《机械制图》课件-第2章 正投影基础

第二章

正投影基础目录导航2.1投影法与投影图2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5直线与平面、平面与平面的相对位置2.1投影法与投影图2.1.1投影的概念物体在光源的照射下会出现影子。投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。目

录2.1.2投影法的分类投影法有两大类，即：中心投影法和平行投影法。中心投影法投影法正投影法斜投影法平行投影法目

录1.中心投影法中心投影法：投射线均通过投射中心。投射中心S投射线投影投影特性：如改变△ABC与投射中心或投影面之AaCB投影面H间的距离，则其投影△abc的大小也随之改变，度量性较差。cb规

定大写字母表示空间点;小写字母表示在投射中心确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。相应空间点的投影。目

录2.平行投影法如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法。SSHH斜投影法投射方向S倾斜于投影面H正投影法投射方向S垂直于投影面H目

录平行投影的应用：投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。目

录3.平行投影的基本性质(1).同素性(2).从属性(3).平行性(4).定比性(5).类似性特殊情况下：积聚性、全等性。目

录(1)同素性点的投影是点，直线的投影一般仍是直线。目

录(2)从属性若点在直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上。即C在AB上，则c在ab上。目

录(3）

平行性两平行直线的投影一般仍平行。AB/CD=ab/cd目

录（4）

定比性一条直线上任意三个点的简单比是平行投影的不变量。即：AC/BC=ac/bc目

录（5）

相仿性一般情况下，平面形的投影都要发生变形，但投影形状总与原形相仿，即平面投影后，与原形的对应线段保持定比性，表现为投影形状与原形的边数相同、平行性相同、凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变。目

录伸缩系数

k：投影长与线段原长之比。k=ab/AB=cosα目

录特殊情况下，平行投影具有以下重要性质：1）.积聚性当直线平行于投射方向S时，直线的投影为点；当平行图形平行于投射方向S时，其投影为直线。目

录2）全等性（现真性）当线段平行于投影面H时，其投射长度反映线段的实长；当平面图形平行于投影面H时，其投影与原平面图形全等。目

录2.2点的投影点是最基本的几何元素，下面用点的投影说明正投影的规律。仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。Vb

●B●1B2B3●●采用多面投影可解决此问题。为了确定几何元素的空间位置，需要建立正投影的投影面体系。目

录2.2.1.点的三面投影及规律1.投影面体系与投影轴三投影面体系：用三个相互垂直的投影面构成投影面体系。目

录三投影面体系：水平投影面（H面）正面投影面（V面）侧面投影面（W面）ZVXWO两投影面相交，其交线称为投影轴：V∩H=OX轴H∩W=OY轴V∩W=OZ轴Y目

录2.点的投影及影射规律Z（1）点的三面投影Va

a点A的水平投影。点A的正面投影。点A的侧面投影。●Aa

a

a

●●XWa●规定：Y空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加两撇。目

录投影面展开Z向右翻不动

Vaza

Z●VWa

●az

aAa

ax●●●XWOYWayXaxOaay●Ha●ayYHYH向下翻目

录在投影时，投影的大小不受限制，通常不必画出投影面的边框。Za

a

aaz●●aYWXxOya●ayYH目

录3.点的投影规律1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X轴；a

a⊥OX轴。Z2、V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直a

●aza

●Z轴；a

a

⊥OZ轴。axOYXWay3、H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。a●ayYH其中W面上的一段垂直OY，H面上的一段W。垂直OY心的圆弧联系起来。H，中间可用折线、45斜线或以O为圆目

录a

a=a

a=z=A到H面的距离xyaa=a

a=x=A到W面的距离yzaa=a

a=y=A到V面的距离xzZa

●aa

z●aXxOYWaya●ayYH目

录小

结：Z1、点的投影连线垂直于相应的投影轴。Vaza

●Aa

●●ax●XWOZaa

●az

●aay●Haxa●XOYWYay2、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。ayYH目

录［例1］已知点C的两个投影c

和c

，求作其水平投影c。Zc

●cc

●z通过作45°转宽线使c

cz=ccxYwcxcywoXcyHc●YH目

录4.点的投影和坐标点的每个投影反映两个坐标：V投影反映高标和横标(a′a和a′a)，XZH投影反映纵标和横标(aa和aa)，XYHW投影反映高标和纵标(a″a和a″a)。YWZ目

