第03讲 一元一次方程的应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第03讲一元一次方程的应用 进一步经历运用方程解决实际问题的过程。提高学生找等量关系列方程的能力。培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力。【题型1和、差、倍、分问题】【题型2行程问题】距离=速度·时间【题型3工程问题】工作量=工效×工时工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量【题型4顺水逆水问题】顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程【题型5商品利润问题】售价=定价；利润问题常用等量关系：售价-进价=利润【题型6分配问题】【题型7配套问题】【题型8数字与日历问题】【题型9方案选择问题】【题型10分段计费问题】【题型11隧道或过桥问题】【题型12几何图形问题】【题型1和、差、倍、分问题】【典例1】（2023•萍乡模拟）某顾客在商场搞活动期间，分别以7折和9折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款386元，这两种商品原价总和为500元，求甲、乙两种商品的原价．【答案】甲商品的原价为320元，乙商品的原价为180元．【解答】解：设甲商品的原价为x元，则乙商品的原价为（500﹣x）元，根据题意得：0.7x+0.9（500﹣x）＝386，解得：x＝320，则500﹣x＝180．答：甲商品的原价为320元，乙商品的原价为180元．【变式1-1】（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【答案】见试题解答内容【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，∴4x+6（x﹣3）＝62，解得：x＝8；答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．【变式1-2】（2023春•吉林月考）某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？【答案】他答对15道题．【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据题意得：5x﹣1×（20﹣x）＝70，解得：x＝15．答：他答对15道题．【变式1-3】（2023春•朝阳区校级期中）在甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有19人．现在从乙处调一部分人到甲处去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应从乙处调多少人到甲处去？【答案】见试题解答内容【解答】解：设应调往甲处x人，根据题意列方程得：29+x＝（19﹣x）×2，解得：x＝3．答：调3个人到甲处去．【题型2行程问题】【典例2】（2023春•杨浦区期末）一列动车从甲站开往乙站，若动车以180千米/小时的速度行驶，能准时到达乙站，现在动车以160千米/小时的速度行驶了2小时后把速度提高到240千米/小时，也能准时到达乙站，求甲、乙两站之间的距离．【答案】甲、乙两站之间的距离为480千米．【解答】解：设甲、乙两站之间的距离为x千米，根据题意可得：，解得：x＝480，答：甲、乙两站之间的距离为480千米．【变式2-1】（2023春•杜尔伯特县期末）A、B两地相距840千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过10小时相遇．已知甲、乙两车的速度比是5：7．甲、乙两车的速度各是多少？【答案】甲车的速度是35千米/时，乙车的速度是49千米/时．【解答】解：设甲车的速度是5x千米/时，则乙车的速度是7x千米/时，根据题意得：10×5x+10×7x＝840，解得：x＝7，∴5x＝5×7＝35，7x＝7×7＝49．答：甲车的速度是35千米/时，乙车的速度是49千米/时【变式2-2】（2023春•肇源县月考）两车从相距270km的两地同时开出，相向而行，经过3时两车相遇，已知快车与慢车的速度比是8：7，快车每时行多少千米？【答案】快车每时行48千米．【解答】解：设快车的速度比是8x千米/小时，则慢车的速度比是7x千米/小时，由题意得：3（8x+7x）＝270，解得：x＝6，∴8x＝48，7x＝42，答：快车每时行48千米．【题型3工程问题】【典例3】（2023春•沙坪坝区校级期末）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．（1）问甲、乙两人每天各加工多少个零件？（2）现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．【答案】（1）甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件；（2）两人合作的天数为15天．【解答】解：（1）设甲每天加工x个零件，则乙每天加工（x﹣5）个零件，由题意得：x+x﹣5＝35，解得：x＝20，∴x﹣5＝15，答：甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件；（2）设甲、乙两人合作的天数为y天，由题意得：20y+15×20＝600，解得：y＝15，答：两人合作的天数为15天．【变式3-1】（2023•合肥三模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建若干米灌溉水渠，某施工队计划8天完成任务，在完成一半任务后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米，最后完成任务共用了10天，问施工队共需完成修建灌溉水渠多少米？【答案】480米．【解答】解：设施工队共需完成修建灌溉水渠x米，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝480．答：施工队共需完成修建灌溉水渠480米．【变式3-2】（2022秋•梁山县期末）一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作．