2022届高考考前冲刺卷（五）-数学

（新高考）2022届高考考前冲刺卷

数学（五）

注意事项：

S1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，

S并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

赭2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

s

r第I卷（选择题）

KK-一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

一

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二

1.已知集合4={川》=2"+1,“€2},B=卜|^/^^<3},则4口3=（）

二

二A.{1,3}B.{3,5,7,9}C.{3,5,7}D.{1,3,5,7,9}

二

m【答案】D

母【解析】由病1<3,得则4口8={1,3,5,7,9}，故选D.

敝

型2.平面上有两个定点A,B及动点、P,命题甲：训_|/>回是定值”，命题乙：“点

P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

2【解析】若|以|-归同=忸川，则点P的轨迹是一条射线，故甲推不出乙；

技

若点尸的轨迹是以A,8为焦点的双曲线，则|么|一归回=24或1PAl冏=-2a，

其中，。为双曲线的实半轴长，

故|尸山-|尸却不是定值，故乙推不出甲，故选D.

3.若圆j?+/一2x+4y-a=0与直线（2加一l）x+/〃y—3=0始终有交点，则实数a

的取值范围是（）

A.（-5,75）B.[75,4w）C.（-5,4w）D.（75,+oo）

【答案】B

【解析】方程尤2+y2_2x+4y-a=0表示圆，需（一21+4?+4a>0,解得a>-5，

直线（2〃z-l）x+nzy—3=0可化为m（2x+y）—（x+3）=（），所以过定点户（一3,6）.

要使圆炉+y2一2*+4'-4=0与直线（2/〃一l）x+:改一3=（）始终有交点，

只需P（—3,6）落在圆内或圆上，需满足（-3）2+6?-2x（—3）+4x6-a〈0，解得

a>75»

综上所述：aG[75,+oo），故选B.

4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经知道地震时释

放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.（）级地震，它

所释放出来的能量大约是2022年1月2日在云南丽江市宁液县发生5.5级地震所

释放能量的倍数为（）

2121

A.107B.105C.10yD.104

【答案】A

【解析】设日本地震释放的能量为£,云南地震释放的能量为当，

则Igg=4.8+1.5x9=18.3,1g£2=4.8+1.5x5.5=13.05,

所以互=£1=10日，故选A.

1305

E21O

5.已知/（X）是定义域为R上的单调增函数，旦对任意xeR，都有

/（/（x）-2x）=6,则46）的值为（）

A.12B.14C.-14D.18

【答案】B

【解析】因为/(X)是定义域为R上的单调增函数，且对任意xwR，都有

/(/(x)-2x)=6,

所以/(x)-2x必是常数，

设/(x)-2x=Z(左为常数)，得〃x)=A+2x，

所以/(Z)=Z+2Z=3左=6，解得左=2，

二/(x)=2x+2，因此/(6)=2x6+2=14，故选B.

6.下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台

的体积是()

C7及兀D.7扃

24241212

【答案】B

【解析】如图，设上底面的半径为「，下底面的半径为R,高为〃，母线长为/,

则2乃「=乃-1，ITIR—TI-I»解得/■=',R=1，

2

/=2-1=1，力=J/2_(R—)2=卜„=)，

设上底面面积为5，=乃=-,下底面面积为S=4.F=%,

4

则体积为L(s+S'+网M=+&+•3=也，故选B.

3、，3(42J224

22

7.设直线3x+y+机=0（加工0）与双曲线二一与=13>0力>0）的两条渐近线分

a2b1

别交于点A、B，若点PQm）满足|P4|=|依则双曲线的离心率为（）

A.—B.2C.75D.3

2

【答案】C

2222

【解析】双曲线二一匕=1（。>0口>0）的两条渐近线方程为土-匕=0，

a2b2a2b2

22

方程乙-乙=0与直线3x+y+/n=0联立，得百-知封-6a?如-//=。,

“b2

6a1m-2mb2

X+X=—------z-，力+%=F----7

八ABRb2-9a2ABb2-9a2

则―坐标为磊

•.•点P(0,〃?)满足1pAi=|PB\，,PM_L43，，((用=；，

-mb2ma~-?

*----------------------,72=即^=4/，

"b2-9a2b2-9a2

故选

，双曲线离心率e=1+^1=71+4=75,C.

