2022届山东省泰安高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的展开式中的常数项为()

IX)

3.函数y=/(x)(xeR)在上单调递减，且/(x+1)是偶函数，若/(2x-2)>/⑵，则x的取值范围是

()

A.(2,+oo)B.(-as,1)U(2,+oo)

C.(1,2)D.(-oo,1)

4.在正方体A6CO-中，球。|同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以G为公共顶点的三个

r.

面相切，且两球相切于点F.若以尸为焦点，Aq为准线的抛物线经过Q,Q，设球Q，Q的半径分别为4，4,则,=

r2

()

」怨B.后舱。"与02f

x,x<0

5.已知SeR,函数/⑴二馆一…人办心。’若函数尸小)”"恰有三个零点，则<)

A.6/<-1,/?<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,h<0D.a>-l,h>0

6.已知函数满足/。-x)=/(l+x),当xNl时，〃x)=xT，则{x|/(x+2)>l}=()

A.{小<-3或x>0}B.{x|x<0或x>2}

C.{小<-2或x>0}D.{x|x<2或x>4}

7.在直三棱柱ABC—A4G中，己知AB_LBC,AB=BC=2,CG=20,则异面直线与4g所成的角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲

线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k>0,

且厚1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆「+丫=1（a>b>0）,A,B为椭圆的长轴端

IMAI

点，c,D为椭圆的短轴端点，动点M满足卡而=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭

圆的离心率为（）

A夜R6「四n6

A.B.C.D.

3322

9.设和々为〃x）=总由5-856>尤（。>0）的两个零点，且k-占|的最小值为1，则①=（）

717171

A.兀B.D.

27

10.将函数y=2cos?的图像向左平移〃?（〃?>0）个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则加的

最小值为（）

71c兀

A.-B.-D.乃

34

11.点P为棱长是2的正方体ABCD-A与G。的内切球。球面上的动点，点M为用G的中点，若满足DPYBM,

则动点P的轨迹的长度为（）

垂）兀„2亚兀„4#>兀n8加兀

A.---B.-----C.-----D.-----

5555

12.已知/,机是两条不同的直线，机_L平面a,贝！是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在△ABC中，。=4,h=59c=69贝！IcosA=,ZkABC的面积为.

14.公比为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若的=2,S4-5S2=0,则S。—S3的值为.

15.已知向量£=(1,1),b-｛-[,k),i_L，，贝44+0=.

x

16.已知函数/.(x)=2y'(e)lnx-一，则函数/(x)的极大值为.

e

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数f(x)=|x+2|+|九一3|.

(1)解不等式/(x)43x-2；

(2)若函数/(x)最小值为“，且2a+38=M(a>0,匕>0),求-----+-1-的最小值.

2a+1b+i

18.(12分)改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断

加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取

男女驾驶员各5()人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在8()分以上为交通安全意识强.

(1)求"的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

(2)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成下列2x2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性

别有关；

安全意识强安全意识不强合计

男性

女性

合计

(3)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人对未来一年内的交通违章情况

进行跟踪调查，求至少有1人得分低于4()分的概率.

n^ad-hey

附：K2=其中〃=a+/?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(O+d)

2

P(K>k)().01()0.0050.001

k6.6357.87910.828

19.(12分)已知数列｛斯｝的各项均为正，S〃为数列｛呢｝的前〃项和，斯2+2%=4S〃+L

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设瓦=/,求数列｛瓦｝的前n项和.

20.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定X285为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

50II6

60133458

7I2367778

X112459

900123%

(I)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率;

(H)从图中考核成绩满足XE［80,89］的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

(111)记P(a<XK〃)表示学生的考核成绩在区间［凡句的概率，根据以往培训数据，规定当PW12。.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

21.(12分)已知命题P：VxwH,x2-x+m>0;命题“：函数/(幻=始彳-5^无零点.

(1)若F为假，求实数机的取值范围；

(2)若，人q为假，为真，求实数〃7的取值范围.

22.(10分)设函数/(x)=e*+2ox-e,g(x)=-lnx+ox+a.

(1)求函数/(x)的极值;

(2)对任意xil,都有求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

(9AI

求(Y—l)Vx+—J的展开式中的常数项，可转化为求4+』展开式中的常数项和r项，再求和即可得出答案.

IX)x

【详解】

、62

2中常数项为圆石)“2

由题意,+—=60,

x71X

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.

2.B

【解析】

根据函数为偶函数排除AC,再计算f(g)=gIn3>0排除。得到答案.

