聚焦中考数学复习知识点二次函数的图象与性质

第18课二次函数的图象

与性质

基础知识题型分类要点梳理题型一选用合适的方法求二次函数

的解析式基础自测题型二二次函数的图象与性质题型三二次函数图象的几何变换易错警示13.二次函数函数值的变化范围知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.二次函数一般地，形如函数______________________________________________的函数叫做x的二次函数．二次函数的解析式通常有以下三种：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，且

a≠0)

这是最常用的形式，当已知二次函数图象上三个点的坐标时，二次函数常写成这种形式．y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，且a≠0)要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根)

当已知二次函数图象与x轴交点坐标为(x1，0)、(x2，0)，或者一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是x1、x2

时，二次函数的解析式可以写成这种形式．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a、h、k是常数，且

a≠0)

当已知二次函数图象的顶点坐标为(－h，k)时，二次函数的解析式可以写成y＝a(x＋h)2＋k的形式．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.二次函数的图象与性质二次函数的图象是抛物线，当________时抛物线的开口________，这时当__________时，y的值随x的增大而________；当____________时，y的值随x的增大而

________；当x＝________时，y有_______________．a＞0

向上减小增大要点梳理基础知识·自主学习知识点索引当________时抛物线开口________，这时当________时，y的值随x的增大而________；当_________时，y的值随x的增大而________；当x＝_________时，y有______________．抛物线的对称轴是直线x＝________，抛物线的顶点是________________．向下a<0增大减小要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.二次函数图象的平移要点梳理基础知识·自主学习知识点索引抛物线的顶点常见的四种变动方式：(1)开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a

的符号相反；(2)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(3)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(4)两抛物线关于原点对称，此时顶点关于原点对称，a

的符号相反．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引4.二次函数与二次方程、二次不等式间的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x

的值，就是解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看做0，求自变量x的值．“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y>0，y<0或y≥0，y≤0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况．基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析①y＝2x2，开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；②y＝－2x2，开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．故选B.B基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-成都)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2

＋k的形式，结果为(

)A.y＝(x＋1)2＋4 B.y＝(x＋1)2＋2C.y＝(x－1)2＋4D.y＝(x－1)2＋2D解析

y＝x2－2x＋3＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2.故选D.基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.(中考真题-兰州)抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是(

)A.y轴 B.直线x＝－1C.直线x＝1 D.直线x＝－3C解析抛物线y＝(x－3)2－1的对称轴是直线x＝1.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引4.(中考真题-兰州)把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

(

)A.y＝－2(x＋1)2＋2B.y＝－2(x＋1)2－2C.y＝－2(x－1)2＋2D.y＝－2(x－1)2－2C解析把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y＝－2(x－1)2＋2.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-新疆)对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(

)A.开口向下 B.对称轴是x＝－1C.顶点坐标是(1，2)D.与x轴有两个交点C解析二次函数y＝(x－1)2＋2的图象开口向上，顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．故选C.题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；

(3)在同一坐标系中画出直线y＝

x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引(3)图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是－1＜x＜4.题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高根据不同条件，选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a、b、c的值．(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程，函数最值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数．题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，求出a的值．此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．

题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3，∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)．题型一选用合适的方法求二次函数的解析式

题型分类·深度剖析知识点索引(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】

(中考真题-滨州)已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

(2)求函数图象与x轴的交点A、B的坐标，及△ABC的面积．题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1，则顶点C的坐标是(2，－1)．当x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引(2)解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，即A点坐标是(1，0)，B点坐标是(3，0)，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝2，CD＝1，题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引解根据OC长为8可得，一次函数中n的值为8或－8.分类讨论：①当n＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴的交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，∵A、B关于对称轴对称，要使y1随着x的增大而减小，且a＜0，∴x＞2；题型二二次函数的图象与性质

题型分类·深度剖析知识点索引②当n＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线经过点A、C，且与x轴的交点A、B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，∵A、B关于对称轴对称，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜－2.题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】

(中考真题-上海)如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是(

)A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1C.y＝(x－1)2 D.y＝(x＋1)2

C解析

抛物线y＝x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1，0)，所以所得的抛物线的表达式为y＝(x－1)2.故选C.题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3

(1)(中考真题-临沂)在平面直角坐标系中，函数y＝

x2－2x(x≥0)的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y＝a(a为常数)与C1、C2的交点共有(

)A.1个

B.1个或2个

C.1个或2个或3个

D.1个或2个或3个或4个题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引解析函数y＝x2－2x(x≥0)的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则C2的图象为x＝－y2－2y.当a非常小时，直线y＝a(a为常数)与C1没有交点，与C2有一个交点；当直线y＝a经过C1的顶点时，直线与C1、C2各有一个交点，即共有两个交点；当直线y＝a(a为常数)与C1有两个交点时，与C2有一个交点，即共有3个交点．故选C.题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3

(1)(中考真题-临沂)在平面直角坐标系中，函数y＝

x2－2x(x≥0)的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y＝a(a为常数)与C1、C2的交点共有(

)A.1个

B.1个或2个

C.1个或2个或3个

D.1个或2个或3个或4个C题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引(2)(中考真题-天水)如图，一段抛物线y＝－x(x－1)(0≤x≤1)

记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1

旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2

旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为______________________．题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引解析

∵y＝－x(x－1)(0≤x≤1)，∴OA1＝A1A2＝1，P1P3＝P2P4＝2，∴P2(1.5，－0.25)，∴P10的横坐标是2.5＋2×[(10－2)÷2]＝10.5，p10的纵坐标是－0.25，即p10的坐标为(10.5，－0.25)．题型三二次函数图象的几何变换

题型分类·深度剖析知识点索引(2)(中考真题-天水)如图，一段抛物线y＝－x(x－1)(0≤x≤1)

记为m1，它与x轴交点为