浅谈电力系统计量管理

浅谈电力系统计量管理

在生产实践和科学实验中，通过各种实验获得一组或多组试验数据。这些数据可能是很分散的,甚至是杂乱无章的。为了从中了解事物的本质,找出它们的内在规律,必须采用某些处理手段才能达到预期的目的。利用数理统计方法对数据进行处理,就是一种常用的手段。对“试验”一词可以广义地理解,例如,掷一次硬币,观察其正、反面,就是一次试验;统计某汽车站的车流量也是在作试验。当然,我们日常进行的技术测试和分析化验,也是在作试验。不同的研究对象可能有不同的概率分布,因此,对不同的试验结果也有不同的处理方法。本文仅探讨其试验结果服从正态分布的那些试验的统计处理方法,因为科学试验的结果大都服从或接近正态分布。1概率密度的概念及其曲线1.1正态分布简介正态分布又称高斯分布,是一种最基本的分布,应用十分广泛。一般认为,科学试验结果,例如,高压瓷瓶的电压分布、钢材的抗拉强度、子弹射程、材料的化学成分、零部件的加工尺寸等测试结果及其误差都服从正态分布。那么,什么是正态分布呢?所谓分布是指随机变量的概率分布。通俗地说,概率分布是描述随机变量取值和取值概率之间的关系的。以投硬币为例,投硬币之前,我们并不知道会出现正面或反面,出现正面或反面都是可能的,是随机的。因此,这是个随机事件,应该用随机变量来描述。随机变量用X表示,并设X=1表示正面朝上;X=0表示反面朝上。我们在此基础上可推断,X=0的概率是0.5;X=1的概率也是0.5,所以,投硬币出现正、反面这一随机现象用随机变量来表示时,其概率分布的数学表达式是p(X=0)=0.5p(X=1)=0.5式中p——某一事件出现的概率,括号中的内容就是某一事件。随机变量的概率分布也可以用图表或曲线的形式表示,只要能说明随机变量的取值和取值概率之间的关系就可以。当然,投硬币观察正、反面这一试验结果并不服从正态分布,而且它是离散型随机变量,它的取值只有两个。我们介绍它,只是想通俗地说明一下随机变量和随机变量概率分布的概念。正态分布的随机变量是连续型随机变量,理论上说,它的取值是无限的,任何具体取值的概率都将趋于零,因此,它的概率分布,即其值和取值概率之间的关系,须用概率密度来描述。概率密度又称分布密度,它是用来表示连续型随机变量在某一区间内取值的概率的。对于正态分布的随机变量,其概率密度函数的表达式是:f(x)=1σ2π√exp[−12(x−μσ)2]f(x)=1σ2πexp[-12(x-μσ)2](1—1)式中μ——总体均值,又称数学期望或期望。它是无穷多次观测结果的平均值;σ——总体标准差,又称总体标准偏差或标准差,它是表示随机变量分散程度的参数。也是从无穷多次观测结果中得到的。总体均值μ和总体标准差σ是正态分布的两个重要参数。这两个参数确定了,正态分布的内容和实质也就都清楚了。正态分布随机变量概率密度的曲线表示方法如图1-1所示。因为测量结果服从正态分布,所以,我们现在以测量结果为例,并结合图1-1来讨论一下正态分布随机变量的一些特性。图1-1中x0是被测之量的真值,因为所有的测量仪器都有误差,真值是测量不出来的,所以,我们暂不讨论它。图1-1中μ是总体均值,虽然我们不可能进行无穷多次测量以求得它,但是,任何单个测量值xi和平均值x¯x¯都是以它为分布中心的。也就是说,在测量结果中,大多数测量值靠近总体均值μ,这就使概率密度曲线呈现单峰性;还可以看到,与μ偏离越大的测量结果出现的机会越少,这就反映了概率密度曲线的有界性;另外,测量值大于μ的数目和测量值小于μ的数目是相等的,这表明了概率密度曲线的对称性。凡是其分布具有以上特性的随机变量都是正态分布的随机变量。并简记为X～N(μ,σ2)。在正态分布曲线上,与曲线拐点对应的两个测量结果分别是μ-σ和μ+σ,σ是总体标准差,正态分布曲线的尖、钝程度就是由它决定的。它是正态分布曲线上的一个特殊线段,见图1-1。这个线段是以μ点为始点,以与曲线拐点相对应的横坐标上那个点为终点的。随机变量的取值概率可以用概率密度曲线上所包围的面积来表示。例如,从图1-1可以看出,在测量结果中,有50%的测量值小于μ,另有50%的测量值大于μ。也可以说,每次测量时,其测量值小于μ的概率是50%,大于μ的概率也是50%。这都是从分布曲线的相关面积得出的结论。此外,我们还应记住以下几个特殊情况:理论可以证明,有68.3%的测量值落入μ±σ的范围内;有95%左右的测量值落入μ±2σ的范围内;有99.73%的测量值落入μ±3σ的范围内。也可以说,每单独作一次测量时,测量值落入μ±σ内的概率是68.3%;落入μ±2σ内的概率是95.45%(一般取为95%);落入μ±3σ范围内的概率是99.73%。以上提到的概率都与曲线包围的面积相对应。当然,这里设定整个曲线与横轴之间所包围的总面积为1,与之对应的概率的总和也为1。