2022届西南名校联盟“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（一）数学（文）试题解析

2022届西南名校联盟“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(-)数学(文)

试题

一、单选题

1.已知集合4=卜,2+4工-12<0,工£2},8=卜|5/77^<2},贝lj4nB=()

A.[-2,2)B.(-2,2)

C.{—2,—1,0,1,2}D.{-2,—1,0,1)

答案：D

根据题意得4={-5,T-3,—27,0,1},B={x\-2<x<2},再根据集合交集运算求解即可.

解：解：解不等式f+4x-12<0得-6<x<2,故A={x|-6<x<2”Z}={-5,T,-3,-2-1,0,1},

B={x[jx+2<2}={*卜24x<2}

所以AcB={—5,T,—3,—2—1,0,l}c{x|-24x<2}={—2,-1,0,1}

故选：D.

2.已知复数z满足z(l-2i)=l+i,则z对应的点所在象限为()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：B

根据给定条件结合复数除法求出z,即得z对应的点所在象限

1+i(l+i)(l+2i)-l+3i13i-,.、，13

解：依题意，z=-j—7=77-737—7；=^—=-7+T1则复数z对应的点坐标为(-工.)，

所以Z对应的点所在象限为：第二象限.

故选：B

3.贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.网红"李子哥''以"绿水青山就是金山银山'’理

念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度

x/cm与售价y/元之间存在线性相关关系，回归方程为$=0.3x+&.当苗木长度为120cm时，估

计价格为()元.

x/cm102030405060

》/元2610141618

A.36.5B.35C.37D.35.5

答案：A

根据表中的数据求出y=0.3x+0.5,再代入数值即可求解.

切bj-10+20+30+40+50+60«-2+6+10+14+16+18,,

解：因为x=---------------------------------=35,y=----------------------------=11,

66

所以其样本中心为（35,11）,故可得a=0.5,即y=0.3x+0.5,当x=120,y=36.5（元）.故选:A

4.已知以方是两个不同平面，狐"是两条不同直线，给出下列命题：

①若则a_L4；

②若a工。,m"a,plljml.j3；

③若机烫a,mlip,nl/p,则a///?；

④若相，%”〃。，则"

其中正确命题的个数为（）

A.0B.2C.1D.3

答案：B

利用面面垂直的判定判断命题①；举特例说明并判断命题②，③；由线面垂直、线面平行的性质判

断④即可作答.

解：对于①，若…,muQ,由面面垂直的判定知①是真命题；

对于②，因令aCB=l,在平面尸存在一直线与直线/平行，令此直线为"?，

显然满足加〃a,此时，，"u尸，即，〃，力不成立，②是假命题；

对于③，当a与尸相交时，令ac£=a,若平面a内直线机，“满足机〃a,〃//a,必有,”///,〃〃/y,

如图，

显然a〃力不成立，③是假命题

对于④，因〃〃a,过直线”的一平面与平面a相交，令交线为b,如图,

h

TV

则有A//”,而，必有，于是得，〃_!_〃，④是真命题，

所以，所给的4个命题中正确命题的个数是2.

故选：B

5.某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容

量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（）

A.1260B.1230C.1120D.1140

答案：C

由男生所占抽取样本容量的比例求出男生的总人数，进而求出女生总人数.

解：由男生人数为左乂1600=480,所以女生人数为1600-480=1120.

40

故选：C.

x-y+120,

6.在满足不等式组x+y-240,的平面区域内随机取一点？（公,九），设事件4为“先<；%"，那

y>0

么事件A发生的概率为（）

4n13"8n3

A.—B.—C.—D.一

2725274

答案：C

画出不等式所表示的区域，分别求出不等式与符合条件的区域的面积，再由几何概型计算即可.

