2022届云南省高三“333”高考备考诊断性联考（二）数学（理）试题（解析版）

2022届云南省高三“3+3+3”高考备考诊断性联考(二)数学

(理)试题

一、单选题

1.设集合M={x|(x+l)(x-3)40},N=卜;<x<41则MnN=()

A.1%-1<x<^|B.jx|^<x<31C.{x|3<x<4}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.

［详解］因为M={x|(x+l)(x_3)40}={小14x43},N=Mg<x<",

所以MAN=x

故选：B

2.产=()

1+1

A13・

B.C.lD.

2222~2~222

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算即可求出答案.

l-2i_(l-2i)(l-i)_-l-3i_13.

【详解】解:—1

1+i(l+i)(l-i)222

故选：A.

3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的

是0

A.乙销售数据的极差为24B.甲销售数据的众数为93

C.乙销售数据的均值比甲大D.甲销售数据的中位数为92

【答案】D

【分析】根据茎叶图中数据逐项分析即可判断.

【详解】乙销售数据的极差是112—88=24,故A正确；

甲销售数据的众数为93,故B正确；

甲销售数据的均值为(80x3+90x5+100x2+7+6+4+9+8+3+3+1+6+3)x>4=

94,

乙销售数据的均值为(80+90x4+100x4+110+8+5+7+8+8+1+2+3+6+2)x'=

100,.•.乙销售数据的均值比甲大，故C正确：

甲销售数据的中位数为93,故D错误.

故选：D.

4.朗伯比尔定律(Lambe片-Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波

长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为

A=\gj=Kbc,其中A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓

度，单位为mol/L,〃为吸收层厚度，单位为cm.保持K,〃不变，当吸光物质的浓度增

加为原来的两倍时，透光度由原来的T变为()

A.2TB.T-C.D.10T

【答案】B

【分析】根据题中所给公式用A表示增加前的T,然后再求出增加后的厂，从而可得出

答案.

【详解】解：由A=lg)=KAc,

得所以7=(，丫，

TUOj

当保持K,b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，

则K6.2c=2A=lg",

所以《=限，

所以透光度由原来的T变为72.

故选：B.

22

5.直线y="化＞0)与双曲线C:[-多=1(〃＞0力＞0)在第一、第三象限分别交于P、

a~b~

Q两点，K是C的右焦点，有归闾:|Q周=1:6,且「尸21。鸟，则C的离心率是()

A.GB.V6C.百+1D.#+1

【答案】C

【分析】根据题意可知可。名为矩形，求出|盟|、|Q闾即可根据双曲线定义求出加，

从而根据离心率计算公式求解.

【详解】由对称性可知四边形P[Q鸟为平行四边形,

又由尸鸟，Q玛得四边形PF\QF?为矩形，

：.\PQ\=\FtF2\=2c,

又忸用凿|=1：6,.•.|Pg|=c,\QF2\=^3C,

有I。段一归段=(6T)c=2%

故选：C.

6.甲、乙、丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲

不会；如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是()

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

【答案】B

【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.

【详解】解：①若会跳拉丁舞的是甲同学，则这甲、乙说的真话，与题设矛盾，故会跳

拉丁舞的不是甲，

②若会跳拉丁舞的是乙三位同学，则这三人中有且只有丙一人说真话，与题设相符，故

会跳拉丁舞的是乙，

③若会跳拉丁舞的是丙三位同学，则这三人中乙、丙两人说的是真话，与题设矛盾，故

会跳拉丁舞的不是丙，

综上可得：会跳拉丁舞的是乙.

故选：B.

7.如图，在一个正方体中，E,G分别是棱AB,CC的中点，F为棱CD靠近C的四

等分点.平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是()

【答案】D

【分析】根据条件可得平面EFG经过点B',然后可得答案.

D

连接E8',GB'

因为E,G分别是棱AB,CC'的中点，尸为棱CD靠近C的四等分点

所以EB'HFG,所以平面EFG经过点B'

所以多面体A'DDA-EFGCE的正视图为।

故选：D

8.^1=()

sin250-l

A.-正B.显C.-2D.2

22

【答案】C

【分析】利用诱导公式和降塞公式化简即得解.

sin800+lcoslO+12：：cos10+1一？

【详解】解：由题得sin?5。一11-cos100-coslO'-1.

