摩擦型带传动中弹性滑动的分析

摩擦型带传动中弹性滑动的分析

弹性滑动问题的研究摩擦带传输是通过摩擦传输运动和动力的传输。这是最常用的机械传动方式之一。带传动为挠性传动,不可避免的存在弹性滑动现象,故不能保证准确的传动比。摩擦型带传动中的弹性滑动问题过去诸高校的教科书中只有几句定性的说明,也未见学者对此作深入的研究。1992至1996年间,朱从鉴先生对摩擦型皮带弹性滑动问题作了定量分析,先后在文献中发表了相关的研究成果,引起了不少读者的注意。之后出版的相关教科书及学者对此问题进行了分析探讨。但是,上述研究中,笔者仅分析了主动轮,未分析从动轮,而摩擦型带传动中带轮总是成对出现的。本文中,作者计入从动轮的影响,用功能原理研究弹性滑动的方向、区域;并用更为简洁的方法重新推导出弹性滑动量的大小和最大滑动速度的计算公式;分析了弹性滑动的影响因素。1旋转引起的韧带预紧力图1为摩擦型带传动简图,轮O1为主动轮,受驱动力矩M1作用,轮O2为从动轮,受负载力矩M2作用。F1是紧边皮带张力,F2是松边皮带张力,它们之间显然有以下关系{(F1-F2)R1=Μ1(F1-F2)R2=Μ2Μ1=R1R2Μ2(1)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(F1−F2)R1=M1(F1−F2)R2=M2M1=R1R2M2(1)再设皮带的预紧力为F0,由于旋转引起的皮带的离心张力为FC,它是沿皮带全长均布的常力,数值也不大,约十几牛顿,计算公式为FC=ρv2=ρR12ω12=ρR22ω22(2)式中,ρ为皮带的线密度,v是皮带的线速度,ω1和ω2分别为主动轮与从动轮的角速度。由式(1)可得F1-F2=Μ1R1F1−F2=M1R1,再由平衡条件F1+F2=2F0+2FC,联立解上两式,可得它们之间又有以下关系{F1=F0+FC+Μ12R1F2=F0+FC-Μ12R1(3)⎧⎩⎨F1=F0+FC+M12R1F2=F0+FC−M12R1(3)紧边张力F1与松边张力F2之间有著名的欧拉公式F1=F2eπφ1(4)式(4)只在皮带与带轮间有相对滑动的区域角[0,φ1]内成立。2弹性滑动2.1弹性滑动不等于动轮假设带为完全弹性体,受力后发生弹性变形。主动轮O1在驱动力矩M1作用下,使其两边皮带张力不再相等,皮带的应变也不相等。当紧边皮带绕过主动轮而变为松边时,皮带张力逐渐变小,皮带的应变也逐渐变小,由贴合点E1的ε1=F1AEε1=F1AE,逐渐减小到脱离点L1的ε2=F2AEε2=F2AE。因此,皮带在前进的过程中,皮带有向后收缩的趋势。这种变形使皮带运动的速度下降,使皮带速度小于主动轮表面对应点的速度。皮带在皮带轮上的这种收缩滑移现象,称为皮带的弹性蠕动(Creep),又称弹性滑动。弹性滑动不是由于皮带受力产生的应变所产生的,而是由于皮带各部分弹性应变不相等所引起的。上面我们分析的是主动轮的情况,主动轮是轮子拉皮带,皮带的张力逐渐变小,皮带的应变也逐渐变小,皮带的弹性滑动表现为皮带向后收缩,使带速小于带轮表面对应点的线速度。从动轮的情况正好相反,从动轮是皮带拉带轮。如图1所示,从动轮上皮带的贴合点E2在向脱离点L2前进的过程中,皮带的张力逐渐变大,皮带的应变也逐渐变大,在贴合点E2应变为ε2=F2AEε2=F2AE,在脱离点L2应变将增加到ε1=F1AEε1=F1AE,使皮带有越走越长的趋势,即皮带有向前伸展的趋势,这样使皮带的速度大于带轮表面对应点的线速度。皮带在皮带轮上的这种向前伸展的滑移现象也是弹性滑动。这样我们得出结论:皮带在主动轮上的弹性滑动表现为皮带向后收缩,使带速降低,消耗能量,做负功,将损失部分功率;皮带在从动轮上的弹性滑动表现为皮带向前伸展,使轮速降低,也要做负功,也要消耗部分功率。可能会有读者询问,既然弹性滑动都表现为皮带向后收缩,那么,在主动轮上弹性滑动做负功,在从动轮上弹性滑动不就做正功,从而弥补了在主动轮上的功率损失了吗?此疑问起始于把从动轮上弹性滑动的方向搞错了。