2022届新高考数学精准冲刺复习导数与函数的极值（最值）

2022届新高考数学精准冲刺复习

导数与函数的极值(最值)

【命题趋势】

1.会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函

数一般不超过三次)，凸显数学抽象、数学运算；

2.以基本函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值及最值,求解中多利用

分类讨论思想，凸逻辑推理、显数学运算.

【主干梳理】

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数>=/(X)在点X=。的函数值/(。)比它在点X=。附近其它点的函数值都小，

/'(a)=0,而且在点x附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,则点。叫做函数

y=/(%)的极小值点，/(a)叫做函数y=/(x)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数>=/(x)在点x=匕的函数值/他)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，

/'修)=0,而且在点x=b附近的左侧r(x)>0,右侧/'(x)<0,则点匕叫做函数

>=/(x)的极大值点，叫做函数y=的极大值.

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

2.函数的最值

(1)在闭区间［见3上连续的函数/(x)在［见以上必有最大值与最小值；

(2)若函数/(x)在［a,“上单调递增，则/(a)为函数的最小值，/(。)为函数的最大

值；若函数/(x)在［a,句上单调递减，则/(a)为函数的最大值，/(。)为函数的最小值.

⑶若函数/(力在目上先增后减，极大值为最大值，/(a)与/伍)中较小值即为最

小值；或先减后增，极小值为最小值，/(a)与/伍)中较大值即为最大值；

(4)若函数/(x)在可上增减增，极大值与/(。)中较大值即为最大值，极小值与/(a)

中较小值即为最小值；若函数/(x)在可上减增减，极大值与/(a)中较大值即为最大

值，极小值与/(。)中较小值即为最小值.

3.常用结论

(1)若函数/(x)的图象连续不断，则/(x)在［。,以上一定有最值.

(2)若函数/(x)在区间(a,b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

【核心考点】

【考点一】根据函数图象判断极值

【方法储备】

函数极值的辨析：

(1)利用图象研究函数性质：①利用/(X)的图象，找出/(X)的单调区间及极(最)值

点；②/'(X)的图象，找出r(x)的无女鸟回及由正变负还是由负变正，确定函数的单调

区间和极值；

(2)/(x)在x=Xo处有极值=/'(%0)=0,且/'(X)在x=Xo两侧异号.

【精研题型】

1.设函数/(x)在R上可导，其导函数为r(x),且函数y=(17)/'(x)的图像如下图

所示，则下列结论中一定成立的是

B.函数/(力有极大值/(一2)和极小值/⑴

C.函数/(%)有极大值/(2)和极小值/(一2)

D.函数/(力有极大值/(一2)和极小值/(2)

2.如图是函数y=f{x）的导函数y=/'（X）的图象，给出下列命题：

①一3是函数y=/（x）的极值点；②一1是函数y=/（x）的最小值点;

③y=/（x）在x=0处切线的斜率小于零；@y=/（x）在区间（一3,1）上单调递增.

则正确命题的序号是

A.①②B.①④C.②③D.③④

【思维升华】

3.（多选）已知函数“X）的定义域为（0,+8）,且满足/（x）+矿（x）=F，

=则下列结论正确的是

e

A./（X）在（0,+00）上为减函数B./（X）在（0,+<»）上为增函数

C.“X）既有极大值又有极小值D.“X）没有极值

【特别提醒】

1.可导函数y=/（%）在点与处取得极值的布攀条件是/'（%）=0，且在/左侧与右侧

/'（X）的符号不同；

2.若“X）在（。泊）内有极值，那么/（x）在（。力）内绝不是单调函数，即在某区间上单调

增或减的函数没有极值.

【考点二】求函数的极值或极值点个数

【方法储备】

求极值或极值点个数：

（1）求函数/（力极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数/'（X）；③解方程

,r(x)=o,求出函数定义域内的所有根；④检般/‘(X)在ra)=o啊艮/左有即阚嶂的

得号，如果左正右负，那么/(X)在/处取极大值，如果左负右正，那么/(X)在X。处取

极小值.

(2)若函数y=/(x)在区间(a,。)内有极值，那么y=/(x)在(。力)内不是单调函数，

即在某区间上单调函数没有极值.

