上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、填空题1．函数y=tanx的最小正周期是2．若复数z=i−1，则|z+1|3．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=.4．已知sinx=−12，x∈[−π5．若函数y=3cosx−Asinx(A>06．已知cotθ=2，则cosθsin7．已知向量a，b的夹角为π3，a=(2，0)8．若1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2−2x+m=0的一个根，则m=9．已知a=(2，−3)，b=(010．在平面直角坐标系中，角α的终边与角β的终边关于y轴对称．若tanα=12，则11．已知函数y=f(x)的定义域为[0，+∞)，且当x∈[(n−1)π，nπ]12．已知平面向量a1、a2、a3、b1、b2、b3两两互不相等，且|a1−a2|=|a二、单选题13．复数z=i⋅(A．1 B．−1 C．i D．−i14．下列命题中正确的是（）A．a+(−C．若|a|=|b|，则a=15．某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：①sin(α+β)=sinαcos若存在α、β恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个16．在复平面上，设点A、B对应的复数分别为−2i、cos(t−π3)+isin(t−π3)A．34 B．π6 C．π4三、解答题17．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M、N分别是边BC、CD的中点，设向量AB=a（1）试用a、b表示向量AM与（2）求AM⋅18．欧拉公式eθi=cosθ+isinθ将自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数sinθ（1）求|z0|（2）若复数z是纯虚数，求a的值.19．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米，∠AOB=π3，动点P在扇形AOB的弧上，点Q在半径OB上，且（1）当OQ=40米时，求分隔栏PQ的长；（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角OPQ的面积S的最大值.20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（1）A=2，ω=1，f(π（2）A=2，x1、x2是y=f(x)的两个相异零点，|x1−x（3）ω=π4，f(4)=3，对任意的实数a，记y=f(x)在区间[a，21．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1，z2)(z1，z2∈C)看作一个向量，记a=(z1，z①a±b=(z③a⋅b=z（1）设a=(i，1+i)，（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①a②a③(λ试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.（3）若a=(2i，1)，集合Ω={p|p=(x，y)，y=2x+1，根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.

答案解析部分1．【答案】π【知识点】含三角函数的复合函数的周期【解析】【解答】函数y=tanx的最小正周期是故答案为：π。

【分析】利用已知条件结合正切函数的最小正周期公式，进而得出函数y=tan2．【答案】1【知识点】复数的模【解析】【解答】解：|z+1故答案为：1.

【分析】根据复数的模长公式求解.3．【答案】3【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】解：由题意得cosα=故答案为：35

【分析】根据三角函数定义求解.4．【答案】−【知识点】终边相同的角；三角函数值的符号【解析】【解答】解：，∵sinx=−12，∴x=2kπ−π6故答案为：−π

【分析】根据三角函数值求角的方法求解.5．【答案】2【知识点】辅助角公式【解析】【解答】解：∵y=3cosx−Asinx=9+A2cosx+φ（其中tanφ=A3），又函数y故答案为：2.

【分析】先利用辅助角公式化简得y=9+A26．【答案】2【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：∵tanθ=1故答案为：23

【分析】先求出tanθ7．【答案】1【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量【解析】【解答】解：由题意得a→=2，b→≠0，a→·b→=故答案为：1.

【分析】先求出a→=2，a→·b8．【答案】5【知识点】复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集【解析】【解答】解：∵1+2i是实系数一元二次方程x2−2x+m=0的一个根，∴1+2i2−2故答案为：5.

【分析】将1+2i代入方程根据复数运算列方程求m的值.9．【答案】0【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】解：∵2a→+b→=22，−3+0，k故答案为：0.

【分析】先求2a10．【答案】−【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】解：设角α的终边过点x，y，∵在平面直角坐标系中，角α的终边与角β的终边关于y轴对称，∴设角β的终边过点−x，y，∴tanβ=−y故答案为：−4

【分析】根据任意角的三角函数的定义得tanβ=−tanα11．【答案】(【知识点】分析法和综合法；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值【解析】【解答】解：∵当x∈[(n−1)π，nπ]时，f(x)=1nsin(nx)，∴函数y=f(x)在各段中的最大值逐渐减小，要使函数y=f(x)的图像与直线y=m(m>0)恰有24个交点，只需保证函数y=f(x)的图像前面有12个的极大值不小于m，第13个的极大值不大于m即可，

由题意得当n=1时，x∈[0，π]，f(x)=sinx，函数y=f(x)有一个极大值，

当n=2时，x∈[π，2π]，f(x)=12sin2x，2x∈[2π，4π]，函数y=f(x)有一个极大值，

当n=3时，x∈[2π，3π]，f(x)=13sin3x，3x∈[6π，9π]，函数y=f(x)有两个极大值，

当n=4时，x∈[3π，4π]，f(x)=1故答案为：(1

【分析】由函数y=f(x)的图像与直线y=m(m>012．【答案】1【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：由|a1−a2|=|a2−a3|=|a3−a1|=2，可以假设∆ABC是边长为2的正三角形，O是∆ABC中心，则向量a1、a2、a3可看作a1→=OA→、a2→=OB→、a3→故答案为：1.