还有读者询问,既然弹性滑动在主动轮上表现为向后收缩,在从动轮上表现为向前伸展,收缩做了负功,伸展不是做了正功了吗?这种理解的错误在于他们不知道主动轮是带轮拉皮带,皮带向后收缩做负功;而从动轮是皮带拉带轮,皮带向前伸展也做负功,这样二者都做负功。还有人询问:如果不考虑弹性滑动,再采取措施不让宏观打滑现象发生,那么,由于皮带与带轮间的摩擦力是静摩擦力,只要不发生相对滑动,根据理论力学的原理,静摩擦力就不做功,这样皮带传动的效率不是可以达到1.0吗?如果所提假设条件成立,这是正确的。但是,宏观滑动可以避免,微观滑动——即弹性滑动是不可避免的物理现象。所以,即使在最理想的情况下,皮带传动的效率永远也不可能为1.0。必伴有能量损失,这也和其他传动形式是一样的。2.2汽车构模构拟的具体分析弹性滑动区域角由式(4)决定,F1增加,φ1也增加,当F1增加到最大值F1max时,φ1也增加到它的最大值,即包角θ1,因此F1max=F2eμθ1(5)此时的驱动力矩也达到最大值M1max。文献已推得任意时刻的M1与M1max之间的关系,这里用更为简洁的方法推出。由式(3)和式(4)有Μ1R1=F1-F2=F2(eμφ1-1)=(F0+FC-Μ12R1)(eμφ1-1)Μ1R1+Μ12R1(eμφ1-1)=(F0+FC)(eμφ1-1)Μ1R1(1+eμφ1-12)=(F0+FC)(eμφ1-1)Μ1R1=2(F0+FC)eμφ1-1eμφ1+1=2(F0+FC)e0.5μφ1-e-0.5μφ1e0.5μφ1+e-0.5μφ1Μ1R1=2(F0+FC)th0.5μφ1(6)M1R1=F1−F2=F2(eμφ1−1)=(F0+FC−M12R1)(eμφ1−1)M1R1+M12R1(eμφ1−1)=(F0+FC)(eμφ1−1)M1R1(1+eμφ1−12)=(F0+FC)(eμφ1−1)M1R1=2(F0+FC)eμφ1−1eμφ1+1=2(F0+FC)e0.5μφ1−e−0.5μφ1e0.5μφ1+e−0.5μφ1M1R1=2(F0+FC)th0.5μφ1(6)同理Μ1maxR1=2(F0+FC)th0.5μθ1(7)M1maxR1=2(F0+FC)th0.5μθ1(7)两式相除得Μ1Μ1max=th0.5μφ1th0.5μθ1(8)M1M1max=th0.5μφ1th0.5μθ1(8)这就是说,任意时刻的驱动力矩M1与最大驱动力矩M1max之比,等于对应时刻弹性滑动角0.5μφ1的双曲正切与包角0.5μθ1的双曲正切之比。我们还可以推出另一关系式Μ1Μ1max=eμφ1-1eμθ1-1(9)M1M1max=eμφ1−1eμθ1−1(9)功率决定于负载,驱动力矩M1决定于负载力矩M2,M2的瞬时值与诸多因素有关。当汽车上坡时,负载就大,反之汽车下坡时就比较小,当汽车遇到某一障碍时,负载就可能达到最大值。因此,M2是变量,M1也是变量,弹性滑动角φ1也是变量,但它有最大值就是包角θ1,否则汽车就不能越过障碍。于是,宏观打滑现象发生,汽车在原地打滑。φ1是变量,弹性滑动的界点G1是动点,它的上限点就是贴合点E1。主动轮上的皮带轮张力从G1点开始按指数规律减小,即G1L1段上的皮带张力按指数规律减小,由F1减小到F2,弹性滑动仅在这段皮带G1L1段上发生。G1E1段上的皮带张力保持不变,大小都为紧边张力F1,这一段皮带上无摩擦力作用,即摩擦力为零,这段皮带相对带轮静止,不发生弹性滑动。从动轮上类似的有,G2L2段上皮带的张力按指数规律增加,由F2增加到F1,弹性滑动仅在这段皮带G2L2段上发生。E2L2段上皮带张力保持不变,等于松边张力F2,作用在这段皮带上的摩擦力也为零,这段皮带相对带轮静止,不发生弹性滑动。在文献中,我们证明了主动轮和从动轮上的弹性滑动角相等,即φ1=φ2。由于从动轮的包角一般大于主动轮的包角,即θ1<θ2。因此,宏观打滑现象总是首先在主动轮上发生。弹性滑动区域总是靠近脱离点,即在主动轮靠近脱离点L1,从动轮上靠近脱离点L2。