录5.各种位置点的投影（1）

一般位置点（X、Y、Z）（2）

特殊位置点1)投影面上的点：V面上点（X、0、Z）H面上点（X、Y、0）W面上点（0、Y、Z）2)投影轴上点:X轴上点（X、0、0）Y轴上点（0、Y、0）Z轴上点（0、0、Z）3)原点上的点:（0、0、0）注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。目

录各种位置点的投影图目

录2.2.2两点的相对位置和重影点（1）

两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：X坐标大的在左Y坐标大的在前Z坐标大的在上目

录［例2］如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求:点B的三个投影。作图步骤：Zb

b

bzaz1）在a′左方12mm，上方8mm处确定b′；●●a

a

812bxaxbyYWO2）作b′b⊥OX轴，且在a前10mm处确定b；ayXaay10●bby3）按投影关系求得b″。YH目

录（2）

重影点当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。目

录点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重合，称为对H面的重影点。而点C、A则称为对W面的重影点。目

录2.2.3点的两面投影点的两面投影是三面投影去掉W面和侧面投影所构成的，如下图所示。在点的两面投影中确定出Z轴的位置后，由点的投影规律即可将它转换成三面投影。目

录2.3直线的投影2.3.1直线的表示方法与直线的位置1.一般情况下，直线的投影仍为直线。直线Za

●a

●的投影规定用粗实线绘制。b

b

●●oXYW2.直线的表示方法：将直线上两个端点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的三个投影。a●●bYH目

录3.直线的倾角直线的倾角是指空间直线与三个投影面间的倾角，一般用直线与其相应投影间的夹角表示，如：直线AB与ab的夹角为α直线AB与a′b′的夹角为β直线AB与a″b″的夹角为γ目

录4.直线的位置正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面平行线统称特殊位置直线正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）垂直于某一投影面投影面垂直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线目

录2.3.2特殊位置直线的投影及特性1.投影面平行线水平线Z正平线侧平线实长实长b

a

a

baZa

b

Za

b

a

b

γβαb

αYWYWXYWXXaaβγbabbYHYHYH与H面的夹角:α与V面的夹角:β与W面的夹角:γ实长投

影

特

性1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。目

录投影面平行线的投影及特性名称正平线水平线侧平线立体图βγβαγαγαβ投影图αβγ1.V面投影a'b'反映实长。1.H面投影ac反映实长。1.W面投影b"c"反映实长。投影特性2.a'b'与OX和OZ轴的夹角2.ac与OX和OYh轴的夹角分2.b"c"与OY

和OZ轴的夹角wγβγα分别是和β角的大小。α别反映和角的大小。分别为和倾角。3.H和W面投影ab和a"b"分别3.V和W面投影a'c'和a"c"分3.V和H面投影b'c'和bc分别平行OX和OZ轴。别平行和OYw轴。OX平行OZ和OYh轴。应用实例目

录2.投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线Zc

(d

)●

c

a

a

ZdZe

(f

)●e

f

ob

b

YWXodcYWoXYWX●a(b)efYHYHYH投

影

特

性（1）

在其垂直的投影面上，投影有积聚性。（2）

另外两个投影反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。（3）三个倾角都可知。目

录名称铅垂线正垂线侧垂线投影面垂直线的投影及特性立体图投影图1.V面投影c'd'积聚成一点。1.W面投影c"e"积聚成一点。1.H面投影ab积聚成一点。投影特性2.H面和V面投影ce和c'e'均平行OX轴(或分别垂直OYh和OZ轴)，其投影长度等于直线实长。2.V面和W面投影a'b'和a"b"