---------------1

2

故选：C

9.如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场

馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学

习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度A8(AB与地面垂直)，在赛道一侧

找到一座建筑物C。，测得C。的高度为〃，并从C点测得A点的仰角为30。；在赛道与

建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75。和30。(其中3,E,

。三点共线).该学习小组利用这些数据估算得A3约为60米，则8的高/?约为()米

（参考数据：&=1.41，石=1.73,6=2.45）

A.11B.20.8C.25.4D.31.8

【答案】C

【分析】易得乙=75。,NACE=60°,ZCAE=45。，在Rt^ABE中，求出AE,在AACE

中，利用正弦定理求得CE,在解直角三角形即可得出答案.

【详解】解：由题意可得乙4砥=75。,/。石。二30。，

则ZAEC=75°,ZACE=60°,ZC4E=45°,

AB60

在用八43石中，AE=

sin75°sin75°

AECE

在中，因为

sinZACEsinZCAE

所以C£=2&,

sin75°

所以C0=LCEX

2sin75°

又sin75°=sin(45°+30°)=#*®

所以8=望乌=60-20辰60-20x1.73=25.4(米).

V6+V2

故选：C.

10.随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪

容融”,甲、乙、丙3位运动员要与这3个“雪容融'’站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪

容融”相邻的排队方法数为()

A.36B.72C.120D.432

【答案】B

【分析】先将三位运动员排成一排，形成的4个空隙，再将2组“雪容融”插入4个空隙

即可，这里要注意“雪容融’’完全相同，是没有顺序的.

【详解】解：甲、乙、丙3位运动员站成一排，在三位运动员形成的4个空隙中选两个,

一个插入2个“雪容融”，一个插入1个“雪容融”，

共有4；吊=72种排法.

故选：B.

11.已如A,8,C是表面积为16%的球。的球面上的三个点，且AC=AB=1,ZA8C=30。,

则三棱锥O-ABC的体积为()

1B-<C，D.*

A.—

12

【答案】c

【分析】设球的半径为R,AABC外接圆的半径为，根据题意求出r,R,再根据球心O

到的距离“MVF：/，即三棱锥O-45C的高，从而可得出答案.

【详解】解：设球的半径为R,AMC外接圆的半径为「,

在AABC中，由AC=M=1,ZABC=30°,则N84c=120。

AT

得2r=EE=2,所以一],

因为球。的表面积为161,

则4万*=16%,解得R=2,

所以球心。到AABC的距离〃=VF=7=百，

即三棱锥O-A8C的高为6，

I巧

SiABC=-A8AC-sinZBAC=^-,

所以三棱锥O_ABC的体积%_4%=；、孝、6=；.

故选：C.

12.定义域为R的函数/(X)满足:①对任意2"不<.都有(内一七)[/(百)-/5)]>。；

②函数y=/(x+2)的图象关于y轴对称.若实数$一满足/(2s+2f+2)<〃s+3),则当

叱[0』时,段的取值范围为()

y_2

A.B.T2.

4,3_

-00,1u[2,+oo)

C.42D.

【答案】A

【分析】现根据题目对函数性质的描述得出函数是关于X=2轴对称，且在(H。,2)单调

递减，在(2,+8)单调递增，从而得至“2s+2f|4|s+l|,去绝对值得到不等式组，利用线

性规划求解即可.

【详解】由题，由条件①结合单调性定义可知，函数f(x)在(2,+8)上单调递增，由条

件②可知，函数f(x)向左平移2个单位关于y轴对称则说明/(x)关于*=2轴对称；

所以/(X)是关于x=2轴对称，且在(口,2)单调递减，在(2,+8)单调递增的函数；

若实数s,/满足/(2s+2r+2)4/(s+3),结合图像，则说明横坐标距离x=2越近，函

数值就越小；所以可得关于实数s,r的不等式|25+2仁卜+1|,两边平方得

⑵+2f)2V(s+l)2=>(2s+2f)2-(s+l)2VQ=>(s+2t—l)(3s+2f+l)V()所以得:

[5+2Z-1<0广、—[s+2f-l20

[3s+2r+lN0①或13s+2f+lWO②

令s=y,x=f（04，Wl）,画出不等式组可行域:

联立方程组fy出++22xx-+ll==00得点”,I)、；

f+1—x+1一x+1_1*y-(-2)

f+s+3x+y+3x+l+y+21।y+2,令2=欠十]=工_(_])，由此z的范围可看

X+lI)

13112

作点4与8,C两点连线斜率的范围，即所以y+z“n/13

所以;《品Mg

故选：A

二、填空题

13.曲线〃力=-^-在点（0,〃0））处的切线方程为.

