专题1.3 勾股定理的实际应用【十二大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题1.3勾股定理的实际应用【十二大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求梯子滑落高度】 1【题型2求旗杆高度】 3【题型3求小鸟飞行距离】 4【题型4求大树折断前的高度】 5【题型5解一元一次不等式组】 7【题型6解决水杯中筷子问题】 8【题型7解决航海问题】 9【题型8求河宽】 10【题型9求台阶上地毯长度】 12【题型10判断汽车是否超速】 13【题型11选址使到两地距离相等】 14【题型12求最短路径】 15【题型1求梯子滑落高度】【例1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）【变式1-1】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．【变式1-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．【题型2求旗杆高度】【例2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【变式2-1】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．【变式2-3】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【题型3求小鸟飞行距离】【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米．A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-2】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【变式3-3】（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图，他们从A点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？

【题型4求大树折断前的高度】【例4】（2023春·八年级课时练习）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，AC=(1)求这两棵树的水平距离CF；(2)求树AB的高度．【变式4-1】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（

A．10m B．15m C．18m【变式4-2】（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即P'C=10尺，秋千踏板离地的距离P'B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为【变式4-3】（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【题型5判断是否受台风影响】【例5】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为秒．【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为300m，宣讲车P周围500m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿(1)村庄能否听到广播宣传？请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是50m【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【变式5-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？【题型6解决水杯中筷子问题】【例6】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

A．4<a<5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2【变式6-1】（2023春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m【变式6-2】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）有一个边长为10米的正方形水池，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1米．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？【变式6-3】（2023春·河南漯河·八年级统考期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是cm．【题型7解决航海问题】【例7】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【变式7-1】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）如图，已知港口A东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．（1）求此时货轮到小岛B的距离．（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．【变式7-2】（2023春·河南洛阳·八年级校联考期中）如图，海上救援船要从距离海岸8海里的A点位置到海岸BD的M处携带救援设备，然后到距离海岸16海里处的C点处对故障船实施救援．已知BD间的距离为18海里，为使救援船尽快赶到故障船实施救援，救援设备被放置在恰当位置．（1）试在图中确定点M的位置；（2）若救援船的速度是20节（1节=1海里/小时），求这艘救援船最快多长时间到达故障船？【变式7-3】（2023春·全国·八年级期末）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西n°．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型8求河宽】【例8】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）如图所示，湖的两岸有两点A，B，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝50米，BC＝40米．求：（1）A，B两点间的距离；（2）点B到直线AC的距离．【变式8-2】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）苏科版《数学》八年级上册第35页第2题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A、B两点的距离．星期天，爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的：选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m．小刚同学测量的结果正确吗？为什么？【变式8-3】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．【题型9求台阶上地毯长度】【例9】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（

）A．65m2 B．85m2 C．90m2 D【变式9-1】（2023春·八年级课时练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为【变式9-2】（2023春·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到BA．12 B．13 C．14 D．15【变式9-3】（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为40元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要元．

【题型10判断汽车是否超速】【例10】（2023春·山西忻州·八年级统考期中）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【变式10-1】（2023春·江苏扬州·八年级校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60千米／时．这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了8秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【变式10-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？【变式10-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．【题型11选址使到两地距离相等】【例11】（2023春·八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【变式11-1】（2023春·辽宁丹东·八年级校考阶段练习）如图，在一颗树上10米高的D处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20米处的池塘B处，另一只猴子爬到树顶A处直跃向池塘的B处，如果两只猴子所