2.H面和W面投影cd和c"d"均平行OZ轴(或分别垂直OX

均平行OY轴(或分别垂直和OYW轴),其投影长等于直OX和OZ轴)，其投影长度线实长。等于直线实长。3.直线CD的倾角β=90°,α=γ=0°。3.直线CE的倾角γ=90°,α=β=0°。3.直线AB的倾角α=90°,β=γ=0°。应用实例目

录2.3.3一般位置直线的投影与特性直线与H、V和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。ab=ABcosαa

b

=ABcosβa

b

=ABcosγ投影长分别是：目

录一般位置直线投影特性：三个投影均倾斜投影轴，任一个投影都不是直线的实际长度。三个倾角在投影图中均不反映。目

录2.3.4直线上的点及其投影特性1点和直线的从属关系若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，C∈AB，则有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。从属性反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。在图中，C点在直线AB上，而D、E两点均不满足上述条件，所以都不在AB直线上。目

录2.判断点是否在直线的方法。［例1］判断点C是否在线段AB上。Za

c

a

利用第三面投影判断c

●●b

b

oXYWac●因c

不在a

b

上，故点C不在AB上。bYH另一判断法?应用简单比定理目

录利用点分割线段成定比的特性判断b

Vb

c

Bbc

a

a

CcXXbAcaaH直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

定比定理目

录［例２］试在AB线段上取一点C，使AC∶CB＝1∶2，求

:分点C的投影。作图步骤：1）过a(或b)任作一直线aB1（或bB1)；b

c

a

2）在aB上取C，11使aC∶CB＝1∶2；X111b3）连接B1、b；ca4）过C作Cc∥Bb，与ab交于c；111C15）过c作X轴的垂线与a′b′交于c。则c、c′即所求分点C的投影。B1分析：分点C的投影，必在AB线段的同面投影上，且

ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2可用比例作图法作图。目

录[例３]已知直线EF及点K的二投影，试判断:点K是否在直线EF线上。作图步骤：e

1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE1;k

f

2)在fE上取fK=f

k

,KE=k

e

;1111X3)连接Ee，过K作直线平行于e11Ee，与fe交于k；E11k1。k.K11因为已知投影

k与k1不重合，所以点K不在直线EF上。f应用简单比定理目

录2.3.5两直线的相对位置及投影特性空间两直线的相对位置有：平行、相交、交叉。1、两直线平行投影特性：b

Vd

a

B空间两直线平c

AD行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。CXacbHd目

录［例4］判断图中两条直线是否平行。对于一般位置b

d

直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。a

c

Xac若

AB//CD，则有

ab//cdbda′b′//c′d′目

录［例5］判断图中两条直线是否平行。c

Zc

对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。a

a

b

d

d

ob

YXWcbad求出侧面投影后可知：YHAB与CD不平行。目

录2、两直线相交交点是两直线的共有点Vc

b

d

k

b

c

a

k

CBbd

AaKDda

XXkcdaHkcb判别方法：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。目

录相交两直线的三面投影：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。目

录3、两直线交叉d

2

a

3

(4

)●●1

c

●Ab

XB●4cb●2(1)●3daⅠ、Ⅱ是对H面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是对V面的重影点。目

录位置两直线平行两直线相交两直线交叉立体图投影图1.若空间两直线相交，则它1.既不平行又不相交的空间们的各组同面投影也必然相两直线必然是交叉的。交，且交点的各面投影连线2.交叉两直线可能有一组或投1.若空间两直线相互平行，则它们的各组同面投影一定影平行。垂直相应的投影轴。两组同面投影平行，但第三2.反之，若两直线的所有同特2.反之，若两直线的所有同组一定不平行；也可能有一面投影都相交，且交点的各组、二组或三组同面投影相面投影连线垂直相应的投影交，但交点各面投影的连线轴，则这两直线一定相交。必不完全垂直相应的投影轴。面投影相互平行，则此两直线在空间一定平行。性应用实例目

录4、两直线垂直（1）垂直相交两直线的投影特例，可用直角投影定理来描述如下：垂直相交的两直线，若其中一条平行某投影面，则在该投影面上两直线的投影反映直角。两直线垂直是相交的特例，垂足就是两直线的交点。两直线垂直的主要问题是：垂直两直线处在什么位置时，其投影反映它们的直角关系。目