【精研题型】

a,a>b1In%

4.定义max{a,Z?}=1且/(x)=——2e,g(x)=-,令

b,a<bxx

h{x}=max{/(x),g(x)},则h{x}的极大值为,单调递增区间为.

5.设函数/(x)=lnx+办若x=l是函数/(x)的极大值点，则函数/(x)的极

小值为

A.ln2-2B.In2-1C.ln3-2D.In3-1

6.己知函数/(x)=Inx+^-ax2-2x+^(a>0).

(1)讨论函数/(x)的极值点的个数；

【思维升华】

(34o、

7.已知函数〃x)=sinx+cosx,g(x)=x,直线尤=“彳4%4彳J与函数

〃x),g(x)的图象分别交于N,M两点，记g)=|MN],函数〃⑺的极大值为

包+也

8.己知函数f(x)=—x-ax

22

(1)讨论函数/(x)的极值点;

9.已知函数/,(x)=sin%+Inx-L

(1)求函数/(x)在点(pln|)处的切线方程；

(2)求证：/(x)在(0,»)上存在唯一的极大值.

【特别提醒】

极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.

【考点三】已知极值(点)求参数的值或取值范围

【方法储备】

已知函数极值(个数)，求参数时，注意以下两点：

(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须尊

可充分性.

【精研题型】

10.若。>0,b>0,且函数/(x)=4d—办2一2法+2在x=i处有极值，则上+士的

ab

最小值等于.

11.函数.f(x)=V+f—ax—4在区间(一1,1)内恰有一个极值点，则实数”的取值范围为

A.(1,5)B.［1,5)C.(1,5］D.(一8,1)。(5,+00)

12.若函数/(x)=ar—sin2x在区间［工，工］上没有极值，则实数a的取值范围是

62

A.a.l或④一2B.一2领h1

C.a>l或。<一2D.a..-l

13.己知函数/(%)=表，，若/(X)在阳+1］上不单唧，则实数f的取值范围是

【思维升华】(取自解答题的第一问)

14.已知向量2,b,满足|1|=2出隹0,且关于x的函数/(X)=+，万|必+1,取

在R上有极值，则向量的夹角的取值范围是

15.已知M=(2sin丝,cos丝)，b=(A/3cos—,2cos—),函数/'(x)=无5在区间

2222

47r

［0,千］上恰有3个极值点，则正实数0的取值范围为

A.［1,|)B.(p|］C.D.(p21

5242344

16.己知函数=一1.

(1)若f(x)有两个不同的极值点再，x2,求实数a的取值范围；

【考点四】利用导数求函数的最值

【方法储备】

1.闭区间内求函数最值的步骤：

①求函数的定义域；②求/'(力，解不等式/'(x)>0；③得出函数的单调区间，极值

点；④求极值、端点值，比较大小，确定最值.

2.若开区间内只有一个极值点，则相应极值点为函数的最值点；

【精研题型】

17.定义：函数/(x)在闭区间［a,切上的最大值与最小值之差为函数/(x)的极差.若定义

在区间［~2h,3。一1］上的函数/(x)=V一办2一屹+2)x是奇函数，则a+力=

函数/(x)的极差为.

18.若函数/。)="阿-一^在｛%］啜卜|4,xeH｝上的最大值为M,最小值为加，则

M—m=

A.卫B.2C.2D.H

1644

【思维升华】

19.已知函数/(x)=x-l-alnx.

(1)若/(x)..O,求a的值；

(2)证明：对于任意正整数〃，［l+Jl+最)…

【考点五】根据函数的最值求参数的值(范围)

【方法储备】

1.含参数函数的单调性和最值（极值）的探究,解答时常用到分类讨论与数形结合的思想，主

要题型有以下几种：

（1）求含参数的函数在定区间的最值，需要对参数分类讨论，最后以分段函数的形式给出

最值.

（2）已知函数在定区间的最值（极值），极值点不确定，讨论极值点和区间端点之间的关

系，再求参数的值或范围.

（3）已知函数在动区间上的值域或者最值，极值点确定，讨论极值点与区间的位置关

系.

2.不等式恒成立（有解）问题，往往是构造函数，转化成利用导数求最值.

3.需多次求导时，要明确每次求导的目的.