【详解】

[+尤

f(x)=xln--定义域为：(-1,1)

1—x

/(—x)=-xln匕二=xlnHe=/(x),函数为偶函数，排除A,C

1+x1—x

/(1)=1ln3>0,排除O

故选3

【点睛】

本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.

3.B

【解析】

根据题意分析Ax)的图像关于直线x=l对称，即可得到/'(x)的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x的取值

范围。

【详解】

根据题意，函数y=/(x)满足/(x+1)是偶函数，则函数Ax)的图像关于直线x=l对称，

若函数y=/(x)在(-a),l］上单调递减，则/(x)在［L4w)上递增，

所以要使/(2X—2)>/(2),则有|2%-2-1|>1,变形可得|2%-3|>1,

解可得：》>2或％<1,即x的取值范围为(-8,1)。(2,+8);

故选：B.

【点睛】

本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。

4.D

【解析】

由题先画出立体图，再画出平面A4G。处的截面图，由抛物线第一定义可知，点。2到点尸的距离即半径外，也即

点。2到面8QG的距离，点。2到直线Ag的距离即点O?到面的距离因此球O?内切于正方体，设弓=1,

两球球心和公切点都在体对角线AG上，通过几何关系可转化出(，进而求解

【详解】

根据抛物线的定义，点。2到点尸的距离与到直线的距离相等，其中点。2到点尸的距离即半径G，也即点。2到

面8RG的距离，点。2到直线A4的距离即点。2到面AB⑸A的距离，因此球。2内切于正方体，不妨设弓=1，两

个球心Q,Q和两球的切点尸均在体对角线AG上，两个球在平面处的截面如图所示，则

:

&尸=4=1,A02=年=6，所以/1/'=402_02尸=>/5_1.又因为4尸=401+O尸=6耳+4，因此(6+1)4=6-1,

得「2-6,所以“=2-6.

故选：D

【点睛】

本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数

学运算的核心素养

5.C

【解析】

当x<0时，y=/(幻一水一人=》一分一6=(1—。»一人最多一个零点；当x.O时，

y=f(x)-ax-b=^x3-^(a+l)x2+ax-ax-b=^x3-^(a+l)x2-b,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(\-a)x-b=O,=；y=八乃一奴一〃最多一个零点；

\-a

1,12131,

当x..0时，y~f(x)_ax_h——x—_(a+l)x+ax_ax_b——x__(a+l)x"_b,

/=x2-(«+l)x,

当a+L,O,即4,—I时，/..0,y=f(x)-ax-h^[O,+8)上递增，y=/(x)—以一人最多一个零点.不合题意;

当a+l>0,即a>—1时，令y'>0得xw[a+l,+吟，函数递增，令y<0得xe[O,a+1),函数递减；函数最

多有2个零点；

根据题意函数y=/(x)—⑪一匕恰有3个零点o函数y=/(x)—ax-力在(-8,0)上有一个零点，在[0,+8)上有2

个零点，

如图：

(~b>0

•••—<o且h,1,

\-a-(a+a——(a+l)(a+l)2-^<0

、32

1,

解得Z?v0,1—。>0,0>Z?>—(a+1)-a>—1.

故选c.

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

6.C

【解析】

f2,

2元___—|

简单判断可知函数关于X=1对称，然后根据函数/(x)=x—-的单调性，并计算X一，结合对称性，可得结果.

X[x>0

【详解】

由/(l—x)=/(l+x)，

可知函数/(X)关于X=1对称

/、2

当xNl时，/(x)=x——,

2

可知y(x)=x—I在[1,+8)单调递增

fx2-1

则Jxnx=2

x>0

又函数“X)关于x=l对称，所以/(。)=1

且“X)在(-8,1)单调递减，

所以x+2v()或％+2>2,故xv-2或％>()

所以{x|/(x+2)>l}={x|x<_2或x>0}

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：/(l-x)=f(l+x),

/(l-x)+/(l+x)=O,考验分析能力，属中档题.

7.C

【解析】

由条件可看出AB||A4,则/BAG为异面直线AG与4#所成的角，可证得三角形BAG中，解得

tanZBAC,,从而得出异面直线AC,与A4所成的角.

【详解】

连接AG，BC,,如图：

又AB||,则NBAG为异面直线AG与A5,所成的角.

因为，BC,且三棱柱为直三棱柱，二AB上面BCC.B,,

1CCr/.

/.AB1BC］,

又AB=BC=2,CG=2及，Ng=J(20，+22=2百，

,tanZMC,=G,解得Z5AC,=60°.

故选C

【点睛】

考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

8.D

【解析】

求得定点M的轨迹方程［x—步］+>2=®可得lx2ax±a=8,'x2bxLa=l,解得a,b即可.