X—1

【答案】2x+y+l=0

【分析】先求出导函数，得到斜率，点斜式写出切线方程.

X0*

【详解】因为所以〃0）=念=-1，/'（力=不可（》一2）,

所以尸（。）=7^（。-2）=-2.

所以曲线/（x）=W-在点（O"（O））处的切线方程为y+l=-2（x—0）,即2x+y+l=0.

故答案为：2x+y+\=0

14.若欠=3同，aY（2a-b）,则£与5夹角的余弦值为.

【答案】|

【分析】先利用£A（2£-5）得到Z?（2£R=0,再结合忖=3同化简得出结果.

【详解】设£与石的夹角为。,由小（2£叫得叫2a5）=0,

即a-Qq-B）=2/_“石=2向-p/|-|^|cos0=0,又忖=3"，2p/|-|o|-3|o|cos^=0,解

2

得cose=（.

故答案为：

15.已知点尸在圆f+y2=i上，A（-2,0）,8（0,2）,则丽.丽的最小值为

【答案】1-2夜一2近+1

【分析】设P(cosasin0),ee[0,2)],再根据平面向量数量积的坐标运算结合三角函数

的性质即可得出答案.

【详解】解:由点P在圆一+y2=i上,可设P(cos6»,sin0),0q0,2i],

则/^4=(-2-cos0,-sin0),PB=(-cos^,2-sin<?),

所以PA-PB=2cos0+cos20-2sind+sin。0=20cos(，+5)+1,

当6+2=万，即。=与，即/一坐，坐]时，

44122；

苏.丽取得最小值1-20.

故答案为：1-20.

16.在锐角三角形ABC中，。是线段BC上的一点，且满足通+/=2而，AD=AB,

则tanA+tan8+tanC的最小值是.

【答案】6

【分析】根据通+元=2而，可得点。是8C的中点，不妨设5£>=C£)=1,作AH_L3C

交BC于点H,设AH=/?,(a>0),则tanB=2〃,tanC=t〃，再根据三角函数内角关系

及两角和的正切公式求得tanA,从而可将tanA+tanB+tanC用力表示，再利用导数即可

求出答案.

【详解】解：因为通+衣=2而，

所以福一通=而一次，即丽=丽，

所以点。是5c的中点，

不妨设班)=8=1,

作AH1.3C交3c于点H,设AH=/?,(〃>0),

因为4)=AB,所以BH=DH=g,

2

则tanB=2/7,tanC=—/1,

tanC+tanB8/?

则tanA=-tan(C+3)=-

1-tanCtanB4/?2-3

,,232川

lf8/7

故tanA+tanZ?+tanC=2/?+—/?+4ft2-3-3(4/?2-3)，

32/?3

令〃〃)=(/?>0),

3(4/Z2-3)

则尸㈤3二2言/（4万»-端9），

当o<〃<;时，r（/i）<o,当时，r（/z）>o,

所以函数/（S在］。，之上递减，在C，+8）上递增，

所以〃叽n=f图=6,

所以tanA+tan8+tanC的最小值是6.

故答案为：6.

三、解答题

17.冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳

相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受

广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取100人，对是

否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

年龄/岁[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

抽取人数102025151875

有意向购买的

10182291042

人数

（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2x2列联表，并判断是否有

99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计

有意向购买冰墩墩的人数

无意向购买冰墩墩的人数

总计

（2）若从年龄在［60,70）的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这三人中打算购买冰

墩墩的人数为X,求X的分布列和数学期望.

n^ad-bcy

参考数据：K'其中n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+")'

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握性认为购买冰墩墩与人的年龄有关；

12

（2）分布列见解析，y.

【分析】（1）由表格中的数据，分别求得年龄低于40岁的人数、有意向购买的人数、

年龄不低于40岁的人数、有意向购买的人数，得出2x2的列联表，利用公式求得观测

值，结合附表即可求解；

（2）根据题意得到购买冰墩墩的人数X可能取值为0』,2,3,求得相应的概率，利用期

望的公式，即可求解.

