聚焦中考数学复习知识点第33课圆的基本性质

第33课圆的基本性质

基础知识题型分类要点梳理题型一圆心角与圆周角基础自测题型二圆内接四边形题型三垂径定理及其应用易错警示24.勿忘外心在三角形形外知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.圆的有关概念

(1)圆：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆．________叫圆心，________

叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫________，连接圆上任意两点的线段叫________，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的________．定点定长定点定长弧弦弦要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)圆心角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在____________中，能够完全________的弧．圆心圆上同圆或等圆重合要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.圆的有关性质

(1)圆的对称性：①圆是________图形，其对称轴是____________________________．②圆是__________图形，对称中心是__________．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．轴对称一条直线中心对称圆心过圆心的任意要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径__________，并且_________________________．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径________________，并且

_____________________；②弦的垂直平分线____________，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧经过圆心平分弦要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．②推论：在同圆或等圆中，如果两个________、

________、________、____________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．②半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．一半相等直角直径要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上_____________；②点P在圆内_____________；③点P在圆外_____________．d＝rd<rd>r要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的__________；三角形的外心是三边__________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．外心中垂线要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.与圆相关的辅助线基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(中考真题-柳州)下列四个图中，∠x是圆周角的是(

)C解析由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可得∠x是圆周角的有C.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-温州)如图，已知A、B、C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是(

)A.2∠CB.4∠BC.4∠A D.∠B＋∠CA解析如图，由圆周角定理可得：∠AOB＝2∠C.故选A.基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.(中考真题-湖州)如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝

35°，则∠B的度数是(

)A.35°B.45°C.55°D.65°C解析∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝35°，∴∠B＝90°－∠A＝55°.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引4.(中考真题-台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(

)B解析∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B.故选B.基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝

2，DE＝8，则AB的长为(

)A.2 B.4C.6 D.8D解析∵CE＝2，DE＝8，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，∴AB＝2BE＝8.故选D.题型一圆心角与圆周角

题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-株洲)如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的大小是________．28°解析∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＋∠ACB＝84°，∴3∠ACB＝84°，∴∠ACB＝28°.题型一圆心角与圆周角

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．本题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法求解．题型一圆心角与圆周角

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-菏泽)如图，在△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________．题型一圆心角与圆周角

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-菏泽)如图，在△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________．解析连接CD，∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴的度数为50°.50°题型二圆内接四边形

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】

(中考真题-龙东)直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是_____________．30°或150°解析连接OA、OB，∵⊙O的直径为10cm，AB＝5cm，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°∴∠C＝30°，∴∠D＝180°－30°＝150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°.题型二圆内接四边形

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．题型二圆内接四边形

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(1)(中考真题-安徽)如图，点A、B、C、D在⊙O上，

O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD

＋∠OCD＝________．题型二圆内接四边形

题型分类·深度剖析知识点索引解析根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，则∠AOC＝2∠ADC，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∵圆内接四边形对角互补，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，连接OD，∵OA＝OD，OD＝OC，∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.题型二圆内接四边形

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(1)(中考真题-安徽)如图，点A、B、C、D在⊙O上，

O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD

＋∠OCD＝________．60°题型二圆内接四边形

题型分类·深度剖析知识点索引(2)(中考真题-厦门)如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E，若BC＝BE，求证：△ADE是等腰三角形．证明∵A、D、C、B四点共圆，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．题型三垂径定理及其应用

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】

(中考真题-南宁)在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为(

)A.40cm

B.60cmC.80cm

D.100cm题型三垂径定理及其应用

题型分类·深度剖析知识点索引解析连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200，AB＝160，∴OA＝OE＝100，AM＝80，∴ME＝OE－OM＝100－60＝40(cm)．故选A.题型三垂径定理及其应用

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】

(中考真题-南宁)在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为(

)A.40cm

B.60cmC.80cm

D.100cmA题型三垂径定理及其应用

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高这是一道实际问题，关键是将其转化为数学问题．由于管道是圆形的，因此可以把水面宽度看作弦长，从而利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想来求解．本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．题型三垂径定理及其应用

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3

(中考真题-绍兴)绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为(

)A.4mB.5mC.6mD.8mD解析连接OA，∵桥拱半径OC为5，∴OA＝5，∵CD＝8，∴OD＝8－5＝3，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．故选D.题型分类·深度剖析易错警示系列易错警示系列24勿忘外心在三角形形外知识点索引试题△ABC内接于半径为r的⊙O，且BC>AB>AC，OD⊥BC题型分类·深度剖析易错警示系列知识点索引学生答案展示

解当