（1）求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程．（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费为3000元，乙队每天的施工费为3500元，求完成此项工程需付给甲乙两队共多少元．【答案】（1）20天；（2）142000元．【解答】解：（1）设甲、乙两队合作x天才能完成该工程，根据题意得：×4+（+）x＝1，解得：x＝20．答：甲、乙两队合作20天才能完成该工程；（2）甲队的费用为3000×（20+4）＝72000（元），乙队的费用为3500×20＝70000（元），72000+70000＝142000（元）．答：完成此项工程需付给甲乙两队共142000元．【题型4顺水逆水问题】【典例4】（2023春•秀英区校级月考）某船在静水中的速度是每小时8千米，水速是每小时2千米，这船从甲地到乙地，再从乙地回到甲地，共用8小时，求甲乙两地的距离．【答案】30千米．【解答】解：设这条船从甲地到乙地是逆水而行，用了x小时，则（8﹣2）x＝（8+2）（8﹣x），∴6x＝10（8﹣x），∴6x＝80﹣10x，解得x＝5，（8﹣2）×5＝6×5＝30（千米）．答：甲乙两地的距离是30千米．【变式4-1】（2022秋•南岗区期末）一艘船从甲码头顺流而行，用了2h到乙码头，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是27km/h．【答案】见试题解答内容【解答】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，根据往返路程相等，列得2（x+3）＝2.5（x﹣3），解得x＝27．答：在静水中的速度为27km/h．故答案为27．【变式4-2】（2022秋•武汉期末）一架飞机顺风从A机场飞到B机场用2.8小时，它逆风飞行同样的航线要用3小时，若当天风速为25千米/小时，则两机场之间的航程是2100千米．【答案】2100．【解答】解：设两机场之间的航程为x千米，根据题意得﹣25＝+25，解得x＝2100，∴两机场之间的航程为2100千米，故答案为：2100．【变式4-3】（2023春•绿园区期末）小莉在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时，到B地后沿原路返回，速度增加50%，已知小莉由B地回到A码头的时间比去时少用了20分钟．求A、B两地的路程．【答案】A、B两地的路程为8千米．【解答】解：设A、B两地的路程为x千米，则﹣＝，解得x＝8．答：A、B两地的路程为8千米．【题型5商品利润问题】【典例5】（2023春•长宁区期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？【答案】900．【解答】解：设每块手表的标价为x元，根据题意得：3400×90%﹣2800﹣（80%x﹣600）＝140，0.8x＝720，解得：x＝900，答：每块手表的标价为900元．【变式5】（2022秋•长汀县期末）阳光水果店花费615元从市场购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量是乙种苹果重量的2倍还多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：甲乙进价（元/千克）58售价（元/千克）1015（1）水果店购进两种苹果各多少千克？（2）水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果售价不变，乙种苹果打折销售．第二次购进的两种苹果都售完后获得的利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？【答案】（1）水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．（2）第二次乙种苹果按原价打8折销售．【解答】解：（1）设阳光水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，解得：x＝30，∴2x+15＝75．答：水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，依题意，得：（10﹣5）×75+（15×﹣8）×30×3＝735，解得：y＝8．答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．【题型6分配问题】【典例6】（2023春•宜阳县月考）“遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人．”每年农历九月九日是重阳节，又称老人节，志愿者服务小组在老人节这天购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？【答案】敬老院一共有36位老人．【解答】解：设敬老院一共有x位老人，因为奶粉的袋数不变，所以4x﹣24＝3x+12，解得x＝36，答：敬老院一共有36位老人．【变式6-1】（2022秋•柳州期末）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其设计将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给七年级各班，若每班分6个，则剩余5个；若每班分8个，则还缺15个，则该学校七年级共有多少个班？【答案】该学校七年级有10个班．【解答】解：设七年级有x个班级，6x+5＝8x﹣15，解得：x＝10，答：该学校七年级有10个班．【变式6-2】（2022秋•澄海区期末）为切实加强疫情防控工作，学校在开学前聘请消毒专业人员对教室喷洒消毒液进行消毒，如果每人喷洒8间教室，则剩下4间教室未喷洒；如果每人喷洒10间教室，则有一位人员少喷洒4间教室．求这次消毒了几间教室？【答案】这次消毒了36间教室．【解答】解：设一共有x人喷洒消毒液，则8x+4＝10（x﹣1）+6，解得：x＝4，则：8x+4＝8×4+4＝36，即这次消毒了36间教室．【变式6-3】（2023春•绿园区校级期中）学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖，女同学每人每次搬6块，男同学每人每次搬8块，每人各搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？