2022-2023学年高三数学新高考一轮复习专题平面向量数量积及应用1含解析

Page1平面向量数量积及应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在平行四边形ABCD中，，，则(

)A. B. C. D.非零向量，，满足，，的夹角为，，则在上的投影向量的模为(

)A.2 B. C.3 D.4在中，，，，点P是AB的中点，则(

)A. B.4 C. D.6已知向量，，且，则的值为.(

)A. B. C.1 D.2向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在平行四边形ABCD中，M是BC中点，，，则(

)A.32 B. C.16 D.已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是(

)A. B. C. D.已知向量，满足，，且与的夹角为，则(

)A. B. C. D.已知向量，满足，，，则，(

)A. B. C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）设向量，，则(

)A. B.

C. D.与的夹角为定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有(

)A. B.

C.若，则 D.三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则__________；__________.已知的外心为O，，，则__________.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为__________.已知正六边形ABCDEF的边长为那么__________.若，则__________.四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分在平面直角坐标系中，已知若，求实数k的值；若，求实数t的值.本小题分

如图，在中，，E是AD的中点，设，

试用，表示；若，，且与的夹角为，求本小题分

已知点，，，

若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；

若，且，求向量在方向上的投影向量．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，向量的平行四边形法则和三角形法则，属于基础题．

根据题意，运用向量的平行四边形法则和三角形法则，得到，，结合题设条件得到，，求出向量和，利用可计算得出答案.【解答】解：由题意，作出图形如下所示：

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以，，

所以，即得，①

，即，②

由①+②，得，所以，

由①-②，得，所以，

于是

故选：

2.【答案】B

【解析】【分析】利用向量的数量积的等式，化简求解推出在上的投影向量的模．

本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．【解答】解：非零向量，，满足，，的夹角为，，

可得，

所以，

所以在上的投影向量的模为

故选：

3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．

利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．【解答】解：在中，，则，

因为点P是AB的中点，所以，

所以

故选：

4.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了向量垂直的充要条件，平面向量的坐标运算，属于基础题．

根据向量垂直其数量积为零，列出方程求的值即可．【解答】解：向量，，

则，

，

且，

所以

，

解得

故选：

5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查新定义极化恒等式问题，考查了向量的数量积，属于基础题，

由题意可得，代入极化恒等式，即可求得结果.【解答】解：因为在中，M是BC中点，，，

所以，

由题意，

故选：

6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．

利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．【解答】解：单位向量，，

对于A，，所以与不垂直；

对于B，，所以与不垂直；

对于C，，所以与不垂直；

对于D，，所以与垂直．

故选：

7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查向量的模的求法，向量的数量积，属于基础题.

根据，代入数值即可得解.【解答】解：因为向量，满足，，且与的夹角为，

则

故选

8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题.

利用已知条件求出，然后利用向量的数量积求解即可.【解答】解：向量，满足，，，

可得，

，

故选

9.【答案】CD

【解析】【分析】本题考查了根据向量的坐标求向量模，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．

可以求出，从而判断A错误；得出，从而判断B错误，C正确；求出，从而判断D正确．【解答】解：，错误；

，，，错误，C正确；

，且，

与的夹角为，正确．

故选

10.【答案】BD

【解析】【分析】本题主要考查了新定义运算，涉及向量的模及夹角，属于难题.

结合已知的向量的模及夹角，运用新定义运算逐一分析解答.【解答】解：对于A：，，

故不会恒成立，故A错误；

对于B，，，故恒成立，故B正确；

对于C，若，则，

所以，故或，所以，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选

11.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，考查向量的夹角，向量共线的坐标表示，属于基础题.根据与的夹角为锐角，可知，从而求出的取值范围.【解答】解：与的夹角为锐角，

，即，解得，

又与不共线，

所以，解得，

所以的取值范围为且，

故答案为

12.【答案】

【解析】【分析】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，向量的坐标表示及运算，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【解答】解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，

，

则点，，，

因此，，

故答案为：；

13.【答案】

【解析】【分析】本题考查向量的数量积，属于基础题.

根据题意得出BC为圆O的直径，则，求出，利用数量积的定义直接求即可.【解答】解：因为的外心为O，，

所以BC为圆O的直径，则，

因为，

所以为等边三角形，

所以，

所以，且，

所以

故答案为

14.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化，为基础题．

由

知，设与的夹角为，求得，结合的范围，可求得的值．【解答】解：由已知非零向量，满足，且，

得

设与的夹角为，

则，

即，

又因为，

所以

15.【答案】4

【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算公式，平面向量基本定理，向量数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．

可画出图形，根据图形可得出，，从而求出的值；然后得出，进而可求出的值．【解答】解：如图，，，

，

又，

根据平面向量基本定理，，，

故答案为：

16.【答案】解：，

，

，

解得；

，

，

，

解得

【解析】本题考查了向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力．

可以求出，可得出，解出k即可；

根据，即可得出，即可得解.

17.【答案】解：

由题意可得，

，

【解析】本题考查向量的模，向量的夹角公式，考查运算求解能力，是基础题．

利用向量和与差的几何意义，用，表示即可．

利用向量数量积的定义求得，用，表示，根据，即可求得结果．

18.【答案】解：由，，，，

得，，

因为四边形ABCD是平行四边形，所以，