第12章 实数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练分析版

第12章实数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022春·上海松江·七年级校考期中）下列各数中：、、、、、（它的位数无限，且相邻两个“”之间的“”依次增加个），无理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．【详解】解：、是整数，是分数，这些都属于有理数；无理数有，，（它的位数无限，且相邻两个“”之间的“”依次增加个），共有个．故选：C．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（相邻两个中间依次多个），等有这样规律的数．2．（2021春·上海·七年级校考期中）如果与是同一个数的平方根，那么这个数等于（

）A．1 B．-3 C．4 D．4或100【答案】D【分析】根据平方根的定义分两种情况进行解答即可．【详解】解：当2m-4与3m-1相等时，有2m-4=3m-1，即m=-3，所以2m-4=-10，3m-1=-10，因此这个数为100；当2m-4与3m-1不相等时，则有2m-4+3m-1=0，解得m=1，所以2m-4=-2，3m-1=2，因此这个数为4，综上所述，这个数为100或4，故选：D．【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．二、填空题3．（2022春·七年级单元测试）比较大小：(填“＞”、“=”或“＜”)．【答案】＜【分析】先对二次根式进行变形，再比较大小即可．【详解】解：，，∵，∴．故答案为：＜．【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解答此题的关键．4．（2022春·七年级单元测试）求值：=______．【答案】【分析】根据二次根式的性质：=|a|解答即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质：=|a|，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．5．（2021春·上海·七年级校考期中）数轴上表示-的点与表示2的点之间的距离是___．【答案】##【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值解答．【详解】解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离是，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，熟记并理解数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值是解题的关键．6．（2021春·上海·七年级校考期中）把写成分数指数幂的形式是___．【答案】【分析】直接利用分数指数幂与根式的互化求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查根式与分数指数幂的互化，解题关键在于掌握运算法则．7．（2021春·上海浦东新·七年级校考期末）求值：______．【答案】【分析】根据立方根的定义进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．8．（2021春·上海崇明·七年级统考期末）4的算术平方根为______________．【答案】2【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵22=4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根的定义（如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根），熟练掌握该知识点是解题关键．9．（2018·上海徐汇·七年级阶段练习）化简：_____．【答案】5【分析】先求出-5的平方，再求算术平方根即可．【详解】解：，故答案为：5．【点睛】本题考查了一个数的平方和算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．（2023春·七年级单元测试）的平方根______，的算术平方根是______．【答案】

