创新应用考法-从宽度、深度、开放度上激活思维

创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维■关联点：数列＋导数＋函数一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展答案：A

解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴x1＋x2＝－2a<0，x1x2＝b>0，所以x1，x2为两个不等的负数．不妨设x1<x2<0，则必有x1，x2,2成等差数列，x1,2，x2成等比数列，故有2x2＝x1＋2，x1x2＝4，解得x1＝－4，x2＝－1.■关联点：数列＋充分必要条件A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：C

(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲

乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.■关联点：数列＋直线方程＋圆答案：C

2an＝an－1＋an＋1.所以{an}为等差数列．在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，则2×(50－10)＝10＋S15－50，即S15＝120.■关联点：数列＋概率＋离散型随机变量的期望4．[多选]“紫藤挂穗，蓝楹花开，黄桷新绿，菩提葱蔚”，巴蜀中学即将迎来90周年校庆，学校设计了3个吉祥物“诚诚”，“盈盈”，“嘉嘉”．现在袋中有6个形状、大小完全相同的小球，每一个小球上写有一个字(其中有2个小球写着“诚”，2个小球写着“盈”，2个小球写着“嘉”)．现在有四位同学，平均分成甲、乙两队，进行比赛活动，规则如下：每轮参与活动的队伍每位同学抽取1次小球，每次抽取后小球放回袋中，若两次抽取的球上的字组成了吉祥物名称(如：诚诚)，则该队得1分，并且该队继续新一轮比赛活动，否则，该队本轮得0分，由对方组接着抽取．活动开始时由甲队先抽取，若第n轮由甲队抽取的概率为Pn，n轮结束后，甲队得分均值为Kn，则下列说法正确的有

(

)

答案：ACD

第n轮结束后，甲队得分可以分2种情况：一类是第n轮甲队的得分加上1分，则第n轮必须由甲抽取且得1分；一类是第n轮甲队的得分加上0分，则第n轮由甲抽取且不得分，或第n轮由乙抽取，■关联点：数列＋集合＋计数原理(1)求数列{an}的通项公式；(2)集合A＝{a1，a2，…，an}，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为Tn，求Tn.解：(1)当n＝1时，2a1＝a1＋1，则a1＝1，且a2＝2；当n≥2时，2Sn＝nan＋n,2Sn－1＝(n－1)an－1＋n－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1＋1.

∴(n－2)an－(n－1)an－1＝－1.当n＝1，n＝2时，上式也成立．综上，数列{an}的通项公式为an＝n.二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸■延伸链：递推公式→an＋1＝Sn＋1－Sn→等比数列→讨论n＝1是否符合→求和1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，则S2023＝

(

)A．32023－1 B．32023＋1答案：D

■延伸链：递推公式→累加法求通项公式→数列的函数性质→最值答案：B

■延伸链：等差、等比数列的基本运算→等差数列的前n项和公式→得bnSn→设元作差法判断数列的单调性→求最大项

答案：BC

当1≤n≤2时，cn＋1－cn>0，即c1<c2<c3；当n≥3时，cn＋1－cn<0，即cn＋1<cn，即数列{cn}从第三项开始递减．■延伸链：等差数列的基本量→累加法求通项→等差数列的前n项和→分组求和4．[多选]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1,3,6,10，它的前后两项之差组成新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，则数列1,3,6,10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列{cn}，其前7项分别为5,9,17,27,37,45,49，设通项公式cn＝g(n)，则下列结论正确的是

(

)答案：AC

解析：设bn＝cn＋1－cn，所以数列{bn}前6项分别为4,8,10,10,8,4.设an＝bn＋1－bn，所以数列{an}前5项分别为4,2,0，－2，－4，显然数列{an}是以4为首项，－2为公差的等差数列，由题中定义可知数列{cn＋1－cn}为二阶等差数列，因此选项A正确；an＝bn＋1－bn＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6，因此有cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝[－(n－1)2＋7(n－1)－2]＋[－(n－2)2＋7(n－2)－2]＋…＋(－12＋7×1－2)＋5＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋7×(1＋2＋…＋n－1)－2(n－1)＋5＝－■延伸链：递推关系→取倒数构造法得bn＋1与bn的关系→通项→判断3的个数、bn的项→分组求和(2)在bk与bk＋1(其中k∈N*)之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{cn}．记Sn为数列{cn}的前n项和，求S36.(2)在b1，b2之间有2个3，b2，b3之间有22个3，b3，b4之间有23个3，b4，b5之间有24个3，共2＋22＋23＋24＝30个3，三、命题“开放度”上——探究多渠道解决问题■开放类型：条件限定，目标开放1．设f(x)＝cosax＋bx＋2cx(x∈R)，a，b，c∈R且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{xn}(n∈N*)，使得{f(xn)}为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a，b，c的值________．(答案不唯一，一组即可)答案：a＝1，b＝0，c＝1■开放类型：条件开放，目标明确2．在①a8＝9，②S5＝20，③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，_______，________.(1)求数列{an}的通项公式；

解：(1)由于{an}是等差数列，设公差为d.(2)证明：由(1)知an＝n＋1，n∈N*，■开放类型：条件多余，选择求解3．已知数列{an}的前n项和为Sn，n＝1,2,3，…，

从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．条件①：a5＝5；条件②：an＋1－an＝2；条件③：S2＝－4.选择条件________和________．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)选①②，由an＋1－an＝2可知数列{an}是公差d＝2的等差数列．又a5＝5，得a1＝－3，故an＝－3＋2(n