8.若正实数。，匕满足a>",且lna-lnh>0,则下列不等式一定成立的是（）

A.log/?<0B.a-->b--C.<2a+bD.a1"'<ba''

（,ba

【答案】D

【解析】因为y=Inx为单调递增函数，故lnq>lnb，

由于Ina•如b>0,故lna>lnl>0或InZ?vlna<0,

当1。。>111/2>0时，a>b>{^此时log</>0;

十u=(j)1>0,故

babba

=2ab+i>2a+b；

当1口。<111〃<0时，0<b<a<l9此时log*>0,

m)=(“一帅一£i<°，故一小

，出+1—("+8)=(“一1)(/?-1)>()，2^+1>2a+b，

故ABC均错误；

D选项，步<上，两边取自然对数，仅一l)lna<(a—l)ln》，

因为不管。>0>1，还是0<力<。<1，均有(a-l)仅一1)>0，

所以巫1<工也，故只需证生区<也2即可，

a-\b-1a-\b-\

]1।---1---I।nx

设〃无)=旨(x>o且x/1),则/，(x)=_广炉一,

令g(x)=l—，-Inx(%>0且x/1),则g，(x)=-^_L=,

XXXX

当X£(0,l)时，g〈X)>0；当X£(l,+oo)时，g'(x)<。，

所以g(x)<g(l)=0，所以7(%)<0在1〉0且xwl上恒成立，

故=(工〉0月“。1)单调递减，

因为a>b，所以巫^<史2,结论得证，D正确，

a-\b-1

故选D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得。分.

9.2022年春节期间，冬奥会在北京举行，为全国人民带来一场体育盛宴.为了

解市民对冬奥会体育节目收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性

占40%.根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会系列节目时长的频率

分布直方图，则下列说法正确的是()

A.m=0.1

B.男性观众收看节目时长的众数为8小时

C.女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长

D.收看节目达到9小时观众中的女性人数是男性人数的!

3

【答案】AB

【解析】对于A,由（0.05+0.075+0.075+机+0.200）x2=1,解得加=0.1，故A

正确；

对于B,由频率分布直方图可知，男观众收看节目时长的众数为8,故B正确;

对于C,男性观众收看节目的平均时长为

4x0.1+6x0.15+0.4x8+0.2x10+12x0.15=8.3小时，

女性观众收看节目的平均时长为4x0.1+6x0.2+8x0.4+10x0.3+12x0.1=9小时,

故C错误;

对于D,由频率直方图可知，男性观众收看达到9小时人数为

200x60%x(0.2+0.15)=42人,

女性观众收看达到9小时人数为200x40%x（0.3+0.1）=32人，故D错误,

故选AB.

10.已知函数"X）=J^cos葭一sin^cos］，贝I（）

A,函数/（力的最小正周期为4兀

B•点（号¥、

是函数“X）图象的一个对称中心

7

C.将函数/（X）图象向左平移管个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称

D.函数“X）在区间卜上单调递减

【答案】BCD

【解析】〃x)=6cos21sin±cos"G.Sj^

V722222

G1.百—，，巴」G

--cosx—sinxH------cos(xH—)H------,

22262

故最小正周期为2乃，A错误;

，点，女，把〕是一个对称中心，B正确;

r.2万、,2兀兀、币)6

/(-)=COS(--)=

TT++TTI32J

向左平移，个单位长度得到〃x）=cos（x+?+章+乎“cosx+争关于，

轴对称，C正确；

x+畀（0,£|,“X）单调递减，D正确,

故选BCD.

11.已知数列｛4｝满足q=l,a,,+%=2"(〃eN*),则下列结论中正确的是()

A.%=5B.｛4｝为等比数列

2023_2

C・卬+/+・・・+〃2()2]=22°2~-3D.%+4+・・・+〃2022=----------

【答案】AD

【解析1q=1,贝Ia〕+%=2,%=1，

又出+%=4%=3,同理%+%=2\々4=5,故A正确;

而尸A，故｛4｝不是等比数列，B错误;

4+4-----〃202l=q+(〃2+/)+(“4+。5)■^-------+(〃2020+%021)

=1+22+2,+…+2皿。=1+止里1="二=空二1，故c错误；

1-433

4+02+,•■+。2022=（〃|+〃•?）+（。3+。4）+•,,++（。2021+。20）2）

3202110l

=2'+2+---+2=2（l-4'）=2x4'°'^-2=2^-2>故口正确，

1-433

故选AD.

