专题05 最短路径问题（将军饮马）（知识串讲+4大考点）原卷版

专题05最短路径问题（将军饮马）考点类型知识串讲（一）将军饮马模型①两定一动②一定两动③两定两动考点训练考点1：两定一动典例1：（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则A．154 B．245 C．5 D【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【变式2】（2022秋·全国·八年级期末）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式3】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）A．B．C．D．考点2：一定两动典例2：（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（

A．100° B．110° C．120° D．130°【变式1】（2019秋·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【变式2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，若∠AOB=44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【变式3】（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5考点3：两定两动典例3：（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为______．【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．考点4：造桥选址典例4：（2023秋·七年级单元测试）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄A． B．C． D．【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是(

)A． B．C． D．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C．D．同步过关一、单选题1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥DA交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（

）A．78 B．39 C．42 D．303．（2023秋·广东江门·八年级统考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．4.84．（2022秋·八年级单元测试）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（

）A．1 B．2 C．4 D．1.55．（2023春·山西晋中·七年级统考期中）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A． B．C． D．二、填空题6．（2020秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,AB⊥AC,EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________．7．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．8．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，∠AOB=22°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OA，OB上的动点，记∠MQP=α，∠OPN=β，当MQ+QP+PN最小时，则α与β的数量关系为____________．三、解答题9．（2023秋·吉林·七年级统考期末）如图，平面上有五个点A，B，C，D，E．按下列要求画出图形．（1）连接BD；（2）画直线AC交线段BD于点M；（3）请在直线AC上确定一点N，使B，E两点到点N的距离之和最小．10．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出ΔABC关于原点对称的ΔA（2）在x轴上求作一点P，使ΔPAB的周长最小，请画出ΔPAB，并直接写出P的坐标．11．（2022秋·北京·八年级北京市第一六六中学校考期中）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置