公式计算出结果即可。18．【答案】（1）由题可得直线BC的倾斜角135°，设直线BC的方程y=-x+b,b>0，与圆相切，|b|2=所以直线BC的方程y=-x+2（2）使得旅游集散中心面积最大，则圆O1与湖相切，与直角公路相切，设此时|OO1|=a,2<a<2，圆O1a-2=解得a=4【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系【解析】【分析】(1)根据题意由倾斜角的大小求解出斜率的值，由此得出直线的方程，再由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式计算出b的取值，由此即可得出直线的方程。(2)由已知条件把实际问题转化为数学问题，结合直线与圆的位置关系由点到直线的距离公式，整理化简计算出a的取值。19．【答案】（1）由题意可得：2a=4a2c-c=3a2=b2（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由y=x-3x2所以y1=x1-3所以M(0,-3)，N(所以OP=λ(OM所以点P坐标为：P(83因为点P在椭圆上，所以(83整理可得：12λ2=7，解得：所以椭圆上存在符合题意的点P满足OP=λ(OM+ON)【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出a、b、c的值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，再由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程，由此计算出点的坐标，然后由向量的线性坐标公式计算出点的坐标，再把点的坐标代入到椭圆的方程计算出λ的值，由此即可得证出结论。20．【答案】（1）设P(x,y)，由题意知|PF1|+|PF2|=4令(x+1)2+等式两边同时平方得(x+1)2+y2=(2+t)2……①－②得(x+1)2-(x-1)2=(2+t)2-(2-t)2，即x=-2t……③，即-x2=t代入①中得（2）F1P=(x+1,y),F2P=(x-1,y),由①得x2+2x+1+y2=(2+t)2，结合③得x2-4t+1+y2=(2+t)2，整理可得x2+所以cos∠F由于椭圆得对称性，不妨设点P在y轴及y轴的右侧时，由于1≤|F1P|≤31≤|F2P令y=8t+64-t2，则而8t2+12t+32=8(t+34)+552当t∈[0,1]时，函数y=8t+64-t2单调递增，因此当t=0时，y=8t+64-t2有最小值，且最小值为y=32，因此cos∠F1PF2的最小值为12，此时∠F1PF2【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；轨迹方程；椭圆的标准方程【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，再由两点间的距离