12.如下图所示，B是AC的中点，BE=20B^P是平行四边形BCDE内（含

边界）的一点，且OP=xQ4+）O8（x,yGR），以卜结论中正确的是（）

A.当P是线段CE的中点时，x=--^y=-

2-4

B.当x=-g时，ye

C.若x+y为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D.x-y的最大值为一1

【答案】CD

【解析】依题意，BC=AB=OB-OA,BE=2OB^

A选项，当p是线段CE的中点时，

OP=OB+BP=OB+^BC+BE）=OB+^OB-OA+2OB^=-^OA+^OByA

选项错误;

D

B选项，若OA=—：0X+y0A（yeR），

设£G分别是的中点，连接GE并延长，交AO的延长线于A'，

则OE//AG，且丝=也=2，所以。4=」。4，

BFOA'2

则p点的轨迹是FG，"=-,A'F=-OB,FG=BE=2OB,A'G=工OB，

OB222

所以yeR」］,B选项错误；

22

C选项，OP=xOA+yOB（x,yeR）»~OP=^OA+^OB（x,y&R）＞

令m《=n、OP的中点为Q,OQ=mOA+〃O8（/%,〃£R），

由于x+y=2,—+-^-=1＞即加+〃=1，所以Q,A,B二点共线.

22

设H,/分别是5E,CQ的中点，连接印，连接/O交3C于J，则HI//BC//DE，

8是。”的中点，，是3c的中点，则。点的轨迹是87，p点的轨迹是///,所

以C选项正确；

D

D选项，OP=xOA+yOB[x,y^^>

由于平行四边形BCDE在OE的左上方，O,B,E三点共线，所以尤V（），y>l.

故当x取得最大值0，y取得最小值1时，x-y取得最大值一1，D选项正确，

故选CD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知复数2=学他eR）的实部和虚部相等，则目=

【答案】3拒

【解析】依题意，z=（3*）（_i）7_3i,于是得_。=_3,解得匕=3,

i-（-i）

则z=-3-3i，所以|z|=J(—3)2+(―3-=3拒，

故答案为3&.

凡（1+2x3）"展开式中各项系数的和为64,则（i+x+与丫展开式中的常数项

为.

【答案】76

【解析】因为+展开式中各项系数的和为64,

则令％=1，得2"=64,解得〃=6-

11+x+Lj表示6个因式1+X+4的乘积，在这6个因式中，有6个因式都选1,

可得常数项为1;

有2个因式都选x,有1个因式选二，其余的3个因式都选1,可得常数项为

X

或C；C：X13=60;

有4个因式都选x,有2个因式都选二，可得常数项为C；U=15,

故展开式的常数项为60+15+1=76，

故答案为76・

15.在人钻。中，三边长组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为直，则

2

这个三角形的外接圆的直径为.

【答案】垣(或

33

【解析】设三角形A8C的三边长分别。，a+1，a+2，最大角为a，

由已知sina=,

2

,.—(0,兀)，.•.£=三或g.

当a=2E时，因为最大角为四，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，

33

故舍去；

当。=空时，由余弦定理可知：

3

(a+2)〜—ci~+(Q+1)--2Q(Q+1)cos-^―2ci~-ci-3=0，

解得〃=2或a=_[(舍去).

2

设外接圆半径为R,则"Z=2R，即N=2RX在，，2R=拽，

sina223

故答案为逋.

3

16.若人对任意的xw(O,+<»)恒成立，当力=()时，。的最小值为

;当2取最小值时，1-1=.

