2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十一讲等式与不等式性质

第二十一讲：等式与不等式性质【教学目标】1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【基础知识】知识点一：等式的基本性质1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点二：不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【题型目录】考点一：等式的性质考点二：不等式性质考点三：利用不等式性质证明考点四：不等式求解范围（一）考点五：不等式求解范围（二）【考点剖析】考点一：等式的性质例1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【详解】如果，当时，那么不成立，故A错误；如果，由等式的性质知，故B正确；如果当时，那么不成立，故C错误；如果，那么或，故D错误.故选：B.变式训练1．下列变形错误的是（） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则【答案】B【详解】A、，两边都加，得，故A正确；B、时，两边都除以无意义，故B错误；C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；D、两边都乘以，故D正确；故选：B．变式训练2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【详解】选项A，当时，显然不成立；选项B，如果，那么或，显然不成立；选项C，当时，无意义，不成立；选项D，如果，则，故，即，成立故选：D变式训练3．设，下列命题中为假命题的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题；对于B，，所以，故B为真命题；对于C，当时，无意义，故C为假命题；对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题.故选：C.考点二：不等式性质例2．下列命题为真命题的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】C【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；对于B，由，若，则，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；对于D，取，满足条件，但，故D错误.故选：C.变式训练1．下列命题是真命题的为（） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】对于A，若，则，故A是假命题．对于B，当时，满足，但或不成立，故B是假命题．对于C，因为，根据不等式的性质得，故C是真命题．对于D，当时，与没有意义，故D是假命题．故选：C变式训练2．已知，，，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（） A．若， B．若， C．若， D．若，【答案】D【详解】由，，可得，则选项A判断错误；由，，可得，则选项B判断错误；，又，则.则选项C判断错误；由，可得，又，则，则.则选项D判断正确.故选：D变式训练3．若，，，，则下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，取，满足，但，故A错误；对于B，取，满足，但，故B错误；对于D，取，则，故D错误；对于C，因为，则，又，所以，故C正确.故选：C.考点三：利用不等式性质证明例3．证明不等式．(1)，bd＞0，求证：；(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．【答案】(1)见详解；(2)见详解【详解】（1）证明：，因为，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，，，，则，，即有，成立；因为，，所以，，又，所以，成立.所以，有.变式训练1．证明下列不等式：(1)已知，求证(2)已知，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）证明：，，，，又因为，即，所以.（2）证明：，，；又，，；.变式训练2．证明不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【详解】（1），两边同乘以，则又，两边同乘以，则即（2），两边同乘以，得；两边同乘以，得，所以又，则，又，则，即变式训练3．（1）若，，求证：；（2），，，求证：【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【详解】（1）因为，，所以，所以（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，即考点四：不等式求解范围（一）例4．已知,则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案【详解】因为,所以,由,得,故选：A变式训练1．已知，，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】,，又，故选：C变式训练2．已知，，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以又，所以，所以的取值范围是，故选：A.变式训练3．已知，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又，所以所以．故选：B．考点五：不等式求解范围（二）例5．已知，，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设，所以，则，又，所以，，由不等式的性质得：，则的取值范围为.故选：D.变式训练1．已知且，求4a2b的取值范围（） A． B． C． D．【答案】B【详解】设，因为，所以，所以，故选：B变式训练2．已知，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，则有，将不等式的两边同时乘以可得：，所以，故选：.变式训练3．已知，，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则解得，因为，所以．因为，所以，即．故选：D【课堂小结】1．知识清单：(1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法、乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．【课后作业】1、已知等式，则下列变形正确的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，满足，但无意义，故错误；对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；对于C，当，，满足，但得不到，故错误；对于D，当时，无法得到，故错误；故选：B2、已知，则下列比例式成立的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误.故选：B.3、曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】设以宫音为基音的律管长度为，则徵音的律管长度为，商音的律管长度为，羽音的律管长度为，所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是.故选：C.4、下列命题为真命题的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.故选：B.5、若，则下列关系正确的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】A选项，当时，，A错误；B选项，当时，，B错误，C选项，当时，，C错误；D选项，∵，∴，∵，由不等式性质可得，D正确，故选：D．6、已知，其中，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，取，满足，而，故A错误；对于B，因，则，故B错误；对于C，由不等式的性质知，若，则，故C正确；对于D，取，满足，而，故D错误.故选：C7、对于任意实数，，，，命题： ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则.其中正确的个数是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】时，若，则，①错误；若，则，②错误；若，则，∴，③正确；，若，仍然有，④错误．正确的只有1个．故选：A8、下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：若，，则，故B正确；对于C：当时满足，但，故C错误；对于D：若，，则，．所以，所以，故D错误．故选：B．9、下列命题为真命题的是（） A．若则 B．若则 C．若则 D．若，则【答案】A【详解】A选项，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，A正确；B选项，当，，，时，，故B错误；C选项，当时，，故C错误；D选项，，因为，，，所以，，故D错误.故选：A．10、若，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，即的取值范围是．故选：C．11、角满足，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，所以，即，又，所以.故选：A.12、设，满足，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，满足，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A13、已知，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，可得，所以，即；故选：A.14、已知实数满足则（） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ABD【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.15、已知，，则下列正确的是（） A． B． C． D．【答案】AB【详解】因为，，所以，，则，，，即，，，则；故AB正确，CD错.故选：AB.16、已知实数满足，则（） A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为，所以，A正确；因为，所以，解得，B错误；因为，，所以，C正确；，，所以，D错误.故选：AC.17、已知，满足.（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.【详解】（1）由于，所以，，，要证，只需证明.左边（2）要使，只需，左边，所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.18、若，,（1）求证：；（2）求证：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.【详解】（1