解：画出不等式所表示的区域如下图所示：

y

1.6X-"l=0

1.4

1.2

0.6

0.4

0.2

O0.40.8

X+丁-2=0

139

由上图知S,ABC=2X3X]=W，

「22

符合条件的为图中阴影部分区域，其面积为兀灰—XZX-=—

233

2

故根据几何概型事件4发生的概率为P（A）=33-A

927'

4

故选：C

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()

答案：B

根据三视图画出该几何体的直观图并补形，并求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何

体的体积，由面积公式求出几何体的表面积.

解：由几何体的三视图可得该几何体是四棱锥A3co(放在长方体中)，如图所示，

则四边形ABCD是一个边长为2的正方形，24=1,以上平面43。，

PA±AB,PAVAD,=襄也,=gx2x1=1，正方形ABC£＞的面积为5.皿=2x2=4.

又♦.•8C_L平面A4B,P3u平面上..5C_LP6,

PB7AB2+P4=#＞，；.S"=于BCxPB=gx2*亚=石,

同理可得：S旷0c=DCxPD=；x2x亚=也

♦.表面积为S=SgA"+S+S^PBC+$APC7?+=6+2>/5.

故选：B

8.已知0<£<c<［且tandz=*cosCa-^)=-1V5,则cos(2or-/7)=()

A•年口11石„x/5n2石

D.---------C.----U.---

252525

答案：D

根据8s(2a-7?)=cosfa+(a-/?)],结合余弦和角公式求解即可.

解：解：因为0</且tana=g,cos(a—尸

..43J5

所rri以sina=w，cosa=-,sin(a-/?)=—，

335

2y

cos(2a-/3)=cos[a+(a-fl)]=cosa・cos(a-〃)-sina・sin(a一4)=-^-,

故选：D.

___I___

9.如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足㈤方=3瓦瓦尸是CM上的点，^MP=-MC,

设,方=万,AC=6,贝！）AP二（

B.-a+-b

55

33-

D.-a+-h

105

答案：B

先将衣用丽，标表示，然后而，标再用2日表示即可.

_______3,,_______3__,1___3__.1„,§__,

解：AM=3MB^>AM=-AB,AP=AM+MP=-AB+-MC=-AB+-(AC-AM)=-AB+

445455

故选：B

v-2

10.已知小心分别是双曲线C:3-V=l的左、右焦点,动点P在双曲线的左支上，点。为圆

G：f+（y+2）2=l上一动点,则|P0|+|P闾的最小值为（）

A.6B.7C.3+石D.5

答案：A

由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.

解：如图，圆G的圆心为（。，-2）,半径为1,£（-"0）,IPQHPKI=IPQI+IP^I+2am|PG|-1+1户El+4,

当尸，G,耳三点共线时，IPQI+IP&I最小，最小值为IGKI+3,而|Gf；|=府&审=3,所以

31+3=6.

故选：A

U.函数g(x)=sinM)3＞。)的图象向右平移器个单位得到函数/⑶,且小)在(肛2W内没有零

点，则。的取值范围是()

A.(0,|

答案：B

2兀一兀

2

.71

E+一

3

7t71>

由题知/(x)=sin69X--进而根据题意得co再解不等式即可得答案.

.兀

4兀+兀+—

2%<3

CD

G>0

解：解：根据题意得据x)=gX%sinLwx--

I3

T

2n-7t<—

2

E+q

兀2-------

/(x)在m，2兀)内没有零点，满足.(D

.71

E+71+

2TT<-----------

CD

69>0

0<6><1

,1

a)>k+-

:,即。上口分

所以

,k2633

a)<—+—

23

keZ

故选:B.

12.E^a=3In2,b=±c=21n3,则a,4c的大小关系为()

e

A.h>c>aB.c>h>a

C,b>a>cD.a>b>c

答案：A

通过构造函数/(x)=叱，仇c同除以6可变形得学，小，苧，利用导数研究/(x)增减性，即

X2e3

可判断C大小.