【详解】（1）解：由表格中的数据，可得年龄低于40岁的人数为10+20+25=55人，其

中有意向购买的人数为10+18+22=50人，年龄不低于40岁的人数为15+18+7+5=45

人，其中有意向购买的人数为9+10+4+2=25人，

可得2x2的列联表，如下表所示：

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计

有意向购买冰墩墩的人数502575

无意向购买冰墩墩的人数52025

总计5545100

可得蜉尸匚1。。（5。乂20-2516.498>10.828,

（〃+/?）（c+d）（a+c）（/?+d）55x45x75x25

所以有99.9%的把握性认为购买冰墩墩与人的年龄有关.

⑵解：表格中的数据，可得年龄在［60,70）的人数为7人，其中有意向购买的人数为4

人，无意向购买的人数为3人，

从被调查人群中随机选出3人,打算购买冰墩墩的人数X可能取值为01,2,3,

可得尸（x=。）哈=套尸—1）=等嚼

p（x=2）=警T，p（x=3）=£q,

则随机变量x的分布列为：

X0123

112184

P

35353535

所以期望为：E(X)=Ox—+lx—+2x—+3XA=12

353535357

311

18.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，满足天=一3一一77-

an-2凡十”

⑴求数列｛叫的通项公式；

⑵求数列｛（T）"（S"一3〃）｝的前n项和T„.

【答案】⑴。“=2〃+2

S、T（一1）"〃（〃+1）

⑵小-----2----

【分析】（1）由%=S“-Si（〃之2）得出数列｛%｝是等差数列，从而易得通项公式；

（2）按〃的奇偶性分类讨论，在〃为偶数时，并项利用因式分解再由等差数列的前〃项

和公式计算，〃为奇数时，由】=（川-。向计算可得.

311

【详解】（1）〃=1时，丁=---z---yr,又4>。，解得4=4,

2q〃1-267,+4

311,

由瓦二右1一千得41=可+2《，-8,

〃22时，4S“_1=a"+2a,--8,

两式相减得4«„=4S„-45„_,=«;-<,+2«„-2a„_,,

-a„,i-2）=0,又%>0,所以a“-a“_|=2,

■“｝是等差数列,

所以4,=4+2(〃-1)=2〃+2；

⑵由(1)S“=〃(4+；〃+2)=/+3〃,

(-l)n(S„-3n)=(-l)".n2,

7；,=-l2+22-3n+4,,+---+(-l)n-/72,

”为偶数时，

T—(―1+2~)+(—3-+4-)+…+[—(72—1)~+n~]=1+2+3+4++(〃—1)+〃=—〃(n+1),

2

〃为奇数时，Tn=TMi-q用=g(〃+1)(〃+2)-("+1了=一改罗，

所以

19.如图，己知直三棱柱AqG-ABC中，侧面为正方形，AB=BC=2,D,E,

E分别为AC,BC,用8的中点，C/_LA4,G为线段OE上一动点.

(1)证明：C.FLAfi.

(2)求二面角C.-AG-B,的余弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵孚

【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，表示出向量于，而

的坐标，计算其数量积，可证明C/，AG；

(2)由(1),表示出平面GAG和平面的法向量，根据向量的夹角公式求得二面

角J—AG-BI的余弦值的表达式，结合二次函数的知识求得最大值.

【详解】(1)在直三棱柱A4C-ABC中，侧面4A48为正方形，

所以A8||44,ABJBIB,

而C/_LA4,cC/=尸,8乃,C/u平面BB£C,

所以平面84GC,

所以Afi_L平面BBGC,8Cu平面BBCC,,所以钻_L8C,

故以8为坐标原点，以84为x轴，以8c为y轴，以BB,为z轴，建立空间直角坐标

系，如图：

则A(2,0,0),A,(2,0,2),C(0,2,0),C,(0,2,2),£>(1,1,0),£(0,1,0),F(0,0,1),B,(0,0,2),

故丽=(1,0,0),G为线段£>E上一动点.，

设的=2而,(0<A<l)„则访=2(1,0,0),故G(4l,0),

所以于=(0,_2,—1),而=(儿_2,1._2),

故彳厢=(0,-2,-1)(2-2,1.-2)=0,

所以于上和，即C/，AG；

⑵由(1)可知：而=(—2,2,0),而=(4—2,1.—2),丽=(—2,0,0),

沅•AG=o

设平面C0G的法向量为丽=(x,y,z),贝卜

而.而=0'

-2x+2y=0入八，一

即(4-2)x+y-2z-0‘令^=2,则’=2,z='7‘则"=(2,2,4-1),

小冉=0

设平面的法向量为力=(a,b,c),则，

万.丽=0'