L3J92323

【详解】

\MA\

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).：动点M满足匕4=2,

\MB\

则J(x+a)2+y2=2"a)2+y2=2,化简得(x—弓)2+y2=蚓.

•.,△MAB面积的最大值为8,AMCD面积的最小值为1,

-x2ax—a=8,-又2bx-a=I,解得2=5/^力=^^,

23232

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

9.A

【解析】

先化简已知得/(%)=2$皿(松-?T)T,再根据题意得出£6)的最小值正周期T为1x2,再求出3的值.

【详解】

由题得/(x)=2sin(wx—T),

设xi,X2为f(x)=2sin((ox-g)(<»>0)的两个零点，且k一百的最小值为力

解得T=2；

2

解得w=n.

故选A.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

【解析】

IJF\JTTT

由余弦的二倍角公式化简函数为y=cosx+7，要想在括号内构造二变为正弦函数，至少需要向左平移二个单位

长度，即为答案.

【详解】

由题可知,=cos(X+5J对其向左平移J个单位长度后,

(7171其图像关于坐标原点对称

V=COSX+—+—=cos[x+1^=-sinx,

I44

7T

故，〃的最小值为了

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

11.C

【解析】

设的中点为“，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出80，平面。C”，这样可以

确定动点P的轨迹，最后求出动点P的轨迹的长度.

【详解】

设的中点为“，连接CH,DH,因此有而而。CCHu平面，DCQCH^C,

因此有平面。CH,所以动点P的轨迹平面。C”与正方体的内切球。的交线.正方体

ABCD-A.B^D,的棱长为2,所以内切球。的半径为R=1,建立如下图所示的以。为坐标原点的空间直角坐标系:

因此有O(Ll,D,C(0,2,0),〃(2,2,l),设平面OCH的法向量为送=(x,y,z),所以有

ml.DCm-DC=0f2y=0

__.=>—.=><<co=>m=(l,0,-2),因此。到平面。CH的距离为:

mLDHfn-DH=0[2x+2y+z=0

\m-OD\J5

d=—=2,所以截面圆的半径为:r=^R2-d2=—，因此动点夕的轨迹的长度为=

\m555

故选：C

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和

数学运算能力.

12.A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当机_L平面a时，若/〃a"则“LL”喊立，即充分性成立，

若则/〃a或/ua,即必要性不成立，

则“/〃a”是“LL/n”充分不必要条件，

故选：4

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1Q315币

44

【解析】

利用余弦定理可求得cosA的值，进而可得出sinA的值，最后利用三角形的面积公式可得出AA?。的面积.

【详解】

由余弦定理得cosA=———=§———=—>贝！IsinA=71-cos2A=—,

2bc2x5x644

因此，△ABC的面积为SABC=LbcsinA=.

,Be2244

故答案为：—;"".

44

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.

14.56

【解析】

根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.

【详解】

,/a2=2,S4—5s2=0,

%q=2,,

a.=1,

q(l-心%(1-/)n

Ii-qi-q

345

S6—S3=a4+a5+a6=2+2+2=56.

故答案为：56.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求

解能力.

15.2

【解析】

由£，/；得£4=0,算出％=1,再代入算出忖+0即可.

【详解】

,->a=(1,1)>b-(―1,A:)>£j_〃，,\ab--i+k-0>解得：k—1,

:.a+b=(0,2^,则卜+目=2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.

16.21n2

【解析】

对函数求导，通过赋值，求得/'(e),再对函数单调性进行分析，求得极大值.

【详解】

广⑴一如一L故/，(上皿」

xeee

ix71

解得/'(e)=_,f(x)^2Inx--,f'(x)=——

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函数在(O,2e)单调递增，在(2e,w)单调递减，

故/(x)的极大值为〃2e)=21toe-2=2m2

故答案为：21n2.

【点睛】

本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量/'(e).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

「7116

17.(1)-,+co(2)—

[3)9

【解析】

(1)利用零点分段法，求得不等式的解集.

13

(2)先求得〃同之5,即2。+38=5(。>0/>0),再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得-----+——

的最小值.

【详解】

3

(1)当x<—2时，一x—2—x+3W3尤一2,即x之彳，无解；

77

当—2WxW3时，x+2—x+343x—2,即一《尢，得一<x«3；

33

当x>3时，x+2+x-343x-2,即得x>3.