【答案】见试题解答内容【解答】解：设新团员中有x名男同学，则根据题意，得32x+24（65﹣x）＝1800，解这个方程，得x＝30，经检验，符合题意．答：新团员中有30名男同学【题型7配套问题】【典例7】（2023春•武威期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？【答案】见试题解答内容【解答】解：设用x张制盒身，则（36﹣x）张制盒底，根据题意，得到方程：2×25x＝40（36﹣x），解得：x＝16，36﹣x＝36﹣16＝20．答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．【变式7-1】（2022秋•洪山区校级期末）某车间有58名工人，每人每天可以生产8个甲种部件或5个乙种部件．1个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的甲种部件和乙种部件刚好配套，应安排生产甲种部件和乙种部件的工人各多少名？【答案】安排10名工人生产甲种部件，安排48名工人生产乙种部件．【解答】解：设安排x名工人生产甲种部件，则安排（58﹣x）名工人生产乙种部件，由题意可得：8x×3＝5（58﹣x），解得x＝10，∴58﹣x＝48，答：安排10名工人生产甲种部件，安排48名工人生产乙种部件．【变式7-2】（2022秋•东湖区期末）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？【答案】用10m3木材作桌面，2m3木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．【解答】解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为xm3，桌腿需要木材为4×xm3．由题意，得x+4×x＝12，解得：x＝200．则x＝×200＝10（m3）12﹣10＝2（m3）．方法2：设xm3：木材作桌面，2m3木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．由题意得：4×20x＝400（12﹣x）．解得：x＝10．则12﹣10＝2（m3）．答：用10m3木材作桌面，2m3木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．【变式7-3】（2022秋•高碑店市期末）用相同规格的正方形硬纸板做成如图1的直三棱柱盒子，每个盒子由3个相同的长方形做侧面和2个相同的正三角形做底面组成，硬纸板按如图2的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．方法A：剪出6个侧面；方法B：剪出4个侧面和5个底面．现有19张这种规格的正方形硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B．（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？【答案】（1）裁剪出（2x+76）个侧面，（95﹣5x）个底面；（2）能做30个盒子．【解答】解：（1）∵共有19张这种规格的正方形硬纸板，且裁剪时x张用方法A，∴裁剪时（19﹣x）张用方法B，∴裁剪出6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个侧面，5（19﹣x）＝（95﹣5x）个底面．∴裁剪出（2x+76）个侧面，（95﹣5x）个底面；（2）根据题意得：＝，解得：x＝7，∴＝＝30．答：能做30个盒子．【题型8数字与日历问题】【典例8】（2022秋•南岗区校级期中）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，若将它的个位数字与十位数字对调，则所得的新数比原两位数大9，求原来的两位数是多少？【答案】45．【解答】解：设原数的个位数字是x，则十位数字是y．根据题意得：，解得．故原来两位数为45．【变式8-1】（2022秋•成都期末）如图是2023年一月份的日历：（1）若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）；（2）请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数；若不能，请说明理由；（3）用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是140．【答案】（1）7x；（2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由见解答过程；（3）140．【解答】解：（1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，则其它六个数是x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，∴七个数的和是x﹣8+x﹣6+x﹣1++x+x+1+x+6+x+8＝7x；（2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，根据题意得：7x＝168，解得x＝24，此时最大的数是x+8＝24+8＝32，而日历中没有32，∴“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168；（3）∵2023年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列，∴当x+8＝28，即x＝20时，框出的七个数的和的最大，最大为7x＝7×20＝140，故答案为：140．【变式8-2】（2022春•西峡县期中）一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0．若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的．求这个两位数．【答案】72或81．【解答】解：设这个数十位上数字是x，则其个位上数字是9﹣x，这个数可表示为：10x+（9﹣x）；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：10（9﹣x）+x．