第05讲 乘法公式（2大考点8种解题方法）

第05讲乘法公式（2大考点8种解题方法）考点考向考点考向1.平方差公式：2.完全平方公式考点精讲考点精讲考点一：平方差公式题型一：运用平方差根式进行计算一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．2．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（）A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）二、填空题3．（2021·上海金山·七年级期中）计算：__________．4．（2021·上海奉贤·七年级期中）如果a、b互为相反数，那么a2﹣b2的值是___．5．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：________．6．（2021·上海·七年级期中）计算：______．7．（2021·上海·七年级期中）利用乘法公式计算：-20.3×19.7=__________三、解答题8．（2021·上海奉贤·七年级期中）简便计算：23×54+29×31．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）用乘法公式计算：10．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）计算：．11．（2019·上海奉贤·七年级期末）计算：．12．（2021·上海·七年级期中）计算：题型二:平方差公式与几何图形一、单选题1．（2021·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（

）A． B．C． D．．2．（2021·上海·七年级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）3．（2019·上海市真北中学七年级阶段练习）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（

）A． B．C． D．4．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（

）A．B．C．D．5．（2022·上海·七年级期末）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是(

)A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．二、填空题6．（2022·上海·七年级期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________．三、解答题7．（2022·上海·七年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为．（直接写出答案）8．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．画出拼好的长方形，并标注相应的数据；求拼好后长方形的周长；若，，求拼好后长方形的面积．9．（2021·上海·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为．10．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为的正方形的边长增加，得到一个边长为的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为的正方形的面积.方式1：方式2：因此，（1）请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证；（2）如图3，在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证.考点二：完全平方公式题型三：运用完全平方公式进行计算一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）无论x、y为任何实数，多项式x2+y2−4x−2y+8的值总是(

)A．正数 B．负数 C．零 D．不确定二、填空题2．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：＝____________．3．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）已知，则=_____________三、解答题4．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3a﹣2b+c）（3a+2b﹣c）．6．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+2mn．7．（2021·上海松江·七年级期中）计算：8．（2021·上海黄浦·七年级期中）先化简，再求值：（3x＋2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．9．（2022·上海·七年级专题练习）求的值，其中．10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）先化简，再求值：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣4．11．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称为这个数为“和谐数”．例如：因为13＝22+32，所以13是“和谐数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“和谐数”．（1）判断53是否为“和谐数”；（2）试判断（x2+9y2）•（4y2+x2）（x、y是正整数）是否为“和谐数”，并说明理由．12．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．（1）用a，b表示的面积，并化简；（2）如果点M是线段的中点，联结、、，①用a，b表示的面积，并化简；②比较的面积和的面积的大小．题型四：通过对完全平方公式变形求值一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断二、填空题2．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：，则____．3．（2022·上海·七年级专题练习）若a、b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2=____________4．（2021·上海·七年级期中）已知：，计算：______．5．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）若不论取何值，二次三项式的值恒大于10，则的取值范围是___．三、解答题6．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．7．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，，求的值．8．（2022·上海·七年级专题练习）已知a、b满足，求的值．9．（2021·上海松江·七年级期中）观察下列各式：，，，……（1）按此规律，则______；（2）若，你能根据上述规律求出代数式的值吗？（3）若，直接写出代数式______．10．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1）_______（2）__________利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．已知：，．计算下列各式：（3）；（4）；（5）．11．（2021·上海·七年级期中）阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．题型五：求完全平方公式中的字母系数一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知是一个完全平方式，那么m为（

）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（

）A．4x B．4 C．4 D．3．（2021·上海·七年级期中）如果是一个完全平方式，则n值为（

）A．3； B．-3； C．6； D．±3．二、填空题4．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则的值是___________．5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如果二次三项式x2+3x+a是一个完全平方式，那么常数a的值是___．6．（2019·上海嘉定·七年级期中）如果是完全平方式，则m的值是________．7．（2021·上海·七年级期中）若是完全平方式，则常数=__________8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）(3x+____)2=________________；9．（2021·上海·七年级期中）若是一个完全平方式，则m=_____.10．（2021·上海·七年级期中）已知关于的代数式是完全平方式，则____________11．（2021·上海黄浦·七年级期中）多项式恰好是另一个多项式的平方，则________．题型六：完全平方式在几何图形中的应用一、填空题1．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，则可化简为____．二、解答题2．（2021·上海·七年级期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）3．（2021·上海·七年级期中）如图,用两个边长分别为a，b的正方形，和两个a×b的长方形，拼成图案（1）,图案(1)里含有一个乘法公式，你发现了吗？请写出来:.(2)请你用同样的四个图形，再拼出一个图案来，要求也可以说明这个公式，并且同时是对称图形.(3)现有边长分别为a,b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片各若干张，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为（每两张纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）题型七：整式的混合运算一、解答题1．（2022·上海·七年级期末）计算：.2．（2021·上海杨浦·七年级期中）先化简，再求值：其中3．（2021·上海·七年级期中）9xy（x﹣y）（x+1）﹣3y（x﹣y）（3x+2y）+6y2（x﹣y）（x+1），其中x=，y=2．题型八：完全平方公式在几何图形中的应用一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期中）图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（

）

A．ab B． C． D．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是____________________．3．（2019·上海·七年级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_____．三、解答题4．（2021·上海·七年级期中）阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．5．（2020·上海闵行·七年级期中）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．6．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为.7．（2019·上海嘉定·七年级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个大小、形状都一样的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.求：（1）用a和b的代数式表示正方形ABCD的面积S；（2）当a=4，b=3时，求S的值.8．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，求的值；(2)填空：①若，则＝；②若，则＝．(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．巩固提升巩固提升选择题1.（浦东四署2020期末4）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A.；B.；C.；D..2.（莘松中学2019期中4）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（）A.(-a+b)(a-b) B.-(-a-b)(b-a)C.(a+b)(-a+b) D.(a-b)(a+b)3.（2019宝教院附中10月考6）如图(1)所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图(2)），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A.；B.；C.；D..4.（张江2019期中23）多项式的最小值为（）A. B. C. D.5.（浦东南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（）A. B.C. D.6.（延安中学2019期中19）已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（）A.x;B.-x;C.x4;D.-x4.二、填空题7.（嘉定区2020期末10）计算：_____________.8.（莘松中学2019期中12）计算：____________.9.（西南模2019期中7）计算：（﹣a+2b﹣c）2＝．10.（2019徐汇中学10月考8）计算：=.11.（卢湾中学2020