【精研题型】

+—4v尤v0

20.若函数〃力=0[x；加的值域为l-4'可，则实数加的取值范围为

A.[l,4w）B.[1,2]C.[1,右]D,[73,2]

21.（多选）若函数/（幻=2/一以2（。＜0）在仁，等）上有最大值，则@的取值可能

为

A.-6B.-5C.-4D.-3

22.（多选）当xe（O,自时，不等式/+必+1..0恒成立，则实数。的值可能为

A.--B.-2C.-1D.-3

2

23.已知函数/Q）=J-/么（e为自然对数的底数），若/（x）＜0在（0,+8）上有解，则

x

实数勿的取值范围是.

【思维升华】

24.已知函数f（x）=31nx-^ox2+（。-3）工+2。一1（。＞0）,/（x）＞（）的解集为

（m,n）,若/（x）在（0,+8）上的值域与函数/（/（x））在（加,〃）上的值域相同，则a的取值

范围为

910

A.[1,+oo)B.[—,4-oo)C.[2,+oo)D.[—,4-oo)

53

25.已知函数/(x)=(or+l)\nx-ex-\{aG/?).

⑴当a=0时，求函数/(x)在[斗,句上的最大值与最小值；

e~

(2)当a,0时，若对任意的xe(0,+oo)都有_f(x)<0,求a的取值范围.

【考点六】生活中的优化问题

【方法储备】

1.由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义；

2.用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，根据实际

意义，该极值点就是最值点.

【精研题型】

26.如图所示，ABCO是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等

腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABC。四个点重合于图中的点P，正好形成一个

正四棱柱形状的包装盒，若要包装盒容积丫卜机3)最大，则防长为cm.

27.某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x(单

位：万元)满足：/(x)="lnx-/zx+3(。*€/?,。,〃为常数)，且曲线丁=/(打与直线

y=日在(1,3)点相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点

(4,4).

(1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；

(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投

资金额均不少于10万元.问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润

约为多少万元？(结果保留3位小数,参考数据：

In10»2.303,In15笈2.708,In20a2.996,In25a3.219,In30®3.401)

【思维升华】

28.(2020江苏卷理)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置

的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥与

MV平行，00'为铅垂线(O'在A8上).经测量，左侧曲线

A。上任一点。到的距离4(米)与。到0。的距离。

(米)之间满足关系式％=焉。2；右侧曲线30上任一点尸到

MN的距离力2(米)与产到。。'的距离〃(米)之间满足关系

1,

式山=-----b3+6b.已知点B到。0'的距离为40米.

■800

(1)求桥AB的长度；

(2)计划在谷底两侧建造平行于00'的桥墩CO和ER,且CE为80米，其中CE在

3

ABt(不包括端点).桥墩EE每米造价氏(万元)，桥墩CO每米造价一火(万元)

2

(左>0),问O'E为多少米时，桥墩CO与炉的总造价最低？

导数与函数的极值(最值)

答案和解析

考点一

1.【答案】D

【解析】

【分析】

判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于。则

函数递减

【解答】

解：x<-2,l-x>0,(l-x)/'(x)>0则/'(x)>0函数/(x)增；

一2<%<1,1——x)/'(x)<0则/'(x)<0函数/(x)减；

1<X<2,1—x<0,(l—x)/'(x)>0则/'(x)<0函数/(x)减；

x>2,l-x<0,(l-x)r(x)<0则,/(力>0函数/(X)增；选D.

2.【答案】8

【解析】

【分析】

本题考查导函数图象与原函数图象间的关系，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值

及导数的几何意义，属于基础题.

根据导数的几何意义可判断出③错误，根据导数与函数的单调性、极值点关系，结合图象

判断在(-8,-3)上/(x)单调递减，在(-3,+8)上单调递增，可判断①④正确，②错误.

【解答】

解：由导函数图象可知：在(一8,-3)上，/'(x)<(),/(x)单调递减，

在(一3,+8)上，f'(x)..0,/(x)单调递增，

所以-3是函数y=/(x)的极小值点，故①④正确，②错误;

因为在x=0处的导函数值大于零，根据导数的几何意义，可知曲线y=/(x)在x=0处切

线斜率大于零，故③错误,

故选B.

3.【答案】AI)

【解析】

【分析】

本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题.

I,11

由题意可得4(x)=5(lnx)-+c；再由/(e)=-可得c=-,从而可得

,从而再求导判断即可.

