聚焦中考数学复习知识点第41课图形的相似

第41课图形的相似

基础知识题型分类要点梳理题型一相似三角形的判定基础自测题型二相似三角形的性质题型三相似三角形对应高的比

的应用易错警示32.易出错的三角形相似问题知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.比和比例的有关概念第四比例项比例中项要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段________________．即AC2＝____________，AC＝________________AB.黄金分割AB·BC要点梳理基础知识·自主学习知识点索引bc要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.平行线分线段成比例定理

(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

________；

(2)平行于三角形一边截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成________；比例比例要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成________，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其它两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成________．比例比例要点梳理基础知识·自主学习知识点索引4.相似三角形的定义对应角相等、对应边成比例的三角形叫做___________．相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的___________．相似三角形相似比要点梳理基础知识·自主学习知识点索引5.相似三角形的判定

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；

(2)________对应相等；

(3)________对应成比例且夹角相等；

(4)________对应成比例；

(5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例；

(6)直角三角形中，被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两角两边三边要点梳理基础知识·自主学习知识点索引6.相似三角形性质对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________，周长比等于_________，面积比等于________________．相似比相似比相似比的平方要点梳理基础知识·自主学习知识点索引7.直角三角形相似的判定及成比例的线段如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形成比例，那么这两个直角三角形相似．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB

上的高，则有下列结论．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.基础自测基础知识·自主学习知识点索引A.4.5 B.8C.10.5 D.14B基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．基础自测基础知识·自主学习知识点索引对于两人的观点，下列说法正确的是(

)A.两人都对 B.两人都不对C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析甲：根据题意，AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：根据题意，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3＋2＝5，A′D′＝B′C′＝5＋2＝7，基础自测基础知识·自主学习知识点索引∴新矩形与原矩形不相似，∴乙说法正确．故选A.基础自测基础知识·自主学习知识点索引对于两人的观点，下列说法正确的是(

)A.两人都对 B.两人都不对C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对A基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.(中考真题-南京)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为(

)A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶1C解析根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引∴△ADE∽△ACB，∴S△ADE∶S△ACB＝(AE∶AB)2＝1∶4，∴S△ADE∶S四边形BCED＝1∶3.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引C基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-贵阳)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC

相似，这样的直线共有(

)A.1条B.2条

C.3条D.4条基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析∵截得的三角形与△ABC相似，如图，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得的三角形满足题意，∴这样的直线共有三条．故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-贵阳)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC

相似，这样的直线共有(

)A.1条B.2条

C.3条D.4条C题型一相似三角形的判定题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD

的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(

)A.P1 B.P2

C.P3 D.P4

∵DE＝4，∴EP＝6，∴点P落在P3处．故选C.C题型一相似三角形的判定题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．题型分类·深度剖析助学微博知识点索引题型分类·深度剖析助学微博知识点索引题型分类·深度剖析助学微博知识点索引(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常常要用到中间比．题型一相似三角形的判定题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-佛山)网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引证明

(1)∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引(2)设AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴EC＝2x，又∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABD，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴平行四边形ABFD是菱形．题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(中考真题-株洲)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB

＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；

(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)证明：∵∠A＋∠APQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠APQ＝∠C，在△APQ与△ABC中，∵∠APQ＝∠C，∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC.题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5.①当点P在线段AB上时，如图1所示．∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ.由(1)可知，△APQ∽△ABC，题型二相似三角形的性质题型分类·深度剖析知识点索引②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，∴AP＝2AB＝2×3＝6.题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引【例

3】

(中考真题-绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.

要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强．题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引题型三相似三角形对应高的比的应用题型分类·深度剖析知识点索引(2)∵∠B＝45°