故所求不等式的解集为:，+°0)

(2)因为/(x)=|x+21+1x—3以(x+2)—(x—3)|=5,

所以2。+3b=5(a>0,b>0),则2。+1+3(b+1)=9,

3伯+1)।3(2。+1)

」+二[2«+l+3(/?+l)]=110+

2a+1/7+1912。+1/7+12a+\b+l

5

2a+1=。+1,a--

当且仅当(

2a+3Z?=5,8时取等号.

,5

a>0,b>0,D--

4

的最小值为学.

故------+-----

la+1b+1

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中

档题.

3

18.(1)a=0.016,概率为0.2：(2)列联表详见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关；(3)二.

【解析】

(1)根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可;

(2)根据题意填写列联表，计算《2的值，对照临界值得出结论；

(3)用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.

【详解】

解：(1)10(0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028)=1

解得。=0.016.

所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率P=().16+0.04=0.2

(2)根据题意可知，安全意识强的人数有100x0.2=20,

4

其中男性为20x==16人，女性为4人，

4+1

填写列联表如下:

安全意

安全意识不强合计

识强

男性163450

女性44650

合计2080100

2(16x46-4x34)2x100

2=----------------------------=9>7.879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关.

（3）由题意可知分数在（30,40］,（40,50］的分别为4名和8名，

所以分层抽取的人数分别为2名和4名，

设（30,40］的为A，4,（40,50］的为%漫，则基本事件空间为（A，4），（44），（4也），（A，鸟），

B2,B、,

（4㈤），（&，4）,（%四）,（人闯,（Ae）,（4也）,（为质）,（综4），（&纭）

（B2,B3）,（B2,B4）,

共15种,

设至少有1人得分低于40分的事件为A,则事件A包含的基本事件有

（4,4）,（4,4）,（&员），（4，4），（4，纭）,（4再）,（4，5）,（&,4），（&,纥）共9种

Q3

所以尸（力=石=亍

【点睛】

本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.

,、,、n+2

19.（1）a=2n+l；（2）2-----.

n3”

【解析】

（1）根据题意求出首项，再由（即+/+2斯+|）-（斯2+2%）=4an+i,求得该数列为等差数列即可求得通项公式；

（2）利用错位相减法进行数列求和.

【详解】

2

（1）Va„+2a„=4Sn+L

/.6!I2+2<ZI=4SI+1,即-2t/|-3=0,

解得：“1=1或”i=T（舍），

又♦。"+12+2。"+1=4S“+i+l,

••（a"+J+2a"+i）-（。/+2。"）4a”+i,

整理得：（«»+i-an）（即+1+即）=2（aB+i+«»）,

又•••数列｛斯｝的各项均为正，

••dn+\-a“=2,

.••数列｛斯｝是首项为1、公差为2的等差数列，

二数列｛斯｝的通项公式呢=1+2（n-1）=2n+l；

,、­，、一La„2〃+l

（2）由（1）可知加=#=下一，

记数列｛瓦｝的前〃项和为Tn,贝!J

11,、1

7"=1・一+5・rH-----1-(2/i+l)•—,

3323"

111,、1,、1

§7"="三+5•于♦…+<2/i-1)•—+⑵+1)•严，

错位相减得：■|r“=l+2(*■+*■i,+()-(2"+1)

1

2n+l

=l+2x—

3

_42〃+4

-33,,+|

.3,42〃+4、n+2

♦•7"=一(-------：­)=2---------.

233,,+|3"

【点睛】

此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计

算.

73

20.(I)—(II)-(III)见解析

305

【解析】

(I)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

(H)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；

X—85

(UD求出满足一^-<1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可.

【详解】

解：(I)设这名学生考核优秀为事件A,

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，

7

所以所求概率P(A)约为布

(D)设从图中考核成绩满足Xw［80,89］的学生中任取2人，

至少有一人考核成绩优秀为事件B,

因为表中成绩在［80,89］的6人中有2个人考核为优，

所以基本事件空间Q包含15个基本事件，事件8包含9个基本事件,

93

所以尸(3)=1='

£-85

(III)根据表格中的数据，满足41的成绩有16个,

、10

%—85162>0.5

所以P<1

10730

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

【点睛】

本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题.

212

21.(1)m>—(2)(一,一］

e4e

【解析】

(1)r为假，则4为真，求导，利用导函数研究函数/(x)=lnx-£x有零点条件得〃?的取值范围;

(2)由。入4为假，PF为真，知〃国一真一假；分类讨论列不等式组可解.

【详解】

yyiInrni

(1)依题意，q为真,则Inx--x=0无解，即一=言无解；

2x2

.,、In%…、1-lnx

令g(x)=——，则g(x)=——,

XX

故当xe(O,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当xe(e,+s),g'(x)<0,g(x)