2022届高考数学大二轮基础复习之省市模拟四十一圆的方程含解析

2022精编复习题(四十一)

圆的方程

［小题对点练一一点点落实］

对点练(一)圆的方程

1.已知圆C的圆心是直线x-y+l=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方

程是()

A.(x+l)2+j2=2B.(x+l)2+j2=8

C.(x~l)2+j2=2D.(x-l)2+j2=8

解析：选A直线x—y+l=0与x轴的交点为(-1,0).

根据题意，圆C的圆心坐标为

|-1+0+3|

因为圆与直线x+_y+3=0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r=d==巾,

^12+12

则圆的方程为(*+1产+了2=2.故选A.

2.(2021•河北舟山模拟)圆E经过三点A(0,l),8(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上，则圆E

的标准方程为()

A.Q—5+产苧

BG+”+产H

c-D2+产H

DGT)+尸竽

解析：选C根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,即圆的标准方程为(x-a)2+y2=

j(-a)2+M=/，

则有1(2—。)2=/，解得“=；,?=焉

［(一研+(_1)2=/，

则圆E的标准方程为(x—第+必=磊故选°

3.(2021•河北邯郸联考似(a,1)为圆心，且与两条直线2x-y+4=0与2x-y—6=0同时相切的圆的标

准方程为()

A.(x-l)2+(y-l)2=5

B.(x+l)2+(y+1产=5

C.(x—l)2+j2=5

D.好+6一1)2=5

I-6—41I—

解析：选A因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为故所求圆的半

径为r=#,所以圆心3,1)到直线2x—j+4=0的距离为点=”,因,即0=1或0=—4.又因为圆心3,1)

到直线2x—y—6=0的距离也为r=y[5,所以。=1.因此所求圆的标准方程为(x—l)2+(y—1/=5.故选A.

4.已知直线心x+mj+4=0,若曲线“2+y2+6x—2y+l=0上存在两点尸，0关于直线/对称，则

m的值为()

A.2B.-2

C.1D.-1

解析：选D因为曲线x2+y2+6x—2y+l=0表示的是圆，其标准方程为(x+3)2+(y—1)2=9,若圆

(x+3)2+(y—1户=9上存在两点P,。关于直线，对称，则直线/:x+wy+4=0过圆心(-3,1),所以一3

+/n+4=0,解得〃z=-L

5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(—2,3),3(—2,—1),C(6,一1),以原点为圆心的圆与此

三角形有唯一的公共点，则圆的方程为.

v+1x-6

解析：依题意，直线AC的方程为七7=二=，化为一般式方程为x+2y—4=0.点。到直线x+2y

-4=0的距离4=吴=芈>1.又因为|Q4|=q(-2)2+32=恒,|OB|=^/(-2)2+(-l)2=V5,\OC\=

A/62+(-1)2=V37,所以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0,—1)或(6,-1),

故圆的半径为1或4，则圆的方程为*2+y2=1或炉+产=37.

答案：X2+)2=1或％2+)2=37

6.(天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,小)在圆C上，且圆心到直线2x-y=0

的距离为芈，则圆C的方程为.

解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d

=^=挈'解得"=2,

所以圆C的半径/'=|。1/|=74+5=3,

所以圆C的方程为(工一2)2+,2=9.

答案：(*-2)2+产=9

对点练(二)与圆的方程有关的综合问题

1.(2021•湖南长沙模拟)圆一2x-2y+l=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是()

A.1+gB.2

C.1+乎D.2+2^2

解析：选A将圆的方程化为(x—l)2+(y—1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x—y

=2的距离d=0521=也,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d+l=&+l.

2.(2021•广东七校联考)圆X2+J2+2X-6J+1=0关于直线”*一切+3=0(。>0,6>0)对称，则5的

最小值是()

I-20

A.2g3B百

C.4D.-y

解析：选D由圆x2+y2+2x—6y+1=0知其标准方程为(x+l)2+(j—3产=9,*・•圆x2+y2+2x­-6y

+1=0关于直线依一处+3=03>0,力>0)对称，・••该直线经过圆心(-1,3),即一a—35+3=0,：.a+3b

=330,封)，.•[+沁。+3檐+()=|(1+工+于+9)/o+2书好竽，当且仅衅专

即a=b=3时取等号，故选D.