皿aIn2bInecIn3人、Inx、1-lnx

解：-=—，7=——，2=丁，令/(幻=—z(x>0),n则ilf'(x)=——,

626e63xx

当x«O,e),Ax)>0,/")单调递增；当+8),/\x)<0,/⑴单调递减，/(2)=/(4),

aIn2In4bInecIn3..

,-=—,-=—,..b>c>a,

6246e63

故选：A.

二、填空题

13.已知为等差数列，S,,为其前〃项和.若4=-7,$3=-15,则％=

答案：7

根据题意得等差数列｛%｝的公差为d=2,再根据通项公式求解即可.

解：解：设等差数列｛q｝的公差为d,因为4=-7,53=-15

所以［\a5,3==3—47+3〃=一15

解得d=2,

所以4=2〃-9,所以为=2x8-9=7.

故答案为：7

14.已知曲线C:y=2x-f,则在点（1,1）处且与c相切的直线方程为.

答案：x+y-2=0

根据导数的几何意义求解即可.

解：解：y=2x—x3,y'=2—3x2,

所以（⑴=-l,所以切线方程为y—1=—l（x-l）,即x+y-2=0.

故答案为：x+y-2=0

I2

15.已知〃＞（）,〃＞（）,且点在直线2x+y-1=0上，则—+7的最小值为_____

ab

答案：8

由题知加+〃=1,再根据基本不等式求解即可.

解：解：a>0,b>0,(<7,。)在2x+y-l=0上,

所以加+6-1=0,即2a+b=l,

则4+3干+'｝(2〃+8)=2+2+,224+24=8

当且仅当匕=2a=g时等号成立，

12

所以的最小值为8

ab

故答案为：8

16.已知AABC中，点4(7,0),点8(1,0),内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且

a2+b2=c2+^-S,则满足条件的点C的轨迹长度为.

3

答案：屿叵

9

根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.

解：如图，•.•/+〃=)?+延S,a2+h2-c2=---ab-sinC,

332

二."+b---=-^-sinC,tanC=5/3>：.C=^-,又。=43=2,

lab33

"BC外接圆半径为半，C=p所以点C的轨迹长度为2x竽、苧=苧兀,

故答案为：3叵.

9

三、解答题

17.设S”是数列｛4｝的前八项和，4户0,«,=1,当“22时，Si

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵若C“=all+]+In,求数列｛c.｝的前”项和7”.

fl,〃二1

答案：⑴

⑵7；=2"-1+〃（"+1）

（1）由〃=2可求得色的值，推导出数列｛%｝是从第二项开始成以2为公比的等比数列，由此可求

得数列｛4｝的通项公式；

（2）求得％=2"一+2〃，利用分组求和法可求得

（1）

解：当〃=2时，“2=S|=1，

当〃23时，由S,i=4,可得S,-2=4I，两式作差得凡一的=加，即3-=2,

an-\

但”=1,故数列｛«„｝是从第二项开始成以2为公比的等比数列，则。“=1X=2*2.

a\

[1,71=1

综上所述，4=2”>丁

[2,n>2

（2）

ni

解：'：n>\,则“+1N2,则a“+i=2"T,所以,cn=an+l+2n=2~+2n,

因此，7；=（2°+2）+（21+4）+（22+6）+..-+（2n-|+2n）

=（2°+2l+22+---+2,-'）+（2+4+6+---+2n）

1-2"n（2+2n）,,、

1-22''

18.学校文印中心计划购买一台复印机，该机器使用三年报废.在购买时，可一次性额外购买几次

维护，每次维护费100元，另外实际维护一次还需向维护人员支付上门费50元.在机器使用期间，

如果维护次数超过购机时购买的维护次数，则超出每维护一次需支付维护费300元，但无需再支付

上门费.现需决策在购买复印机时应同时一次性购买几次维护划算，为此搜集并整理了10台这种

复印机在两年使用期间的维护次数，得如下统计表：

维护次数34567

频数22321

记x表示1台复印机在两年使用期内的维护次数，y表示1台复印机在维护上所需的费用（单位:

元），〃表示购机的同时购买的维护次数.