【分析】假设∆ABC是边长为2的正三角形，O是∆ABC中心，则a1→=OA→13．【答案】A【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵z=i⋅(1−i)故答案为：A.

【分析】根据复数乘法运算求z，再写出其虚部.14．【答案】B【知识点】向量的模；零向量；平面向量加法运算；相等向量【解析】【解答】解：A、a→+(−a→)=0故答案为：B.

【分析】A向量与向量加减还是向量；B根据向量数量积计算；CD向量相等向量的模和方向都要相等.15．【答案】C【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式【解析】【解答】解：当α=β=π4时，sin(α+β)=sin(π4+π4)=sinπ2=1，sinαcosα+sinβcosβ=sinπ4cosπ4+sinπ4cosπ4=22×2故答案为：C.

【分析】①②取特殊值判断，③假设cot(α+β)=16．【答案】B【知识点】扇形的弧长与面积；复数代数形式与三角形式的互化【解析】【解答】解：由题意可得点A0，−2，点Bcos(t−π3)，sin(t−π3)即在以原点为圆心半径为1的圆上，

当t=π6时，cos(π6−π3)，sin(π6−π3)=32，−12，

当t=故答案为：B.

【分析】求出取临界值时B132，−12，B217．【答案】（1）解：如图，因为点M是边BC的中点，所以BM=则AM=同理，AN=（2）解：由（1）可知，AM=a+又因为ABCD为矩形，所以a·则AM·【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算【解析】【分析】(1)根据中点和矩形的性质利用向量的加法运算求解；

(2)结合(1)根据向量数量积的运算法则，进行计算求解.18．【答案】（1）解：∵z（2）解：∵eπi=∴z=∵复数z是纯虚数，∴−1−a【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数【解析】【分析】(1)根据复数的模和共轭复数的概念直接计算；

(2)先求出eπi=−1，再根据复数的除法运算求z，由复数z是纯虚数得出19．【答案】（1）解：因为PQ//OA，所以∠PQO=π−∠AOB=2π在△OPQ中，OQ=40，OP=60，由余弦定理得OP即3600=1600+PQ2+40PQ，解得PQ=20所以PQ的长为206（2）解：因为PQ//OA，∠PQO=2π设∠OPQ=∠AOP=θ，θ∈(0，π3在△OPQ中，由正弦定理得OPsin所有OQ=60则S==3600当sin(2θ+π6)=1，即θ=π【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；辅助角公式【解析】【分析】(1)先求出∠PQO=2π3，在△OPQ中，利用余弦定理求PQ；

(2)在△OPQ中设∠OPQ=∠AOP=θ，利用正弦定理求出OQ=1203sinθ，再根据三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得S△OPQ20．【答案】（1）解：依题意f(x)=2sin(x+φ)，又f(π所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=所以φ=π6，所以（2）解：依题意f(x)=2sin(ωx+φ)，T=2π所以f(x)=2sin(2x+φ)，将y=f(x)又y=2sin(2x+φ−π6)关于y又|ϕ|<π2，所以φ=−π（3）解：因为T=2πω=2ππ4=8又f(x)=Asin(π4x+φ)所以f(x)的对称轴为x=−4φπ+2+4k根据正弦曲线的性质当f(x)在区间[a，a+2当x=a与x=a+2恰关于x=−4φπ+2+4k，k∈Z①不妨设当8k−2−4πφ≤a≤8k−1−4π则ℎ(a)=M(a)−m(a)=A=A=2因为2kπ+π所以22≤sin(π即ℎ(a)②不妨设当8k−4则ℎ(a)=M(a)−m(a)=A−Asin因为2kπ≤π所以0≤sin(π4a+φ)≤即ℎ(a)综上所述A−22A≤ℎ(a)≤2A所以f(x)=6sin(π所以sinφ=−12，所以φ=−π6因为|ϕ|<π2，所以φ=−π【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式【解析】【分析】(1)A=2，ω=1代入f(x)得f(x)=2sin(x+φ)，再根据f(π3)=2和|ϕ|<π2求出函数解析式；

(2)依题意得T=2πω=π，利用三角函数的变换法则求出变换后的解析式，再根据对称性及诱导公式求出函数解析式；

(3)先求出周期，再分21．【答案】（1）解：因为a=(i所以a+a（2）解：设a=(z1，z2)，b=(z3，z4)，c=(则a⋅b=z1zb+c=(za⋅因为z3+z所以a=z1zλa=(λz(λa)设λ=a+bi，z3=c+di，则λz3=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)iλz所以λz3≠λz3（3）解：设满足条件的b=(z1，2z1则a−b=(2i−因为