依题意得，[10x+（9﹣x）]，解这个不等式，得，∵十位上数字与个位上数字都不为0，∴x＜9，∴x整的整数值为5、6、7、8，当x＝5时，9﹣x＝4，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意；当x＝6时，9﹣x＝3，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意；当x＝7时，9﹣x＝2，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意；当x＝8时，9﹣x＝1，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意．∴这个两位数是72或81．【变式8-3】（2022秋•东丽区期末）观察某月日历，回答下列问题：（1）观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论．（2）小敏外出了5天，这5天的日期之和是65，小敏是几号外出的？【答案】（1）横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍；竖着看，下一个数字比上一个数字大7；（答案不唯一）；（2）小敏是11号外出的．【解答】解：（1）结论正确即可，如：横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍；竖着看，下一个数字比上一个数字大7等（2）设小敏是x号外出的，根据题意列方程得：x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）＝655x+10＝655x＝55x＝11，答：小敏是11号外出的．【题型9方案选择问题】【典例9】（2023春•宜阳县月考）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》发布后引起热议，新课标明确了体育依旧为第三主科．学校可根据实际情况设计课程内容．某中学依据本地特色开设滑冰课程，需要购买12套队服和x套护具（x＞12），现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套均为200元，护具报价每套均为50元．甲、乙两商场的优惠方案如下表：商场甲乙优惠方案购买一套队服赠送一套护具队服和护具均按报价打八五折（1）用含x的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；（2）当购买多少套护具时，分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同？（3）如要购买30套护具，请设计出最省钱的购买方案．【答案】（1）在甲商场购买队服和护具所需要的费用为（50x+1800）元，在乙商场购买队服和护具所需要的费用为（42.5x+2040）元；（2）当购买32套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同；（3）最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买．【解答】解：（1）在甲商场购买队服和护具所需要的费用为：200×12+（x﹣12）×50＝（50x+1800）元，在乙商场购买队服和护具所需要的费用为（200×12+50x）×0.85＝（42.5x+2040）元；（2）根据题意得：42.5x+2040＝50x+1800，解得x＝32，答：当购买32套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同；（3）当12套队服和30套护具都在甲商场购买时，所需费用为50×30+1800＝3300（元）；当12套队服和30套护具都在乙商场购买时，所需费用为42.5×30+2040＝3315（元）；一部分在甲商场购买，一部分在乙商场购买时，若在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买最省钱，所需费用为12×200+18×50×0.85＝3165（元），∵3165＜3300＜3315，∴最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买．【变式9-1】（2023春•白云区期末）在暑假期间某景点为吸引更多的游客，推出集体购票优惠票价活动，其门票价目表如下：购票人数不超过30人30人以上但不超过50人50人以上每人门票价20元15元10元有同一旅行社的甲、乙两个旅行团共60人（甲团人数少于乙团）准备去该景点旅游，如果甲、乙两团各自购票，那么一共要支付1020元．（1）如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约多少钱？（2）甲、乙两团各有多少人？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）1020﹣60×10＝420（元）．答：如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约420元；（2）设甲团有x人，则乙团有（60﹣x）人（x＜30）．由题意得：20x+15（60﹣x）＝1020，或20x+10（60﹣x）＝1020，解得：x＝24，或x＝42．因x＜30，故x＝42不合题意，舍去．所以x＝24，60﹣x＝36．答：甲团24人，乙团36人．【变式9-2】（2022秋•光明区期末）天虹超市销售东北大米，每包10kg，定价为100元．元旦期间进行促销活动，为满足大宗采购需求，超市制定了两种销售方案以供选择：方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费．（1）假设某食堂需要财买8包东北大米，且需送货上门．采用方案一购买，需要480元；采用方案二购买，需要600元．（2）假设某食堂需要购买x包东北大米（x是偶数），且需送货上门．①采用方案一购买x包东北大米需要60x元；采用方案二购买x包东北大米需要（50x+200）元．②某次进货时，食堂的采购员小王发现两种采购方案相差100元．请你算一算小王这次采购多少包东北大米？【答案】（1）480；600；（2）①60x；（50x+200）；②小王这次采购10或30包东北大米．