解：•••/(x)+V〈x)=3

・•・h(切'=¥，

J2

9(x)=5(lnx)~+c,

又"(e)=L

e

c,———+c；

e2V'

-2(lnx-l)L,

4x2

故函数/(X)在(0,+8)上为减函数,

故/(x)没有极值，

故选AD.

考点二

4.【答案】[-,e]

ee

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，对g(x)求导，分析

g'(x)的正负，g(x)的单调性，作出〃(x)=max"(x),g(x)｝的大致图象，可得〃(x)的极

大值和单调递增区间.

【解答】

InX

解:因为g(x)=——(x>0),

X

所以g，(x)=lz±B,

X

令g(x)=0,则x=e,

当0<x<e时，g\x)>0,g(x)单调递增，当时、g<x)vO,g(x)单调递减,

所以g(“)极大值=g(e)=一，

e

1nyI

由/(%)=g(%),即x-2e=—,得工二一,

xe

作出〃(％)=max"(%),g(x)｝的大致图象如下:

贝!|〃（x）极大值=g（e）=！，且在（0」），（e,+8）上单调递减，

ee

在［1,e］上单调递增，

e

则〃（x）的单调递增区间为d,e］.

e

故答案为：

ee

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.

先求导，再根据X=1是函数/（X）的极大值点，求出。的值，再根据导数和函数的单调性的

关系即可求出极小值.

【解答】

、3

解：,//(x)=ln%+tzx2-—X,尤>0,

I3

/.fix')=—+lax—,

x2

=1是函数/（X）的极大值点,

31

二/⑴=1+2a——=0,解得a=1.

113x2-3x+2

广（幻=—+—x—=-------------

x22lx

再令广（幻=0,解得x=l或x=2,

当0<x<l,或无>2时，f'(x)>0,

当l<x<2时，f\x)<0,

.♦.当x=2时，函数取得极小值，则极小值为"2)=ln2+)x4—■|x2=ln2—2,

故选A.

6.【答案】

解：f\x)=-+ax-2=———2-+1(0,十⑹.

①当a=0时，/(力=卫士A.

当时，/'(x)>0,所以在(0,£)上单调递增；

当xe(；,+oo)时，f(x)<0,所以/(x)在(；,+oo)上单调递减.

即函数/(力只有一个极大值点;，无极小值点.

②当0<。<1时，△=4一4。>0,

令/'(x)=0,得"±尸^.

当匕卢［笆9什)时，/'(x)〉0,

所以/(力在且三—I上单调递增;

I。八。)

、叱(1—Jl-a1+Jl—a„

当---------,——-----时，/(x)<0,

(a«J

所以在上［2,1±手2上单调递减.

即函数/(力有一个极大值点匕牛区，有一个极小值点吗二巴.

③当aNl时，A=4—4aW0,此时/'(x)之0恒成立,

即/（X）在（0,+8）上单调递增，无极值点.

综上所述，当。=0时，/（X）有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点;

当时，/（X）有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点;

当a21时，/（X）没有极值点.

【解析】

本题综合考查了导数的应用及分析问题，解决问题的能力，试题具有一定的综合性.（1）

先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系对a进行分类讨论即可求解；

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的极大值的求解，属于基础题.

由题意可设M（r,y）,N（/,y2）贝“MN|=binf+cosr-4,利用函数的性质可求函数的极

大值即可.

【解答】

解：设

..3〃v,v9万

・---SzS----

44

3n9乃、

//(/)=|MN|=|sin/+cos/-t\="(sinf+cos。—<t<—

44)

71

/.=cost+sint=5/2sint+1,

由/?'(/)>0,sint——乃>-也

4JV,

解得网wr〈包，或2万＜/w也,

424

丘

由///(r)<0,sin<----

2

3兀

解得把＜r＜2»

2

Q-rr

，当t=三时，函数M。有极大值为

3兀3万.3437

hsin——4-cos——

222

故选D.

8.【答案】

解:/'（X）=^x-a）\nx^-—x-a-x^-—a=（…）

(1)①当aKO时，令/'(x)>0,则x>J7

/(X)在(。,五)单减，(加,+8)单增，极小值点为X=G,

②当0<4<&时，/(X)在(0,。),(&,+8)单增，(〃,&■)单减，极小值点为x=

极大值点为X=。，

③当。=及时，/(X)在(0,+8)单增，无极值点，

■时，/(x)在仅，五),(a,+oo)单增，(&,a)单减，极小值点为x=a,极大值点为

x=yfe

【解析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题.

