复变函数第一章第一节课件

引言在十六世纪中叶，G.Cardano

(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。第一章复数与复变函数第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点第一节复数1.虚数单位:对虚数单位的规定:一、复数的概念虚数单位的特性:2.复数:注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等即复数z

等于0

它的实部和虚部同时等于0.即二、复数的代数运算1.两复数的代数和:2.两复数的积:3.两复数的商:4.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.6.共轭复数的性质:例1解例2证5.复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.例3解设三、复平面1.复数的模显然下列各式成立2.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.

复数和差的模的性质性质(1)(2)等号成立的几何意义：3.复数的辐角辐角不确定.0xxyqz=x+iy|z|=rP辐角主值的定义:例如：当z在第二象限时，当z在第三象限时，如何验证？4.复数的三角表示和指数表示利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此练习1：写出的辐角和它的指数形式。解：练习2：例5解1.乘积与商乘积：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.注由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例4：设求：解：若取则若取则两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.商2.幂与根

n次幂:棣莫佛公式棣莫佛公式幂的指数形式推导过程如下:根据棣莫佛公式,(k=0,1,2,…,n-1)当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.从几何上看,例6解即例7解：例8解即很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例8将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.

[解]

通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)6.复数在几何上的应用举例由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0

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