-2a=0-

即("2)a+八2c=0'则"=°'"=1'则"=2，则〃=。2,1)，

故设二面角C-AG-4的平面角为。，结合图形，。为锐角,

故cos6=|cos〈加区〉|=|/:|=•后/]丁,

5/5,j8+(4—1)>/5,8+(几—1)

c,IA+3IId1

,八cos6=|-1—=「—=-------.—

令4+3=f，P3,4],国8+("1)2国8+("4)2亚竺，

而函数>=4-号+1在led，」时单调递增，故1=)时，丫=4-§+1取最小值，

ttt43t4tt

八1L

11cosJ=----,Jin

即当上=：,BP/=4,A=1时，£248i取得最大值为业1.

t4V5J-p--y+l5

20.已知圆0:/+;/=2与x轴交于A,B两点,动点尸满足直线AP与直线BP的斜率

之乘积为一万.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)过点(1,0)的直线/与曲线E交于M,N两点，则在x轴上是否存在定点Q,使得亚•丽

的值为定值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴]+丁=1,(X*土&)；

(2)存在点,。]使得西•丽为定值二，理由见解析；

【分析】(1)设出动点P(x,y)(xR±0),利用直接法求解轨迹方程；(2)先求出直线

/斜率为0时不合题意，得到直线斜率不等于0,从而设出直线/的方程x=l+6,联立

第一问求出的轨迹方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，设出Q(m,0),求解

QMQN，化简整理得到西•丽=(>-2)-誓从而得到存在点使得

_____7

西丽为定值-77.

16

【详解】⑴令尸。得：x=±V2,不妨设A（-^,O）,3（0,O），*乂日1工±&）,则

kp,\'kpB=—匕后---匕大二一4，整理得：—+y2=1，（X^±V2）；动点P的轨迹方程E

为5+y2=i,（x*±@；

⑵存在点Q（，％o）,使得西•丽为定值，理由如下：

当直线/斜率为0时，则直线/为y=o,此时与1+丁=1,（xx土&）无交点，故不合

题意，舍去，即直线/斜率不为0

设Q（m,o）,直线/设为％=1+外，则与、+9=1,（XW土&）联立得：

（公+2）y2+2由-1=0,设M（“|）,加（々,%），则%+%=-y^，yM=-77二，所

以QM.QN=（演-m,yx）\x2-m,y2）=（x}-m）（x2-m）+y,y2

当4m-5=0即机=3时，西•丽为定值，即存在点。信，。]使得西•丽为定值

4）16

综上：存在点Q仔,。]使得西・丽为定值

14）10

【点睛】圆锥曲线上是否存在点使某些量为定值的题目，经常考察，一般题目计算量大，

且变量多，此时要抓住核心不变量，进行化简整理，主要方法是分离常数法，配方法等,

47??-5

本题中，将西•丽化简整理为两♦丽=（裙-2）-是解题的关键所在.

V+2

21.已知函数/(x)=e2"+ae'(awR)

（1）讨论f（x）的单调性；

⑵设g（x）=a（l-x）e*+x2,若方程g（x）=/（x）有三个不同的解，求a的取值范围.

【答案】（1）详见解析

（2）a<——e

e

【分析】（1）首先求函数的导数，分。=0和a>0讨论函数的单调性；

（2）参变分离后得a=再设f='，/?（£）=♦；，根据两个函数的图象，求得

实数〃的取值范围.

【详解】（1）rW=2e2r+aev=e'（2e'+a）,

当aNO时，f^xy0,函数在（Y>,M）单调递增，

当"<0时，网x）=0,得x=ln[*]

当式』,-?［时，用x)<0,函数单调递减，

当时，/^x)>0,函数单调递增，

综上可知，当a20时、函数在(十,”)单调递增，

当a>0时，函数的单调递增区间是

函数的单调递减区间是1-8,In,，］)

⑵由/(x)=g(x),化简为e2^=x2-are',

设〃(力=£_三，设"/，则A(f)=f-；,

«x)==，当工>1时，，(x)<。，函数单调递减,

当X<1时，«x)>0,函数单调递增，函数f==的V最大值r(l)」1，

ee

画出函数〃(。=一；的图象，由图可知、=。与)，=一；的交点对应的乙石，一正一负，

如图，画出函数，二=r7的图象，

e