【解答】解：（1）根据题意得：采用方案一购买所需费用为100×0.6×8＝480（元）；采用方案二购买所需费用为100×+200＝600（元）．故答案为：480；600；（2）①根据题意得：采用方案一购买x包东北大米需要100×0.6x＝60x（元）；采用方案二购买x包东北大米需要100×+200＝（50x+200）元．故答案为：60x；（50x+200）；②根据题意得：60x﹣（50x+200）＝100或50x+200﹣60x＝100，解得：x＝30或x＝10．答：小王这次采购10或30包东北大米．【变式9-3】（2023春•绿园区期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．（1）A型篮球和B型篮球的标价各是多少？（2）该体育用品店推出了以下优惠方案：方案一：所有商品按标价的九折销售；方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．【答案】（1）每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元；（2）选择方案二更合算，理由见解答．【解答】解：（1）设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为（x﹣30）元，根据题意得8x+10（x﹣30）＝1320，解得x＝90，所以x﹣30＝90﹣30＝60，答：每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元．（2）选择方案二更合算，理由如下：90×20+60×30＝3600（元），所以，按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，选择方案一，总费用为：×3600＝3240（元），选择方案二，总费用为：2000+×（3600﹣2000）＝3120（元），因为3120元＜3240元，所以选择方案二更合算．【题型10分段计费问题】【典例10】（2022秋•定南县期末）“水是生命之源”，某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：用水量/月单价（元/m3）不超过20m32.8超过20m3的部分3.8另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费（1）根据上表，用水量每月不超过20m3，实际每立方米收水费3元；如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费57元；（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少m3？（3）若该用户水表3月份出了故障，只有70%的用水量记入水表中，这样该用户在3月份只缴纳了58.8元水费，问该用户3月份实际应该缴纳水费多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费，则不超过20m3的水费为3元/m3，超过20m3的部分水费为4元/m3．如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费3×19＝57（元），故答案为：3、57；（2）设该用户2月份用水xm3，根据题意，得：20×3+（x﹣20）×4＝80，解得：x＝25，答：该用户2月份用水25m3．（3）设该用户3月份实际用水ym3，因为58.8＜20×3，所以该用户上交水费的单价为3元/m3，由题意：70%y×3＝58.8，解得y＝28，所以该用户3月份实际应缴纳水费：20×3+4×（28﹣20）＝92元，答：该用户3月份实际应该缴水费92元．【变式10-1】（2023•霍邱县一模）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：每户每月用电量不超过210度超过210度（超出部分的收费）收费标准每度0.5元每度0.8元（1）小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：90元；（2）小林家6月份用电x（x＞210）度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：（0.8x﹣63）元；（3）小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．【答案】（1）90元；（2）（0.8x﹣63）元；（3）305度．【解答】解：（1）0.5×180＝90（元）．故答案为：90元．（2）依题意得：小林家6月份应付的电费为0.5×210+0.8（x﹣210）＝（0.8x﹣63）（元）．故答案为：（0.8x﹣63）元．（3）设小林家11月份的用电量为y度．∵0.5×210＝105（元），105＜181，∴y＞210．依题意得：0.8y﹣63＝181，解得：y＝305．答：小林家11月份的用电量为305度．【变式10-2】（2022秋•公安县期末）某省的居民用电阶梯电价方案如下：第一档电量第二档电量第三档电量月用电量180度以下，每度价格0.55元月用电量180度至300度的部分，每度比第一档提价a元月用电量300度以上的部分，每度比第一档提价0.30元例：若某户月用电量350度，则需交电费为180×0.55+（300﹣180）×（0.55+a）+（350﹣300）×（0.55+0.30）＝（207.5+120a）元．（1）若小华家10月份用电量为280度，缴纳电费为164元，求出a的值；（2）在（1）的条件下，若小华家11月份的电费为262元，求出小华家11月份的用电量．【答案】（1）0.1；（2）400度．【解答】解：（1）根据题意得180×0.55+（280﹣180）×（0.55+a）＝164，解得a＝0.1，答：a的值为0.1；（2）因为180×0.55+（300﹣180）×（0.55+0.1）＝177＜262，所以小华家11月份用电量在300度以上，设小华家11月份用电量为x度，根据题意得，180×0.55+（300﹣180）×（0.55+0.1）+（x﹣300）×（0.55+0.3）＝262，解得x＝400，答：小华家11月份用电量为400度．