(1)利用导数判断函数的极值，借助分类讨论的思想是解题的关键；

9.【答案】解：（1）由/（x）=sinx+lnx-l,得/'（x）=cos尤+’,

X

/吟）=2,

271

7T271

・•・切线方程为y-In—=一（x-一）,

27t2

即y=-x+\n--l.

712

（2）,/f\x）=cosx+—,

x

TTTT

••・当―叼时'ra）>°’此时小）在（时单调递增，

■JT\-TT

当光£（—,万）时,由/"（x）=-sinx——7<0,知/（元）在（一,乃）单调递减,

2x2

且/，（生）=2>o,1（万）=-i+l<o,知存在唯一/G（工,团使得/'（/）=0；

2717t2

TT

当XG（1,Xo）时•/''（x）>0，/（X）单调递增；

当X€（Xo，打）时,f\x）<0,此时/（X）单调递减，

f（x）在（0,x0）上单调递增,在（尤0,万）上单调递减，

，七是极大值点

综上，f（x）在区间（0,万）内存在唯一的极大值.

【解析】（1）对f（x）求导，然后求出函数/（x）在点（5』n£）处的切线斜率A,再得到切线

方程；

⑵根据条件分一吟和X呜㈤两种情况，讨论函数/,⑶的符号，得出函数小）

的单调性，得出函数存在唯一的极大值点，即函数在给定的区间上存在唯一的极大值.

本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线的切线方程，考查了转化思想和

分类讨论思想，属中档题.

考点三

_3

10.【答案】-

2

【解析】

【分析】

本题考查函数在极值点处的导数值为0,考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、

三相等，属于中档题.

求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为。得到a,b满足的条件，利用基本不等式求

出上+上的最小值.

ab

【解答】

解：由题意，求导函数/'（x）=12%2—2ar—26，

•.•在x=l处有极值，

/.l2-2a-2b=0f

.\a+b=6f

4〃

当且仅当b巳=丝，即。=2,匕=4时取等号,

ab

143

所以上+上的最小值等于2.

ab2

故答案_为三3.

2

11.【答案】8

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值问题，函数零点存在性问题，属于中档题.

利用函数的导数与极值的关系，即可求出实数a的取值范围，进而验证a=l,5时是否符

合题意，即可得到答案.

【解答】

解：由题意，r(x)=3x2+2x—a,

当广(T)r⑴<0时，函数/(*)=/+X2一办—4在区间(一1,1)内恰有一个极值点,

即(1一。)(5-a)<0,解得l<a<5；

当a=l时，函数/(*)=/+/一工一4在区间(一1,1)上恰有一个极值点》=；；

当a=5时，函数/(x)=V+/—5x—4在区间(-1,1)上没有一个极值点，

故实数a的取值范围是［1,5),

故选B.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数极值，属于基础题.

TTTT7TTT

函数/(》)=6一sin2x在区间［2,二］上没有极值等价于/(X)在［上，生］是单调函数，即

6262

/'(处..0或(@),,0恒成立，求导后根据三角函数的性质可求得a的范围.

【解答】

解：函数/*)=办-5苗2工在区间［2,勺上没有极值等价于/(幻在［2二］是单调函数,

6262

TT7T

所以rO)=a-2cos2x..O或/'(x)=a-2cos2兀，()在区间［―,一］上恒成立；

62

所以4.(2852%)3=2cos(2x—)=1,

6

71

或q,(2cos2x)min=2cos(2x—)=-2,

综上a.1或q,-2,

故A正确.

13.【答案】(一3,-2)U(T,0)

【解析】

【分析】

先求导，判断函数的单调性，则区间上,/+1］不在某一个单调区间内，即可分类讨论得解.

【解答】

解:由题意得，f\x)=ex(x1+2x),

所以，/(x)在(―8,—2),(0,+8)上单调递增，

在(一2,0)上单调递减，

又•.•/(X)在+上不单调,

r<-2_”0

，或〈

［r+l>-2［f+l>0

即实数t的取值范围是(一3,-2)U(T,0)，

故答案为(一3,—2)U(T,0).

14.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量的夹角的取值范围的求法及利用导数研究函数的极值，是中档题，解题时要认

真审题，注意根的判别式的合理运用.