3.(2021•安徽安庆模拟)自圆C：(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q,

尸。的长度等于点尸到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为()

A.8x-6j-21=0B.8x+6j-21=0

C.6x+8y—21=0D.6x-8j-21=0

解析：选D由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|

1

2

=\PO\,且P。，。。，所以IPOF+ri2345H=甲。2,所以好+3)2+4=(*-3)2+。+4)2,即

6x—8y—21=0,所以点P的轨迹方程1/为6x—8y—21=0,故选D.

4.已知A(0,3^3)，3停，邛)

-5P为圆C：x^+y2=2x上的任意一点，则△"/>

-6

面积的最大值为()

35+3

A.\B.y/3

25+2

C.2

解析：选A化圆为标准方程得(x—1产+>2=i,因为4(0,3小)，2J,所以=

个(|-0)2+怨—36)2=3,直线48的方程为，5x+y=3V§,所以圆心到直线AB的距离"=幽谭国

=布.又圆C的半径为1,所以圆C上的点到直线48的最大距离为5+1,故△ABP面积的最大值为Smax

3+3

=1X(V3+1)X3=^1.

5.已知A,8是圆O：炉+产=16上的两点，且|4阴=6,若以48的长为直径的圆M恰好经过点C(l,

-1),则圆心M的轨迹方程是.

解析：设圆心M坐标为(x,y),则(x—1产+(>+1/=,即(X-1)2+(J+1)2=9.

答案：(x-l)2+(y+1)2=9

6.(2021•北京东城区调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时，直线y=(k

-l)x+2的倾斜角a=.

解析：由题意知，圆的半径r="/&2+4—4”=1/4—3/<1,当半径r取最大值时，圆的面积最大，

此时《=0,r=l,所以直线方程为y=-x+2,则有tana=-1,又aG[0,n),故a=学.

答案：y

Wo,

7.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(工一。)2+&-与2=产及其内部所覆盖，则

、x+2y—4W0

圆C的方程为.

解析：由题意知，此平面区域表示的是以0(0,0),P(4,0),0(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖

它的面积最小的圆是其外接圆.

■:△OPQ为直角三角形，

二圆心为斜边尸。的中点(2,1),半径/=呼=小，

因此圆C的方程为(x-2)2+(y—1)2=5.

答案：(*-2)2+。-1)2=5

[大题综合练一一迁移贯通]

1.已知以点尸为圆心的圆经过点A(—1,0)和8(3,4),线段A8的垂直平分线交圆P于点C和。，且|。9|

=4师.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程.

解：(1)由题意知，直线A5的斜率A=l,中点坐标为(12).则直线CD的方程为了一2=一住一1),即

x+j-3=0.

(2)设圆心尸(a,b),则由点尸在上得。+/>—3=0.①

又•.•直径|酸|=4，而，：.\PA\=2y[M,

，(a+1)2+6=40.②

二圆心尸(一3,6)或尸(5,-2).

:,圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(X-5)2+(J+2)2=40.

2.在平面直角坐标系xO伊中，已知圆心在第二象限，半径为2吸的圆C与直线y=x相切于坐标原

点O.

(1)求圆C的方程；

(2)试探求C上是否存在异于原点的点。，使0到定点"4,0)的距离等于线段。尸的长？若存在，请

求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设圆C的圆心为C(a,b),

则圆C的方程为(x—a)2+(y—6)2=8.

因为直线y=x与圆C相切于原点O,

所以O点在圆C上，且。C垂直于直线y=x,

fa2+Z>2=8,

于是有|&=_]解得'a=~2,

二2川h=2.

由于点C(a,。)在第二象限，故a<0,6>0,

所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

⑵假设存在点。符合要求，设。(x,J),

22

(x-4)+j=16,解得*=，或舍去).

则有，