（1）若〃=5,求y关于x的函数解析式；

（2）假设这10台复印机在购机的同时每台都购买5次或6次维护，分别计算这10台复印机在维护

上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台复印机的同时应购买5次还是6次维护划

算？

50x+500,x<5,

答案：（i）y=(xwN)

300x-750,x>5

（2）840元，865元，购买5次维护划算

（1）根据题意，分x<5和x>5两种情况讨论求解，建立分段函数模型；

（2）根据题意，分别列出购买5次或6次维护费用表，进而估计所需的平均数，利用均值比较即

可.

(1)

解：(1)依题意，当x<5时，y=100x5+50x；

当x>5时，>>=I50X5+300(X-5).

50x+500,x<5,

BP.V=(xeN).

300A-750,x>5

⑵

解：若每台复印机都购买5次维护，则有下表:

维护次数34567

频数22321

费用W元65070075010501350

此时这10台复印机在维护上所需费用的平均数为:

-650x2+700x2+750x3+1050x2+1350x1

=------------------------------------

若每台复印机都购买6次维护，则有下表:

维护次数34567

频数22321

费用W元7508008509001200

此时这10台复印机在维护上所需费用的平均数为:

—750x2+800x2+850x3+900x2+1200x1。“一、

%=-------------------------------------------------------=865(兀)，

因为反＜正，所以购买1台复印机的同时应购买5次维护划算.

19.如图甲，平面图形ABCDE中，AE=ED=DB=BC=1,CB上BD,ED"AB,NEAB=60°.沿BD

将△88折起，使点C到尸的位置，如图乙，使M_L8E,EG//5F,且EG=2M.

(1)求证：平面平面A£G；

⑵点M是线段FG上的动点，当点M在什么位置时，三棱锥A-的体积为更？

4

答案：(1)证明见解析

⑵点〃为FG中点

(1)根据几何关系证明BE1平面AEG,进而证明平面GE8F_L平面AEG；

(2)过A7作MH//8F,交BE于H,过F作FT//BE交GE,分别于T,N点,可以证明平

面4狙，进而设FM=x(0VxV2),再根据几何关系求解体积计算即可得点M为m中点时，

V=正

yA-MBE4

(1)

证明：*/EGHBF,BF^BE,

EG±EB,

VZ£45=60°,AE=ED=DB=1，EDIIAB,

：.ZEBA^30°,则4£B=90°,AAE±BE,

••FEnEG=E,BE1平面AEG,

BEu平面GEBF,

平面GEBEL平面AEG

⑵

解：如图，过M作MH//BF,交BE于H,过/作F77/BE交GE,MH分别于T,N点.

G

•/BF±BE,BF±BD,BEC]BD=B,

：-_L平面ABE,则MH_L平面ABE

---GE//BF,GE=2BF=2,T为GE的中点,

VBF=1,TG=\,FT=BE=G,则6/=2.

T^FM=x(0<x<2),

FMMNxMNxx

则——=——,a即n一=---:.MN=一,•:NH=\,：.MH=l+-.

FGTG2122

S/=^AE.BE=与,

VA-MBE=VW-A«E•MH=g.手.(1+5)=乎,

解得X=l,

故点M为尸G中点时，VA.MBE=坐.

20.已知函数/(x)=gor2-xlnxj'(x)是f(x)的导函数.

(1)若函数/'(X)在x=l处取得极值，士©(0,2),使得f(x)<bx-2成立，求实数匕的取值范围；

⑵若」是函数g(x)=f'(x)-l的一个零点，当王时，证明：9』>警.

eInx2

答案：⑴[-3+8)

(2)证明见解析

(1)根据函数/'")在％=1处取得极值得〃=1,进而3xw(0,+8),^>1+---,再令

XX

h(x)=\+--—(x>0),求函数最小值即可得答案；

XX

(2)由！是函数g(x)=/'(x)-l的一个零点得”=e,进而将问题转化为证明机(x)在(e,+9)上递增,

e

再结合导数证明即可.