【变式10-3】（2023•怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：起步价/元限定里程/km超限定里程（元/km）甲108803乙1801002租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费．租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费．设里程为x千米．（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用．（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？【答案】（1）租用甲、乙两种型号货车的费用分别为（3x﹣132）元、（2x﹣20）元；（2）当里程为112km时，租用两种型的货车费用相等．【解答】解：（1）根据题意得108+3（x﹣80）＝（3x﹣132）元，180+2（x﹣100）＝（2x﹣20）元，答：租用甲、乙两种型号货车的费用分别为（3x﹣132）元、（2x﹣20）元．（2）当x≤80时，甲、乙两种型号货车的租金分别为108元和180元，∴租用两种型号的货车费用不相等；当80＜x≤100时，若租用两种型号的货车费用相等，则108+3（x﹣80）＝180，解得x＝104，不符合题意，舍去．当x＞100时，根据题意得3x﹣132＝2x﹣20，解得x＝112，答：当里程为112km时，租用两种型的货车费用相等．【题型11隧道或过桥问题】【典例11】（2022秋•大连期末）列方程解应用题．一列火车匀速通过一座1200米长的桥，从火车上桥到火车完全离开桥经历50秒，整列火车在桥上的时间为30秒，求火车的长度．【答案】火车的长度为300米．【解答】解：设火车的长度为x米，根据题意得：＝，解得：x＝300．答：火车的长度为300米．【变式11-1】（2022秋•包河区期末）已知某铁路桥长1500米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒．则这列火车长为（）A．100m B．200m C．300m D．400m【答案】C【解答】解：设这列火车长为x米，由题意可得：＝，解得：x＝300，∴这列火车长300米，故选：C．【变式11-2】（2022秋•碑林区校级期末）新一代标准动车组“复兴号”是中国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车，是中国科技创新的又一重大成果．一列“复兴号”动车正在匀速行驶中，经过某长度为1200m的大桥用时18s，桥头一监测仪监测到该动车通过检测仪正前方所用时间为3.6s．（1）求该动车的长度；（2）该动车通过大桥的速度是多少千米/时？【答案】（1）该动车的长度为300m；（2）该动车通过大桥的速度是300千米/时．【解答】解：（1）该动车通过监测仪正前方所用时间为t＝3.6s，设动车的长度为S车，则动车的速度v＝＝①，该动车经过某长度为1200m的大桥用时18s，则动车速度v＝＝②，由①②得＝，解得S车＝300；答：该动车的长度为300m；（2）把S车＝300m代入v＝得，v＝＝＝（m/s）＝×3.6（km/h）＝300（km/h）．答：该动车通过大桥的速度是300千米/时．【变式11-3】（2022秋•广水市期末）一列火车匀速行驶，经过一条长800米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的时间：在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是18秒，求该火车的长度为多少米？【答案】该火车的长度为450米．【解答】解：设该火车的长度为x米，由题意得：，解得x＝450，答：该火车的长度为450米．【题型12几何图形问题】【典例12】（2023•山阳县模拟）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，求这个长方形的长．【答案】10cm．【解答】解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（30÷2﹣x）cm，长减少2cm为（x﹣2）cm，宽增加3cm为30÷2﹣x+3＝（18﹣x）cm，依题意有x﹣2＝18﹣x，解得：x＝10．故这个长方形的长10cm．【变式12-1】（2023•碑林区校级三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽．【答案】40m，20m．【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，由题意得，35+x＝2（15+x），解得x＝5，∴35+x＝40，15+x＝20，∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．【变式13-2】（2023春•秀英区校级月考）用一根长50cm的铁丝围成一个长方形．（1）如果长方形的长比宽的2倍少2cm，求这个长方形的面积；（2）如果长方形的长与宽之比为3：2，求这个长方形的面积．【答案】（1）144cm2；（2）150cm2．【解答】解：（1）设这个长方形的宽为xcm，则长为（2x﹣2）cm，由题意可得：（x+2x﹣2）×2＝50，解得x＝9，∴2x﹣2＝16，∴这个长方形的面积是：16×9＝144（cm2），即这个长方形的面积是144cm2；（2）设长为3acm，则宽为2acm，由题意可得：（3a+2a）×2＝50，解得a＝5，∴3a＝15，2a＝10，∴这个长方形的面积是：15×10＝150（cm2），即这个长方形的面积是150cm2．1．（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【答案】D【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得：240x＝150（x+12）．故选：D．2．（2023•南充）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（）A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x﹣4.5）＝x+1 D．