录直角投影逆定理：若相交两直线的某面投影为直角，且其中一条直线是该投影面的平行线，则它们在空间垂直。该逆定理主要用于直线垂直的投影判断。[例1]试判断下面两相交直线是否垂直。（b）（c）（d）（a）目

录位置垂直两直线均为平行线垂直两直线之一为平行线垂直两直线均为一般线垂直相交立体图垂直相交投影图交叉垂直投影图目

录2.4平面的投影2.4.1平面的表示法与平面的位置1.平面的表示法--几何元素表示平面不在同一直线上的三个点直线及线

相交两外一点

直线平行两直线任意平面图形目

录2.平面的位置平面位置指平面相对三个投影面的位置，可分为三类：正垂面

(垂直V）垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面投影面垂直面侧垂面（垂直W）铅垂面（垂直H）特殊位置平面，称为特殊面正平面(//V）平行于某一投影面，垂直于另两个投影面投影面平行面侧平面(//W）水平面(//H)与三个投影面都倾斜一般位置平面，简称一般面目

录2.4.2平面的投影及特性1.投影面的平行面1）平行于某一个投影面的平面称为投影面的平行面。2）根据其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分为三种：⚫

水平面——平行于H面的平面；⚫

正平面——平行于V面的平面；⚫

侧平面——平行于W面的平面。目

录3）投影面平行面的投影及特性Z以水平面为例：b

c

a

c

b

a

积聚性积聚性oYWXac实

形bYH投影面平行面的投影特性是：1)当用平面图形表示平面时，平面在其所平行的投影面上的投影，反映平面图形的实形；2)在另外两个投影面上的投影均积聚性为平行相应投影轴的直线段。目

录名称正平面水平面侧平面立体图投影面的平行面投影图应用实例目

录2.投影面的垂直面1).只垂直于一个投影面而倾斜另两个投影面的平面，称为投影面的垂直面。2).根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种：⚫

铅垂面——垂直于H面；⚫

正垂面——垂直于V面；⚫

侧垂面——垂直于W面。目

录3）.投影面垂直面的投影及其特性Zb

b

以铅垂面为例类似性类似性c

c

a

投影面垂直面的投影特性是：a

XoYWβc积聚性bγaYH1)在其所垂直的投影面上的投影积聚为一斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角；2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投影面上的投影不是实形，但具有类似性。目

录名称正垂面铅垂面侧垂面投影面垂直面及投影特性立体图γβα投影图αβγ应用实例目

录3.投影面的一般面（1）

一般位置平面与三个投影面既不垂直也不平行，是空间倾斜的平面。如上图实例。目

录（2）.一般位置平面的投影特性：如用平面图形(例如三角形)表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似性。目

录2.4.3平面上的点和直线1.平面内的点点在平面上的条件：如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上

，反之亦然。m’Mm目

录2.平面内的直线直线在平面上的条件:1).过平面上的两个点所作的直线在已知面内

。m’n’MNmm目

录2.平面内的直线直线在平面上的条件:2).过平面上一点且平行面内的一条在面线所作的直线在已知面上。m

Mm目

录［例1］已知平面ABC内一点K的H投影k,试求K点的V投影k

。b

b

d

1）d

2）k

●k

c

●c

a

a

0XX0bbdd●k●kaacc过平面内两已知点作辅助线求解过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解目

录［例2］已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V投影a′b′c′，试完成其V投影

。d′a′1）连接ac和a′c′得辅助线AC的两投影；e′b′2）连接bd交ac于e；c′3ea′c′e′b′e′）由

在

上求出

；a4）连接b′e′，

在

上求d出d′；e5）分别连接a′d′；及c′d′，即为所求。bc目

录［例3］已知平面ABC和直线MN的两面投影，试判断MN是否在ABC平面上。1）连c‘m’和

c‘n’分别交

a'b'于1'、2'点；2）在水平投影ab上求得1、2两点，并连接cm和

cn；如图2-44b所示。1′2′3）判断：由于cm过1点，但cn不过2点，所以M点在平面内但N不在，因此，直线MN不在平面ABC内。21目

录2.4.4平面内的特殊线—在面平行线既在已知平面上，同时又平行某一投影面的线段叫在面平行线1.在面平行线的种类：在面正平线在面侧平线在面水平线在面正平线（∥V面的在面线）在面水平线（∥H面的在面线）在面侧平线（∥W面的在面线）目