(1)

解：f\x)=ax-\-\nx,

令心)=f,(x')=ax—\—\nx,

由题意，⑴=0,则。一1=0,**-6T=1,

则”x)=x-l—lnx,满足条件，

V3XG(0,4-00),使f'(x)</zx-2,

BP3xe(0,+oo),使1一1一lnx-fer+2<0,

gp^>l+--—,

XX

^h(x)=\+--—(x>0),BfJb>h{x}^n.

XX

1-Inxlnx-2

令〃(x)=0,贝曦=e?.

xe(0,e?)时，hf(X)<0,/?(X)递减；

xw(e2,+8)时，h^x)>0,〃(X)递增.

〃(x)疝n=，(e~)=l一/,

实数匕的取值范围是(l-/，+8)

(2)

证明：•••［是g(x)的一个零点，

e

则石>%>e,要证e'，--

令/n(x)=一(x>e),艮［］证〃(T)在(e,+<»)上递增.

Inx——

加(x)=

令火0=如』_」,则易知9(X)在g，+8)上递增,

(p(x)>(p(e)=1一一>0,,••加(x)>0在(e,+8)上成立，

:.tn(x)在(e,+oo)上递增.

*.*xl>x2>e9/n(x()>m(x2),

即4>户，即得e”f>粤.

皿芭lnx2lnx2

21.如图，点M是圆A：x2+()，+l)2=16上任意点，点B(O,1),线段MB的垂直平分线交半径AM于

点P,当点M在圆A上运动时,

(1)求点2的轨迹£的方程；

(2)仅2〃x轴，交轨迹E于。点(。点在y轴的右侧)，直线/：x=%y+〃与E交于(/不过。点)

两点，且直线CQ与直线。。关于直线8Q对称，则直线/具备以下哪个性质？证明你的结论？

①直线/恒过定点；②m为定值；③"为定值.

答案：⑴《+工=1

43

(2)答案见解析

(1)根据题意得P的轨迹E是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即

可；

(2)根据题意及0+%3=0,再设C5,x)，。(知以),进而直线/与椭圆联立方程，结合韦达定理得

整理得(2吁1)(2机+2”3)=0,再根据C,D,。三点不共线得

(1)

解：如图，由。A方程，得A(O,-1),半径r=4,

；P在的垂直平分线上，，PM=PB,

所以|尸4|+|必|=|«4|+|户例|=|AM|=4>|A8|=2,

••.P的轨迹E是以A,5为焦点，长轴长为4的椭圆,

由=4,贝!Ia=2,c=1,吩=3,

.•.点P的轨迹E的方程为二+工=1.

43

(2)

解：•.•直线/与轨迹E交于C,。两点，设CQ,乂)，小三，%),如图

43

整理，得（3+4m2）丫2+8/研v+4n2-12=0,

8机〃4n2-12

乂+以=—Z~~~~f,必=T~~--T，

3+4“3+4"广

因为CQ与。。关于BQ对称，BQ//x轴,

33

百wW

所以3+%=。，2-2-

号+y=。,

,%=myx+〃,x2=my2+n,

整理：2/肛火++%)-2〃+3=0,

一2九+3=0,

3+4〉2A3+4〉

艮|J4r??2+(4〃-8)/M-2"+3=0,

HP(2tn-1)(2加+2n-3)=0,

若2根+2〃-3=0,点Q(|，1)满足=+即C,D,。三点共线，不合题意,

2tn—1=0,即m=工，

2

直线/中加为定值

X=6C°S"(9为参数)，以原点为极点，x

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

y=sinQ

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程;

(2)在平面直角坐标系X。)，中，43,0),8(0,3)