从上述讨论,还可以引申出下述估计:每测量三次,可能有一次的测量值处在μ±σ范围之外;每测量20次,可能有一次测量值处在μ±2σ的范围之外;每测量370次,可能有一次测量值处在μ±3σ的范围之外。从这个推论就可以理解人们经常用“3σ”来构造小概率事件的原因所在。测量误差也服从正态分布,只是其期望为零,因而其分布密度函数的表达式是f(x)=1σ2π√exp[−12(xσ)2]f(x)=1σ2πexp[-12(xσ)2](1—2)其曲线形状如图1-2所示。可见其分布中心已移至μ=0的位置。这种随机变量也被称为中心化随机变量,中心化随机变量除具有单峰性、对称性和有界性这三个特性外,还具有抵偿性。即随着测量次数的无限增多,随机误差的代数和趋于零。1.2正态分布的查表计算法为了便于用查数表的方法进行概率及其取值的计算,必须把给定的一般正态随机变量标准化。为此须引出新的随机变量U,且令U=X−μσU=X-μσ(1—3)可见,所谓标准化,是首先令X-μ,使之中心化,然后再除以σ,达到标准化。我们把这个新的随机变量U称为标准化正态分布的随机变量,其概率密度表达式也相应变为φ(u)=12π√exp[−12u2)φ(u)=12πexp[-12u2)(1—4)这时的正态密度函数已与μ和σ无关,故可根据这个公式制成数表,用以解决具有不同的期望和不同的标准差的问题。其概密图形是唯一的,其总体均值为零,方差为12,标准差为1。因此,标准化正态随机变量经常简记为U～N(0,12)或U～N(0,1)。其曲线图形形状类似图1-2,只是与曲线两个拐点对应的横坐标不再是-σ和σ,而是-1和1。见图1-3～图1-5。标准正态函数表是表示标准正态随机变量的取值和取值概率间关系的。有单侧数表和双侧数表两大类。由于取值方法不同,这两类表中还有多种不同的数表,不可误用。国际标准化组织(ISO)制订的有关数理统计和不确定度标准和规范中,采用的是单侧(上侧)数表,其图形如图1-3所示,图中阴影部分代表α。在另外一些文献,特别是误差理论书刊中,经常采用双侧数表,其图形如图1-4所示,其两个阴影部分分别用α/2表示。在这里,α称为显著性水平,它与置信概率p的关系是α+p=1。由图1-3和图1-4可知,在概率p相同(例如p=0.95)的条件下,双侧情况时随机变量的取值和单侧情况时的取值是不相同的。经实际查表得知,若规定概率p=0.95,双侧情形时,则随机变量U的取值为u*=1.96≈2;单侧情形时,u=1.65。为了区分这两种不同的情况,随机变量具体取值应标以不同的下标符号。在数理统计理论中,把随机变量的取值称为分位数或分位点等。在误差理论中,经常把它称为置信因子,近年来也称它为覆盖因子。根据国际标准化组织和国家标准有关统计工作标准规定,单侧情形的上侧分位数用u1-α表示(见图1-3);下侧分位数用uα表示。(见图1-4)。双侧情形(见图1-5)的下侧分位数用uα/2表示;上侧分位数用u1-α/2表示。因为μ=0,所以,下侧分位数都是负值,其中uα=-u1-αuα/2=-u1-α/2例如,u0.05=-u0.95=-1.65,u0.025=-u0.975=-1.96。作这种标注的好处是:不管是单侧问题,还是双侧问题都可以用查单侧数表的方法解决。在国际的和国家的统计标准中,只给出单侧(上侧)数表。也还有一些另外的方法作分位数的下标。例如,单侧问题上侧分位数用uα表示,下侧分位数用-uα表示;双侧问题的下侧分位数用-uα/2表示,上侧分位数用uα/2表示。也有些书刊或计量技术规范规定,不管是单侧情形或双侧情形,分位数的下标一律用置信概率p标注,例如up=u95。这样标注的好处是简单、容易掌握,缺点是分不清是单侧问题,还是双侧问题。现在举两个例题。例1-1已知某测量装置的标准差是0.12(单位略),问:当使用这个装置进行测量时,只测量一次,其不确定度超过0.2的概率是多少?解:已知μ=0,σ=0.12,x=0.2,所以u=u1−α=x−μσ=0.2−00.12=1.67u=u1-α=x-μσ=0.2-00.12=1.67这是一个单侧问题,故上侧分位数为u1-α,查单侧概率表得知,与u=1.67对应的概率是0.9515,即不确定度不超过0.2的概率是0.9515。因此,不确定度超过0.2的概率是1-0.9515=0.0485≈0.048即每测量21次,才可能有一次超过0.2。例1-2某测量装置的标准差是2.5(单位略),问每测量一次,其不确定度处于±3.0的概率是多少?解:这是个双侧问题,已知μ=0,σ=2.5,x1=-3.0,x2=3.0。欲查表计算时,需将取值x1、x2换成标准正态变量的取值,即有u1=x1−μσ=−3.0−02.5=−1.2u1=x1-μσ=-3.0-02.5=-1.2u2=x2−μσ=3.0−02.5