aab

【答案】1+1,1

e

【解析】当人=0时，％+lnx<奴对任意的xw(0,+oo)恒成立，

即Q21+把二对任意的X£(0,+00)恒成立，

X

令〃x)=l+处:x>0，可得/(X)=匕学，

当x«0,e)时,/'(x)>0，/(x)单调递增；

当x«e,+8)时，/'(x)<0，/(x)单调递减，

所以/(%)心=〃e)=l+L所以aZl+L所以。的最小值为1+L

令y=ax+b,令y=0,可得了=-2,

a

要使得2最小，则一2最大，

aa

设直线y=ax+b^g^x)=x+\nx相切的切点坐标为(x0,x0+In/),

要使得直线y=or+。在入轴上的截距-2最大，则/+1口%=0,

a

又由g，(x)=l+，，可得。=1H—，

XX0

则切线方程为y=(l+')(x-x()),令工=0，可得>=一%-1,B|Jh=-x0-1,

xo

所以工_1=’^+」~?=1・

abx0+1x0+1

故答案为i+L].

e

四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.(10分)已知向量〃z=(百sin；,2),〃=(2cosjcos'),=

⑴若/(x)=2,求cos(x+至的值;

(2)在/XABC中，角A、B、C的对边分别是a，〃，c，且满足

(2a-J》c)cos3=®cosC，求/(A)的取值范围.

【答案】(1)i；(2)(2,3].

2x

【解析】(1)f(x)=mn=2V3sin—cos—+2cos—=V3sin—+cos—+1

44422

x4)

2sin+1,

26)

X71

V/(x)=2,**-sin—+—

26~2

71X7t

・・cosXH---=-l-2sin2—+—

3262

(2)•：(2a-6c)cosB=6bcosC,

由正弦定理得(2sinA-V3sincjcosB=6sinBcosC,

••2sinAcosB=A/3sinCcosB+\/3sinBcosC，

**•2sinAcosB=C(sinBcosC+sinCcos8)=Gsin(B+C),

•A+JB+C=7t>**•sin(B+C)=sinA,且sinAw0，

.cG力万•八45万・71A71171

••cosB——9B=-9・・0<A<-f•一<---1--<--，

26662612

・1(A7t

..—<sin—+—<1,

2126

XTCA71

又丁/(x)=机•〃=2sin—+—+1,/./(A)=2sin+1,

2626

故/(A)的取值范围是(2,31

18.(12分)已知正项数列｛凡｝的前〃项和为S“，给出以下三个条件：①q=l,

=(力+1)。〃+1(〃£N);②S：—(/I?一1)5〃一〃*=0(〃EN*);③4=1,

a；+2%=4S“-l（〃eN）从这三个条件中任选一个解答下面的问题.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

4V

（2）设d=言」，求数列也｝的前〃项和7；.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】(1)%=2〃—l(〃eN*);(2)7=2〃("1)

V"2〃+1

【解析】⑴若选①:由』=（“+1）5（〃句）,得缶吟+春

11

令％斗，可得明c=-------

"n〃+1

1111-1

当〃22时，cn6,1-1Cn-X-Cn-2=~—^--^…，…=1-耳

累加得q,—q=1—L

n

又q=；=1，贝！J%=2—工(〃22),贝I=

ncn—2/?-l(n>2).

又q=l也适合上式，所以a“=2”-

若选②：由S,；—(〃2—l)s“—〃2=0(“eN*)，可得⑸+“S”—叫=o.

又｛4｝是正项数列，所以S,,+l〉0,所以S“=1,则4=M=]2=I.

2

当〃22时，an-Sn-S„_]=n-(zt-1)'=2/7-1-

又q=l也适合上式，所以q=2“-l(〃eN*).

若选③：由a：+2a”=4S“-1得，当〃22时，+2a“_|=4S“_1—1，

两式作差得4«„=a：-片_1+2an-2an_｝,

整理得2(4+*)=(%+*)(4-%).

由于%>0,故a“-a“_]=2.

即｛a“｝是首项为1，公差为2的等差数列，所以a,,=2〃-l（“eN）.

（2）由（1）得凡=2“-1,s=（1+2般-1）〃=〃2,

"2

贝坨=理=—五、=i+U--一一

44+1（2〃-1）（2〃+1）2（2〃一12〃+1

所以北=4+%+&+-----\-bn

-3x11_2个+

2I2n+lJ2n+l

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，AB±AP>AB〃CD，且PB=BC=BD，

CD=2AB-

（1）求证：平面PAD1•平面ABC£>；

（2）若△尔是边长为2的正三角形，且尸。与平面PA。所成角的正切值为正，

求二面角3一PC-。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）0.