【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解即可．【详解】∵，∴4的平方根是，∵，即的算术平方根是，故答案为：，【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根的计算，如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，如果一个正数的平方等于a，这个数就叫a的算术平方根，0的算术平方根是0．掌握定义是解题的关键．三、解答题11．（2023春·上海·七年级专题练习）请把下列各数填入相应的集合中．，，，，，，，，…(1)正数集合：…(2)分数集合：…(3)非负整数集合：…(4)有理数集合：…(5)无理数集合：…【答案】(1)，，，，(2)，，，(3)，(4)，，，，，，(5)，【分析】（1）正数，是指大于的数，由此即可求解；（2）分数，是指有限小数，无限循环小数，含有分子、分母的最简分数，包括正分数、负分数；（3）非负整数，是指正整数、；（4）有理数，是指整数、分数；（5）无理数，是指无限不循环小数，特殊结构的数，含有的最简分数．【详解】（1）解：正数是大于的数，故答案是：，，，，（2）解：分数是含有分子、分母的最简分数，有限小数，无限循环小数，故答案是：，，，（3）解：非负整数是正整数和，故答案是：，（4）解：有理数分为整数和分数，故答案是：，，，，，，（5）解：无理数是无限不循环小数，特殊结构的数，含有的最简分数，故答案是：，【点睛】本题主要考查数的分类，解题的关键是对概念的理解．12．（2023春·七年级单元测试）一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．【答案】边长，表面积【分析】根据题意知大正方体的体积为，则其边长为体积的立方根，可求得表面积．【详解】解：正方体的体积为：，即正方体的边长为：，则正方体的表面积为：，答：边长，体积．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解答本题的关键．13．（2021春·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考期末）利用幂的性质计算：．【答案】9【分析】直接利用分数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2021春·上海宝山·七年级校考期中）计算：【答案】．【分析】根据实数的加减法则即可得．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．15．（2021秋·上海普陀·七年级统考期末）计算：．【答案】1【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．16．（2023春·七年级单元测试）数轴上的点A、B依次表示两个实数．（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数．【答案】（1）见解析；（2）或﹣3【分析】（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置．（2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算．【详解】解：（1）如图：（2）设点C表示的数是x，则：|x+|＝2．∴x＝或﹣3．∴点C表示的数是或﹣3．【点睛】本题考查数轴上的点与实数的对应关系即数轴上两点间的距离公式，正确使用距离公式是求解本题关键．17．（2020春·上海松江·七年级统考期末）计算：【答案】4【分析】根据分数指数幂的意义即可求出答案．【详解】解：原式【点睛】本题考查分数指数幂，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除运算法则，本题属于基础题型．18．（2023春·上海·七年级专题练习）运用幂的性质运算：【答案】【分析】直接利用分数指数幂的性质将原式变形进而计算得出答案．【详解】解：原式【点睛】此题主要考查了分数指数幂的性质，正确将原式变形是解题的关键．【典型】一、单选题1．（2022春·上海·七年级专题练习）下列各数中，属于无理数的是（）A． B．3 C．π D．【答案】C【分析】无理数是无限不循环小数．【详解】解：A、是小数，是属于有理数，故本选项不合题意；B、3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C、π是无理数，故本选项符合题意；D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查无理数得定义，是基础考点，掌握无理数的定义及三种形式是解题关键．2．（2022春·上海·七年级专题练习）估计的值（精确到1）（）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据某数开平方根的性质，可得，即，“精确到1”是指精确到个位数，而由可知，由近似值四舍五入可得.【详解】∵∴又∵，∴精确到1，四舍五入，可得.故答案为：C【点睛】本题旨在考查某数开平方根的性质以及近似值的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键.3．（2022春·上海·七年级专题练习）在数轴上所对应的位置在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【答案】B【分析】因为，所以，即可解得．【详解】解：∵∴∴故选．【点睛】本题考查了数轴的对应点的问题，掌握无理数的性质、数轴的性质是解题的关键．二、填空题4．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）将写成幂的形式_________【答案】【分析】根据正数的分数指数幂与根式的相互转化即可解答.【详解】解：根据分数指数幂的定义可知，，故答案为.【点睛】本题考查了分数指数幂的定义，准确计算是解题的关键.5．（2022春·上海·七年级专题练习）若+|b﹣2|＝0，则（a+b）2020的值为______．【答案】1【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．【详解】∵∴a+3＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣3，b＝2；因此a+b＝﹣3+2＝﹣1．则（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性及乘方，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性及乘方是解题的关键．6．（2022春·上海·七年级专题练习）计算:=_________【答案】8【分析】等于16的立方然后再开4次方，即可解答.【详解】解：，故答案为8.【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，准确计算是解题的关键.7．（2022春·上海·七年级专题练习）16的四次方根是_________【答案】【分析】根据四次方根的意义即可解答.【详解】解：16的四次方根是：，故答案为.【点睛】本题考查了四次方根，准确计算是解题的关键.8．（2022春·上海·七年级专题练习）比较大小:______6.【答案】【分析】将6转化成然后再比较大小即可解答.【详解】解：6=＞，故答案为＜.【点睛】本题考查了无理数的大小比较，灵活进行转换是解题的关键.三、解答题9．（2022春·上海·七年级专题练习）计算（1）求值：（2）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由①-②，得.解法二：由②得，，③把①代入③，得.①反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.②请选择一种你喜欢的方法，完成解答.（3）求不等式组的正整数解.【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3，4【分析】（1）先分别把乘方、绝对值以及根号算出来，再进行加减运算即可得出答案；（2）根据解二元一次方程组的步骤解题即可得出答案；（3）先把不等式组的解集求出来，再判断正整数解有哪些，即可得出答案.【详解】解：（1）原式.（2）解：解法一中的解题过程有错误，由①－②，得“×”，应为由①－②，得；