根据题意可知/'(》)=/+|口%+万・5=0有两个不等的实根，根据判别式大于0,利用向

量夹角公式解答.

【解答】

11―►

解：•・,关于x的函数f(x)=-x3+—\a|/+在/?上有极值,

.・.1(幻=x2^\a\x-^a-b=0有两个不等的实根，

则判别式2『-4"石>0,设向量的夹角为。,

.*.|5|2一4|allblcos。,。，

由|M|=21〃0,得cos0<—,

2

因为喷阳7C,

71八

—<0,71.

3

故选C

15.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数图象及其性质运用，运用导数研究函数的极值，涉及三角函数两角和差

公式，二倍角公式，向量数量积运算等基础知识的运用，考查了分析和运用能力，属于拔高

题.

先结合向量数量积运算以及三角恒等变换公式得到./Xx)=五日=2sin(ox++1,再根

据函数/(幻=无5在区间［0,苧上恰有3个极值点，可得/'(x)=2«ycos(3小在

4万

LO,-y］上有三个变号零点，结合三角函数图象建立不等式组求解即可.

【解答】

解：由题意,

，/、_r.SXCOX［Tcoxcoxrz.coxcox2ox

f(x)=a-b=(2sm——,cos——)•(73cos——,2cos——)=2y3sm——cos——+2cos——

2222222

=V3sin6yx+cos69x+l=2sin^69x+^j+l,

4万

因为函数/(x)在区间［0,三］上恰有3个极值点，

所以/'(x)=20cos(s+q在［0,仅J上有三个变号零点，

又因为。>0,

4"7t5万

(D-----1-->---

36275

所以结合/'(%)图象可得，只需使<,解得:二•<私,

477117142

CD---+—„——

362

故选B.

16.【答案】解：⑴由/(》)=/一起,-1

得/'(x)=2x-ae”,

因为/(x)有两个不同的极值点x2,

则尸(x)有两个不同的零点,

即方程a=—有两个不同的实根,

e

2x

即直线丁=々与》=的图象有两个不同的交点,

设g⑺3则g，(上写2

当尤£(一8,1)时，gf(x)>0,g(%)单调递增，

2

且g(x)的取值范围是(-00,—);

e

当X£(l,+oo)时，gr(x)<0,g(x)单调递减，

2

且g(x)的取值范围是(0,—),

e

22r

所以当—时，直线y=a与y=?的图象有两个不同的交点，/(幻有两个不同的极

eex

值点占，x2,

2

故实数。的取值范围是(0,±)；

e

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查导数中的不等式证明，属于难

题.

⑴对函数求导，根据题意可得，方程。=三有两个不同的实根，设g(X)=三，对g(x)求

ee

导，根据函数g(x)单调性可得g(x)的取值范围，即可得实数。的取值范围；

考点四

17.【答案】1,4

【解析】解：•.•定义在区间［一2女38一1］上的函数/(x)=V一℃2一S+2)》是奇函数，

2"3。-1=0

,解得。=0,b=l,:.a+b=\,

—a=0

/(X)=X3-3X,区间［一2匕,3b-1］即为［-2,2］,

f'(x)=3x2-3,由广(x)=O,得％=±1,

V/(-2)=(-2)3-3X(-2)=-2,

/(-1)=(-1)3-3X(-1)=2,

/(I)=I3-3x1=-2,

/(2)=23-3X2=2,

•••/Wmax=2，/U)min=-2,

函数/(x)的极差为：2-(-2)=4.

故答案为：1;4.

由定义在区间［—2匕,36-1］上的函数/(幻=/一℃2_(/?+23是奇函数，列出方程组，能

求出。=0,b=\,从而a+b=l,f(x)=x3-3x,由此利用导数的性质能求出函数/(x)

的极差.

本题考查函数性质、函数极差、导数、函数最大值及最小值等基础知识，考查推理论证能力、

运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题.

18.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，利用导数研究函数的单调性及函数奇偶性的应用.

由/（x）为偶函数，可得当掇/4时，/（x）=«-二,从而利用求导可得函数的单调性,

x

进而可求出M—加的值.

【解答】

解：•.•/（司=桐一!为偶函数，

当1领k4时，=

X

1?