对此,有些读者不太能理解,认为主动轮上弹性滑动区域靠近脱离点L1好理解,因为G1L1段皮带连接松边张力F2。但在从动轮上弹性滑动区域也应靠近贴合点E2,因为E2L2段皮带也连接松边张力F2,皮带张力小一些总使弹性滑动更容易发生吗?其实,这样理解不妥,因为脱离点的皮带张力能促使皮带脱离皮带轮,对弹性滑动起有利作用;而贴合点皮带的张力是促使皮带紧压皮带轮,对弹性滑动起不利作用。2.3不同弹性滑动大小公式弹性滑动是由于皮带张力变化所引起的微观滑动,因为弹性应变ε(θ)=F(θ)AEε(θ)=F(θ)AE,因此也可以说它是由于应变变化所引起的微观滑动。如图2所示,皮带上任一点M的应变应该等于弹性滑动区域界点G1的应变ε(φ1)减去M点的应变ε(θ)。这样,微段dS=R1dθ的弹性滑动的应变为dΔl(θ)R1dθ=ε(φ1)-ε(θ)=F2AEeμφ1[1-eμ(θ-φ)]dθd[Δl(θ)]=R1F2AEeμφ1[1-eμ(θ-φ)]dθ∫0Δl(θ)dΔl(θ)=R1F2AEeμφ1∫φ1θ[1-eμ(θ-φ1)]dθ0-Δl(θ)=R1F2AEeμφ1[(φ1-θ)-1μ(1-eμ(θ-φ1))]Δl(θ)=R1F2AEeμφ1[1-eμ(θ-φ1)μ-(φ1-θ)](10)dΔl(θ)R1dθ=ε(φ1)−ε(θ)=F2AEeμφ1[1−eμ(θ−φ)]dθd[Δl(θ)]=R1F2AEeμφ1[1−eμ(θ−φ)]dθ∫0Δl(θ)dΔl(θ)=R1F2AEeμφ1∫φ1θ[1−eμ(θ−φ1)]dθ0−Δl(θ)=R1F2AEeμφ1[(φ1−θ)−1μ(1−eμ(θ−φ1))]Δl(θ)=R1F2AEeμφ1[1−eμ(θ−φ1)μ−(φ1−θ)](10)这就是我们推出的弹性滑动区域内任一点的弹性滑动大小的公式。它的最大值在脱离点L1,用θ=0代入式(10)得Δl1=R1F2AEeμφ1[1-eμ(θ-φ1)μ-φ1]=R1(F1-F2)AEμ-R1φ1AEF1(11)Δl1=R1F2AEeμφ1[1−eμ(θ−φ1)μ−φ1]=R1(F1−F2)AEμ−R1φ1AEF1(11)式(11)中第一项是由于皮带张力变化引起的,第二项是由于皮带紧边张力F1引起的,二者之差为L1点弹性滑动的大小。2.4阵风1e1e1e1e1e1e1e1e33efps3e,10a以上弹性滑动的速度在弹性滑动区域内不是均匀分布的,在G1点为零,在L1点达最大值。可按速度的定义来求其最大值maxv1滑=limΔt→0Δl(θ+Δθ)-Δl(θ)Δt|θ=0maxv1滑=limΔt→0Δl(θ+Δθ)−Δl(θ)Δt|θ=0注意Δt=Δθω1,则maxv1滑=ω1limΔθ→0Δl(θ+Δθ)-Δl(θ)Δt|θ=0=ω1dΔl(θ)dθ|θ=0将式(10)中的dΔl(θ)dθ的表达式代入,得maxv1滑=ω1R1F1eμφ1AE[1-e-μφ]=ω1R1AE(F1-F2)(12)类似的分析从动轮,由于φ1=φ2,可得脱离点L2的最大弹性滑动速度为maxv2滑=ω2R2AE(F1-F2)(13)二者是相等的。3其他影响弹性滑动的因素3.1皮带轮的线速度如果令ε为ε=F1-F2AE(14)则主动轮表面的线速度v1=R1ω1这样式(12)和式(13)可以分别写为maxv1滑=εv1=εω1R1(12)′maxv2滑=εv2=εω2R2(13)′皮带脱离L1后的线速度为v=v1-εv1=v1(1-ε)(15)从动轮表面的线速度为v2=R2ω2=v-εv=v1(1-ε)2·v1(1-2ε)(16)在文献中,作者只分析了主动轮,得v2=v1(1-ε),由于皮带轮总是成对出现的,因此正确的结果应为式(16),这是文献疏忽之处。由式(16)可见,弹性滑动的影响之一是使从动轮的速度降低,称此为速度损失。3.2影响传动比的影响i=ω1ω2=R2R1(1-2ε)=R2R1(1+2ε)(17)弹性滑动的影响之二是使传动比增加。3.3传动效率的影响η=ω2Μ2ω1Μ1=v2/R2v1/R1×R2(F1-F2)R1(F1-F2