由①－②，得，解得，把代入①，得，解得．故原方程组的解是．（3）解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2，3，4．【点睛】（1）本题考查的是实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解决本题的关键；（2）本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解决本题的关键;（3）本题考查的是求不等式组的整数解问题，根据不等式组求出此不等式组的解集是解决本题的关键.10．（2019春·上海嘉定·七年级校考期中）计算【答案】【分析】利用幂的乘方运算法则，负指数幂的运算法则计算即可.【详解】解：原式=【点睛】本题考查了幂的乘方和负指数幂的运算，准确计算是解题的关键.11．（2022春·上海·七年级专题练习）计算：（结果保留幂的形式）【答案】【分析】将原式中根式分别化简成指数幂的形成，再进行乘除运算即可解答.【详解】解：原式=.故答案为.【点睛】本题考查了根式与指数幂的转化，同底数幂乘除运算，准确计算是解题的关键.12．（2022春·上海·七年级专题练习）计算：．【答案】0【分析】首先计算零指数幂、化简绝对值、乘方，然后根据实数运算法则计算即可．【详解】原式===0故答案为0．【点睛】本题考查了零指数幂，绝对值的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握不同运算的运算法则是本题的关键．13．（2022春·上海·七年级专题练习）用幂的运算性质计算：【答案】1【分析】根据分数指数幂和根式的转化即可解答.【详解】解：原式=，故答案为1.【点睛】本题考查了分数指数幂和根式的转化，准确计算是解题的关键.【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022春•杨浦区校级期末）在实数，−，，，0.，2.020020002…，中无理数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：＝15，是整数数，属于有理数；，0.是分数，属于有理数．无理数有，2.020020002…，中共有3个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（2022春•杨浦区校级期中）若a、b是不相等的无理数，则（）A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 C．a•b一定是无理数 D．不一定是无理数【分析】根据有理数和无理数的定义和性质分析即可判定选择项．【解答】解：A、当a＝2﹣，b＝2+，a+b＝4，a+b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；B、当a＝1+，b＝2+，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；C、当a＝，b＝2，ab＝8ab是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；D、若a、b是不相等的无理数，则不一定是无理数，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．3．（2022春•闵行区校级期中）数0.01001000100001，，π，﹣，，0.中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：0.01001000100001是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0.是循环小数，属于有理数；无理数有，π，，共3个．故选：C．【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4．（2022春•杨浦区校级期中）在数0.1234568910…，0.，，，﹣，中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据无理数的概念求解即可．【解答】解：0.是循环小数，属于有理数；＝3是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数有0.1234568910…，，，共有3个．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．二．填空题（共10小题）5．（2022春•松江区校级期中）比较大小：﹣＞﹣2．【分析】先计算两个数的平方，然后再进行比较即可解答．【解答】解：∵（﹣）2＝3，（﹣2）2＝4，∴3＜4，∴﹣＞﹣2，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．6．（2022春•闵行区校级期中）比较大小：＜（用“＞”、“＜”“＝”）．【分析】先通分，分母为20，比较分子5（﹣1）与4的大小关系，估算5＝的大小，从而得结论．【解答】解：∵＝，＝，∵5＝，且8＜＜9，∴8﹣5＜﹣5＜9﹣5，∴3＜5﹣5＜4，∴＜，∴＜．故答案为：＜．【点评】此题考查无理数的估算，注意找出最接近的取值范围的数值．7．（2022春•杨浦区校级期中）如果＝3n，那么n＝﹣．【分析】先化成分数指数幂再计算．【解答】解：∵＝＝＝＝3n．∴n＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查平方根和立方根的运算，将根式转化为分数指数幂是求解本题的关键．8．（2022春•杨浦区校级期中）把写成底数是整数的幂的形式是．【分析】利用分数指数幂的法则，进行计算即可解答．【解答】解：＝＝＝，∴把写成底数是整数的幂的形式是，故答案为：．【点评】本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的法则是解题的关键．9．（2022春•闵行区校级期中）比较大小：2﹣＞3﹣4．【分析】把，，的近似值代入进行计算，即可解答．【解答】解：∵≈1.732，≈3.162，≈1.414，∴2﹣≈2×1.732﹣3.162＝0.302，3﹣4≈3×1.414﹣4＝0.242，∴0.302＞0.242，∴2﹣＞3﹣4，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握，，的近似值是解题的关键．10．（2022春•闵行区校级期末）在实数﹣，﹣1，0，2中，最小的一个数是﹣．．【分析】根据正数大于0，0大于负数，然后再利用两个负数比较，绝对值大的反而小即可解答．【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣1|＝1，∴＞1，∴﹣＜﹣1，在实数﹣，﹣1，0，2中，∵﹣＜﹣1＜0＜2，∴最小的一个数是：﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．11．（2022春•静安区期中）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则m＝1或﹣3，a＝4或100．【分析】根据平方根的定义，求出m的值，进而确定a的值即可．【解答】解：①当2m﹣4与3m﹣1不相等时，有2m﹣4+3m﹣1＝0，解得m＝1，当m＝1时，2m﹣4＝﹣2，3m﹣1＝2，所以a＝22＝4，此时，m＝1，a＝4，②当2m﹣4与3m﹣1相等时，即2m﹣4＝3m﹣1，解得m＝﹣3，当m＝﹣3时，2m﹣4＝﹣10，3m﹣1＝﹣10，所以a＝100，此时m＝﹣3，a＝100，故答案为：1或﹣3，4或100．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是解决问题的关键．12．（2022春•徐汇区校级期中）计算：＝﹣π．．【分析】根据二次根式的化简方法进行计算即可．【解答】解：原式＝|π﹣|＝﹣π．故答案为：﹣π．【点评】本题考查了算术平方根和二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．13．（2022春•普陀区校级期末）比较大小：4＜7．（填“＞”、“＝”、“＜”）【分析】根据平方的幂越大底数越大，可得答案．【解答】解：（4）2＝48，72＝49，∴，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数比较大小，先算平方，再比较底数的大小．14．（2022春•闵行区校级期中）已知下列各数（1），（2）﹣6，（3）0.777777777，（4）0.2，（5）﹣，（6）0.2020020002…（两个2之间依次多1个零），（7），其中，属于无理数的是：（6）、（7）．（填写序号）【分析】根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：（1）＝，无理数有（6）0.2020020002…（两个2之间依次多1个零），（7），即属于无理数的是（6）、（7）．故答案为：（6）、（7）．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．三．解答题（共2小题）15．（2022春•杨浦区校级期末）计算：（﹣1）0+16﹣．【分析】利用零指数幂的意义，分数指数幂的意义和立方根的意义解答即可．【解答】解：原式＝1+2﹣＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，分数指数幂的意义和立方根的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．16．（2022春•徐汇区校级期中）利用幂的性质计算：×÷×（﹣1）0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：×÷×（﹣1）0＝×÷×1＝×1＝4．＝4．【点评】本题考查了实数的运算，分数指数幂，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．【压轴】一、单选题1．（2022春·上海·七年级专题练习）若实数p，q，m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则绝对值最小的数是（

