第五板块 大题增分练（一） 求值问题

第五板块大题增分练（一）求值问题1．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为eq\r(2)x－y＝0，且双曲线经过点A(2,2)．(1)求双曲线C的方程；(2)过点B(1,0)且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线AM，AN分别与直线x＝1交于点P，Q，求eq\f(|PB|,|QB|)的值．解：(1)由题意可知eq\f(4,a2)－eq\f(4,b2)＝1，eq\f(b,a)＝eq\r(2)，解得a＝eq\r(2)，b＝2.所以双曲线C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线MN的方程为x＝my＋1，代入eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1中，可得(2m2－1)y2＋4my－2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则2m2－1≠0，Δ＝32m2－8>0，y1＋y2＝eq\f(－4m,2m2－1)，y1y2＝eq\f(－2,2m2－1).直线AM的方程为y＝eq\f(y1－2,x1－2)(x－2)＋2，令x＝1，得点P的纵坐标为yP＝eq\f(2－y1,x1－2)＋2.直线AN的方程为y＝eq\f(y2－2,x2－2)(x－2)＋2，令x＝1，得点Q的纵坐标为yQ＝eq\f(2－y2,x2－2)＋2.因为eq\f(2－y1,x1－2)＋eq\f(2－y2,x2－2)＝eq\f(－2my1y2＋2m＋1y1＋y2－4,my1－1my2－1)＝eq\f(\f(－16m2＋4,2m2－1),\f(4m2－1,2m2－1))＝－4，所以yP＋yQ＝0，即eq\f(|PB|,|BQ|)＝1.2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1与圆x2＋y2＋2eq\r(3)x＝0的圆心重合，过右焦点F2的直线与C交于A，B两点，△ABF1的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)若C上存在M，N两点关于直线l：2kx－2y＋3＝0对称，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求k的值．解：(1)由x2＋y2＋2eq\r(3)x＝0，得F1(－eq\r(3)，0)，∴c＝eq\r(3).根据椭圆定义，由△ABF1的周长为8，得4a＝8，a＝2.∴b2＝a2－c2＝1.椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设线段MN的中点Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由直线l：kx－y＋eq\f(3,2)＝0，且l⊥MN，设lMN：x＝－ky＋m，则联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－ky＋m，,x2＋4y2＝4，))得(k2＋4)y2－2kmy＋m2－4＝0，则Δ＝(2km)2－4(k2＋4)(m2－4)＝16(k2＋4－m2)，y1＋y2＝eq\f(2km,k2＋4)，y1y2＝eq\f(m2－4,k2＋4)，x1x2＝m2－km(y1＋y2)＋k2y1y2.∵OM⊥ON，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，x1x2＋y1y2＝0，即m2－km(y1＋y2)＋(k2＋1)y1y2＝0，∴5m2＝4(k2＋1)．①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)＋y\o\al(2,2)＝1，))得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),4)＋yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝0，即eq\f(1,4)＋eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝0.∴eq\f(1,k)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(1,4).∵eq\f(1,k)＝eq\f(x0,y0－\f(3,2))，eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y0,x0)，∴eq\f(y0,y0－\f(3,2))＝eq\f(1,4)，得2y0＝－1.∴eq\f(2km,k2＋4)＝－1.②联立①②，消去m得11k4－24k2－80＝0，∴k2＝4，k＝±2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,m＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,m＝2.))经验证，满足Δ>0，∴k＝±2.3.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，点A(2，y0)在C上，△OAF的面积为4.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(m,0)(m>0)作斜率为－1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2∥l1，求△MNQ的面积．解：(1)由题意可知，抛物线C的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).将A(2，y0)代入抛物线C的方程得yeq\o\al(2,0)＝4p.又p>0，则|y0|＝2eq\r(p).因为△OAF的面积为eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×2eq\r(p)＝eq\f(p\r(p),2)＝4，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)由(1)可得抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F(2,0)．设直线l1：x＝－y＋m(m>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－y＋m，,y2＝8x，))消去x得y2＋8y－8m＝0，则Δ＝64＋32m>0，y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m.因为点M(x1，y1)在抛物线上，则yeq\o\al(2,1)＝8x1，即x1＝eq\f(y\o\al(2,1),8).所以直线MF的方程为x＝eq\f(x1－2,y1)y＋2＝eq\f(\f(y\o\al(2,1),8)－2,y1)y＋2＝eq\f(y\o\al(2,1)－16,8y1)y＋2.联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y\o\al(2,1)－16,8y1)y＋2，,y2＝8x，))消去x得y2＋eq\f(16－y\o\al(2,1),y1)y－16＝0，可得y1y3＝－16，即y3＝－eq\f(16,y1)，则x3＝eq\f(y\o\al(2,1)－16,8y1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,y1)))＋2＝eq\f(32,y\o\al(2,1))，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,y\o\al(2,1))，－\f(16,y1))).因为l2∥l1，可设l2：x＝－y＋n，代入Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,y\o\al(2,1))，－\f(16,y1)))得eq\f(32,y\o\al(2,1))＝eq\f(16,y1)＋n，即n＝eq\f(32,y\o\al(2,1))－eq\f(16,y1)，所以l2：x＝－y＋eq\f(32,y\o\al(2,1))－eq\f(16,y1).联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－y＋\f(32,y\o\al(2,1))－\f(16,y1)，,y2＝8x，))消去x得y2＋8y＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y1)－\f(32,y\o\al(2,1))))＝0.因为l2为抛物线C的切线，则Δ＝64－32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y1)－\f(32,y\o\al(2,1))))＝0，整理得yeq\o\al(2,1)－8y1＋16＝0，解得y1＝4.又因为y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，y1y3＝－16，可得y2＝－12，m＝6，y3＝－4，即Q(