/'（x）=—^+_>0,则/（X）在［1,4］上单调递增，

31

/./（X）GLO,—J,

16

3131

因止匕〃二一,m=0,;.M-m=一.

1616

故选A

19.【答案】解：（1）/（幻的定义域为（0,+oo）,

①若4,0,因为=-g+aln2<0,所以不满足题意.

②若a>0f由f\x）~―-知I,

xx

当工£（0,a）时,f\x）<0；

当工£（a,+oo）时，f\x）>0；

所以/（x）在（0,a）单调递减，在3,+0。）单调递增，

故x=Q是/（X）在（0,+8）的唯一最小值点.

因为/（i）=o,所以当且仅当。=1时，y（x）..o,故〃=1.

（2）证明：由（1）知当%£（1,+8）时,x-l-lnx>0.

令X=1H---，得In(1H-----।<—.

2n(2〃)T

从而ln(l+/+m[l+*)+..+ln[l+5)<《+!+...+!=l一!<1.

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数证明不等式，属于中档题.

⑴求出函数导数，利用单调性求出/(x)最小值，代入即可求出圆

⑵利用⑴可知XG(1,E)时，x-l-lnx>0,然后令x=1+-!-,得ln[1-即

可得证.

20.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用，是中档题.

根据题意，分类讨论，进而求出结果.

【解答】

解：当-4«xW0时，/(x)=+4x=(x+2)——4,

所以TWf(x)<0,

当0cxW/n时，/(x)=-2d+6x,则/"(x)=-6x?+6,

令/，(彳)=一6彳2+6>0,解得0<x<l；由/'(X)=-6X2+6<0,解得X>1；

所以函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减，

当加21时，函数/(x)有极大值，即为最大值41)=4,

又因为/(2)=-4,

所以实数加的取值范围为：

故选B.

考点五

21.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题.

通过求导，得出％=@时，函数/(X)取得最大值，由/(x)=-g,解得尤=@或x=

32736

则@<丝色”一处,解不等式即可.

336

【解答】

解：由题意，令/0)=6彳2-2办=21(31一。)=0,解得％=0,工2=1.

当5Vxv0时，f\x)<0；

当•或x〉0时，/'(%)>0；

3

从而一(X)在x4处取得最大值吗)=今.

3

由/(x)=-《-可得0—0)2(2%+0)=0,解得无=@或x=

273336

32a

••・函数f(x)=2x-ajc(a<°)在上有最大值，二1a,,-4.

6

故选ABC.

22.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于中

档题.

2

1—1—X1

由题意，不等式％2+以+1..0对一切x£(o,_］成立0a..------=----工对一切

2xx

X£(0,L］恒成立，令8(%)=一,一元(0<工，,)，则a.g(x)max，求出g。)的最大值，即

2x2

可得出答案.

【解答】

1_1_冗21

解：不等式f+QX+1..0对一切xe(0,—］成立oa...----:一=-----x对一切XG

2xx

恒成立,

八1

0<x,,—,

2

g，(x)=±-l>0,

X

.•.8(幻=一,一》在(0,以上单调递增，

x2

；.g(X)max=g(g)=_2_g=_g,

5

..a・・—,

2

实数a的值可能为-1,-2,

2

故选ABC.

e2

23.【答案】(丁,+8)

4

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的存在性问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键,

考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

XXX

由题可知，存在xw(0,+8),使得^--mx<0,即机〉二，设g(x)=3，xe(0,+8),

xx~x

问题转化为求g(x)在(0,+8)上的最小值，对g(x)求导后，易推出g(x)在(0,2)上单调递

减，在(2,+0。)上单调递增，于是g(x)mm=g(2),从而得解.

【解答】

解：•.•/(x)<0在(0,+8)上有解，

X/

.,・存在尤£(0,+oO),使得----fWC<0t即)

XX

设g(x)=£­)，

问题转化为求g(x)在(0,+OQ)上的最小值,

eg2)

而g'(x)

.,.当()<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x>2时，g，(x)>(),g(x)单调递增.

22

ee

，g(X)min=g(2)=W'

e1

故答案为：(—,4-oo).

4

24.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的导数求函数的单调性和值域问题，属于难题.

先对函数求导，判断函数的单调性，确定函数的值域，再利用/(x)在(0,+oo)上的值域与函

数“/"(©)在(见〃)上的值域相同，满