）A．p B．q C．m D．n【答案】C【分析】根据，并结合数轴可知原点在q和m之间，且离m点最近，即可求解．【详解】解：∵结合数轴可得：，即原点在q和m之间，且离m点最近，∴绝对值最小的数是m，故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．2．（2022春·上海·七年级专题练习）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）=；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为．(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案．【详解】（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）=，故（1）正确；（2）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）∵∴n×n是m的最佳分解∴对任意一个完全平方数m，总有，故（2）正确；（3）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；（4）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x∵t为吉祥数∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36∴y=x+4∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数∴吉祥数有：15,26,37,48,59∴，，，，∴最大值为，故（4）正确；故答案选择D．【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，解题关键是掌握最佳分解和吉祥数的概念．二、填空题3．（2022春·上海·七年级专题练习）对于任意的正整数，记，表示，且．则使得成立的最大整数为_______．【答案】26【分析】先根据计算的和，明确题意要的是和里面的因数5的个数即可求解．【详解】解：∵，∴，∵中有21个因数5（注意25和75都是2个），且，∴中共有26个因数5，故使得成立的最大整数为26；故答案为：26．【点睛】本题考查的是整除，关键是正确理解题意，能够找出中共有26个因数5．4．（2022春·上海·七年级专题练习）观察下列各式：……计算：_________．【答案】【分析】根据题目中给出的式子找到规律，写出，然后通过裂项相消解题即可.【详解】解：原式=…=…==【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是观察式子，找出规律，灵活运用裂项相消进行计算.5．（2022春·上海·七年级专题练习）若规定符号的意义是：，则当时，的值为________．【答案】【分析】根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．【详解】∵，∴，∴原式=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．6．（2022春·上海·七年级专题练习）在研究“数字黑洞”这节课中，乐乐任意写下了一个四位数（四数字完全相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差:重复这个过程，……，乐乐发现最后将变成一个固定的数，则这个固定的数是__________．【答案】6174【分析】任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234，4321-

1234=

3087，8730-378=

8352

，8532一2358=

6174，6174是符合条件的4位数中唯一会产生循环的(7641-1467=

6174)

这个在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想.【详解】任选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的四位数重复上述的过程，最多七步必得6174，如1234，4321-1234

=3087，8730

-378

=

8352，8532-2358=

6174，这一现象在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想，故答案为：6174.【点睛】此题考查数字的规律运算，正确理解题意通过计算发现规律并运用解题是关键.三、解答题7．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如5353、3535都是成对数材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）=，（1）F(1234)=：F(3232)=（2）试证明任意成对数能被101整除；（3）若t为一个成对数，另一个成对数s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）为一个完全平方数，请求出所有满足条件的F（t）的值．【答案】（1）；