【解析】（1）取CD中点E，连接8七，

p

•.•在四棱锥p—AfiCO中，AB±AP^AB〃CD，且PB=BC=BD，CD=2AB，

：.BE1CD：.AB±AD^

又AnnAP=A，.•.AB,平面PAD，•••ABu平面ABC。，

平面PAD_L平面ABCD-

（2）,/AB//CDAB，平面PA£＞，

.•.CD_L平面PAZ＞，PC与平面PAD所成角为NCP。，

...△W是边长为2的正三角形，尸。与平面P4£＞所成角的正切值为拉，

tanZ.CPD-=42»解得CD=2上，

PD2

AB-y/2'AD=2，

过点尸作PO_L平面ABC。，交A£）于0，则PO=J?二？*=6，

以A为坐标原点，A8为x轴，AO为丁轴，过点A作平面ABCQ的垂线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则B(V2,0,0),C(2V2,2,0),D(0,2,0),P(0,1,V3)，

PS=(V2,-1,-V3),PC=(2V2,1,-V3),PB=(0,1,-扬，

设平面PBC的法向量〃=(x,y,z)，

n-PB=41x_y一6z=0

n•PC-2\/2x+y—&z=0

设平面PCD的法向量m=（a,b,c），

nil[m-PC=2\/2ci+b-y/3c=0而l，日l

则一厂,取b=5得根=（0,6/），

设二面角B—PC-。的平面角为。，则cos"」'"〃l=0,

二面角B-PC-D的余弦值为o.

20.（12分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站....

第100站，共101站，设棋子跳到第〃站的概率为外，一枚棋子开始在第0站，棋

手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出

偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，

游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分

别标有点数1、2'3、4'5'6）.

（1）求玲、勺、P2,并根据棋子跳到第〃站的情况，试用£.2和与t表示巴；

（2）求证:仍-月一｝（〃=1,2,…,99）为等比数列；

（3）求玩该游戏获胜的概率.

【答案】⑴凡=1,与=”+也2（〃=2,3,...,99）且&10=次;

（2）证明见解析；（3）

312叫

【解析】（1）解：棋子开始在第0站是必然事件，所以4=1,

棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为1,所以

2

棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为L；②

2

前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为l，所以上=工+_1=3；

4*2244

棋子跳到第〃(2W/W99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第八一2站，又掷骰子

出现偶数点，其概率为:匕_2；

②棋子先跳到第〃7站，又掷骰子出现奇数点，其概率为_1匕一，

故e=；心+；偌2(〃=2,3,…,99),

棋子跳到1()()站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概

率为1%，所以，

⑵证明：由⑴可得£1=_卜7+5_2=-且

所以，数列优-匕_1}(〃=1,2,…,99)为等比数列，且公比为-

(3)解:由(2)可知月一/^二―gj,

/1\/]\2(I

所以，%=《+([-6)+(鸟-<)+…+(4_取)=1+--1+^--+…+

2

所以，玩该游戏获胜的概率为211

22

21.(12分)已知椭圆氏*+[=]3>/)>0)的右焦点(c,0)，且满足c_"=G-l，

c2—b2-2-

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若E上存在M,N两点关于直线/：>=依+[对称，且满足丽•.丽=o(。

为坐标原点），求/的方程.

【答案】（1）—+y2=1;（2）y=2x+，或y=-2x+。.

422

【解析】（1）由c—b=G—1，c2-b2=2>可得c+b=3=&+i，

c-b

故解得c=>/3,b=1,a*=4，

故椭圆E的标准方程为片+y2=1.

4-

（2）由题意可知当左=0时，直线/：丁=依+3为/：y=3,

22

此时E上不会存在M,N两点关于直线/：y=a+3对称，不合题意;

2

故设直线MN的方程为y=—_Lx+f,

k

1

y=——x+t

k

联立,整理得（1+为2旦+4/-4=0,

kk

—厂+y2=1।

4。

需满足/=2-产+i＞（），

k2

8kt4/（产一1）

设”（士,％）,?/（%2，%），则Xi+%2=_X|X2=___

土b1z、c8r2k2t

®y,+y,=——（x.+x,）+2z=----------+2t=------弓

M72k124+k24+k2

,1、/1、11/、2二产一4

+t

X%=（一尸）（-—x2+t）=-j^--xlx2--（xl+》2）+r=