录2.在面平行线的特性1）它是已知平面上的直线，符合在面线的投影特性。2）它又是投影面的平行线，所以具有投影面平行线的投影特性，即两个投影平行投影轴，一个投影为反映实长的斜线。下图分别为在面正平线、在面水平线和在面侧平线的三面投影图。目

录3.在面平行线作图要点1.先画在面平行线平行投影轴的两个投影；2.由在面条件求反映实长的倾斜投影。目

录2.5直线与平面、平面与平面的相对位置本节讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。目

录当平面是特殊位置（垂直面或平行面）平面时，该平面至少有一个积聚性投影。由平面的积聚性投影入手，就能直观地了解直线与平面和平面与平面平行或相交的投影特性，并能简化相应的作图。目

录2.5.1平行关系1.直线与平面平行定理:若直线平行于平面上的任一在面线，则该直线必定平行此平面。当平面为特殊面时，若直线的投影平行平面同面的积聚性投影，则直线平行该平面。目

录如图：由于ef∥ad，e

f

∥a

d

，即EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。目

录当平面EFG为铅垂面时，只要AB直线的水平投影ab平行平面的积聚性投影efg（水平投影）,则直线一定平行平面EFG。注：只要直线的投影平行平面同面的积聚性投影，则在没有其他约束条件的情况下，直线的另一个投影可以是任意位置，目

录[例4]过已知点k，作一条水平线平行于△ABC平面。步骤：b′k′l′1）在ABC平面内作一水平线AD；d′a′c′2）过点K作XKL∥AD；akc3）直线KLl即为所求。db目

录[例5]试判断:已知直线EF是否平行于三棱锥的侧表面SBC。作图步骤：1）作三棱锥在面线b

m

∥e

f

；2）根据在面条件求作水平投影bm；m

3）判断：由于bm不平行于ef，即在该平面内作不出与EF平行的直线，所以，直线EF不平行m于三棱锥侧表面SBC。目

录2.5.1平行关系2.平面与平面平行定理:如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。当平面为特殊面时，如果两平面任一组同面的积聚性投影平行，则这两个平面平行。目

录两个特殊面平行因为平面P∥Q且它们是铅垂面，所以其水平投影积聚且平行，即

p∥q，正面投影p’和q’是符合各自投影关系的类似图形。目

录［例6］判断下面直线与平面是否平行。（

）（

）

（

）

（

）目

录［例7］过点K作一平面，使其平行平面ABC。解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。作图步骤：l

b

1）作KL∥BC(k

l

∥b

c

,kl∥bc);d

a

k

c

2）作KD∥ACXb(k

d

∥a

c

,kd∥ac);lca3）平面KDL即为所求。kd目

录2.5.2相交关系1.直线与平面和两个平面相交的基本问题（1）直线与平面相交的交点具有共有性，即它既在直线上，也在平面上，并且交点是直线可见与不可见部分的分界点。求直线与平面的交点，实质是求它们的共有点。（2）两个平面的交线是一条直线，交线既是两个平面的公有线，也是两个平面投影图中的可见与不可见部分的分界线。求两个平面的交线，需求出两个共有点，或求出一个共有点及交线的方向，即可确定该交线。目

录1.直线与平面和两个平面相交的基本问题（3）由此可见：求直线与平面的交点，或求两个平面的交线，都可以归结为求它们的共有点的问题。（4）求出直线与平面的交点，或者求出两个平面的交线后，还要根据它们在空间的相互位置，在投影图中判断其可见性，不可见的部分不画或画成虚线。目

录2.直线与平面相交

（1）利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影