2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第四十讲对数及其运算性质（原卷版）

第四十讲：对数及其运算性质【教学目标】1.了解对数、常用对数、自然对数的概念；；3.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件；4.掌握换底公式及其推论；5.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．【基础知识】一、对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换；(2)logaN的读法：以a为底N的对数．二、两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.三、对数的性质(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．(4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．四、对数的运算如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．注意点：(1)性质的逆运算仍然成立；(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义；(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.五、换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注意点：(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).【题型目录】考点一：对数的概念考点二：对数式有意义考点三：对数与指数相互转化考点四：简单对数性质的计算考点五：利用对数性质求值考点六：对数运算公式的简单计算考点七：对数运算公式的应用考点八：对数运算公式的化简和求值考点九：对数换底公式的应用考点十：对数运算公式的综合应用考点十一：实际问题中的对数运算【考点剖析】考点一：对数的概念例1．有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4变式训练1．给出下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以为底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2．下列说法中错误的是（） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数变式训练3．对于下列说法：（1）零和负数没有对数；（2）任何一个指数式都可以化成对数式；（3）以10为底的对数叫做自然对数；（4）以e为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4考点二：对数式有意义例2．使有意义的实数的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练1．使对数有意义的的取值范围为（） A．且 B． C．且 D．变式训练2．已知对数式有意义，则的取值范围为（） A． B． C． D．变式训练3．使式子有意义的的取值范围是（） A． B． C． D．考点三：对数与指数相互转化例3．已知函数，则（） A．0 B．1 C．1 D．2变式训练1．将转化为对数形式，正确的是（） A．； B．； C．； D．．变式训练2．已知，则的值为（） A．2 B．4 C．6 D．8变式训练3．已知函数，则的值为（） A． B． C． D．考点四：简单对数性质的计算例4．有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．①② D．③④变式训练1．有以下四个结论，其中正确的是（） A． B． C．若，则 D．变式训练2．有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的是（） A．①② B．②④ C．①③ D．③④变式训练3．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点五：利用对数性质求值例5．若，则等于（） A． B． C． D．变式训练1．已知，那么=（） A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2．设，则的值等于（） A．10 B．13 C．100 D．变式训练3．若，则的值是（） A． B． C． D．考点六：对数运算公式的简单计算例6．求下列各式的值．(1)；(2)；变式训练1．化简的值得（） A． B． C． D．变式训练2．计算：的值（） A．0 B． C．2 D．3变式训练3．的值为（） A．0 B．1 C． D．考点七：对数运算公式的应用例7．设，，则（） A． B． C． D．变式训练1．已知，，那么用a，b表示应为（） A． B． C． D．变式训练2．已知，则（） A． B． C． D．变式训练3．已知，则（） A．3 B．5 C． D．考点八：对数运算公式的化简和求值例8．计算下列各式的值：(1)；(2).变式训练1．计算：(1)；(2).变式训练2．计算(1).(2).变式训练3．计算：(1);(2)考点九：对数换底公式的应用例9．已知，则（） A． B． C． D．变式训练1．的值为（） A． B．1 C． D．变式训练2．设，那么m等于（） A． B．9 C．18 D．27变式训练3．若，，则（） A． B． C． D．考点十：对数运算公式的综合应用例10．已知，则（） A．2 B．1 C．1 D．2变式训练1．已知，且，则（）. A．3 B．6 C．12 D．18变式训练2．已知，则的值为（） A． B． C． D．变式训练3．已知实数满足，则的最小值是（） A．5 B．9 C．13 D．18考点十一：实际问题中的对数运算例11．某科研小组研发一种抗旱小麦品种，已知第1代有40粒种子，若之后各代每粒种子可收获下一代15粒种子，则所得种子重量首次超过1吨（约2400万粒）的是（） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子变式训练1．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（）（参考数据：，，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年变式训练2．标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（） A． B． C． D．变式训练3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是1，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1，一年后是．若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（）（参考数据：，，） A．40倍 B．45倍 C．50倍 D．55倍【课堂小结】1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的运算性质．(5)利用对数的运算性质化简、求值．(6)换底公式．(7)对数的实际应用．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围；要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆【课后作业】1．已知函数，则（） A．0 B．1 C．2 D．32．已知，则（） A． B． C． D．3．已知函数，若，则（） A． B． C． D．4．设，则的值等于（） A．10 B． C．100 D．10005．有下列说法:①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④成立.其中正确命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．46．在等式中，实数的取值范围是（） A．或 B．或 C． D．7．方程的根为（） A． B． C．或 D．或8．下列对数式中，与指数式等价的是（） A． B． C． D．9．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（） A．与 B．与 C．与 D．与10．已知，，则（） A．25 B．5 C． D．11．已知，，那么的值为（） A．8 B．3 C．1 D．12．方程的解是（） A．1 B．2 C．e D．313．下列算式计算正确的是（） A． B． C． D．14．若（），则的值为（） A．4