（x﹣4.5）＝x﹣1【答案】A【解答】解：设长木长为x尺，∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，∴绳子长为（x+4.5）尺，∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺，得方程为：（x+4.5）＝x﹣1．故选：A．3．（2023•台湾）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（）A．46 B．50 C．60 D．72【答案】D【解答】解：设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得，，∴x＝72，故选：D．4．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（）A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3 C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50【答案】A【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．故选：A．5．（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝39．【答案】39．【解答】解：设九宫格中最中间的数为x，∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，∴16+4＝7+x，∴x＝13，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，∴m＝3x＝39，故答案为：39．6．（2023•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为5x+45＝7x+3．【答案】5x+45＝7x+3．【解答】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故答案为：5x+45＝7x+3．7．（2022•牡丹江）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件15元．【答案】15．【解答】解：设该商品的标价为每件x元，由题意得：80%x﹣10＝2，解得：x＝15．答：该商品的标价为每件15元．故答案为：15．8．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．9．（2023•河北）某惯性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31﹣2在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【答案】（1）6分；（2）k＝6．【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），答：珍珍第一局的得分为6分；（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得：k＝6．10．（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？【答案】（1）这台M型平板电脑价值2100元；（2）若工作m天，她应获得的报酬为120m元．【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：（x+1500）＝x+300，解得：x＝2100，∴这台M型平板电脑价值2100元；（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她应获得的报酬为＝120m（元）．11．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．1．（2022秋•玉泉区校级期末）一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（）A．5折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折【答案】D【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：x+0.5x＝2x•，解得：y＝7.5即相当于这两件商品共打了7.5折．故选：D．2．（2023•长沙模拟）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为（）A．7x+4＝9x﹣8 B．7x﹣4＝9x+8 C． D．【答案】A【解答】解：根据题意，得7x+4＝9x﹣8．故选：A．3．（2023春•献县期末）已知一个有50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（）A．114 B．122 C．220 D．84【答案】B【解答】解：设最小的一个数为x，则另外三个数为x+8，x+10，x+12，显然x的个位数字只可能是3，5，7，框住的四个数之和为x+（x+8）+（x+10）+（x+12）＝4x+30．当4x+30＝114时，x＝21，不合题意；当4x+30＝122时，x＝23，符合题意；当4x+30＝220时，x＝47.5，不合题意；当4x+30＝84时，x＝13.5，不合题意；故选：B．4.（2022秋•晋安区期末）某商场进了一批豆浆机，按进价的180%标价，春节期间，为了能吸引消费者，打7折销售，此时每台豆浆机仍可获利52元，则每台豆浆机的进价是（）A．200 B．250 C．300 D．520【答案】A【解答】解：设每台豆浆机的进价是x元，由题意得：0.7×180%x﹣x＝52，解得：x＝200，故选：A．5．（2023春•松江区期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身14个，或盒底32个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有300张白铁皮，假设用x张制作盒身，用（300﹣x）张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（）A．14x＝2×32（300﹣x） B．2×14x＝32（300﹣x） C．32x＝2×14（300﹣x） D．2×32x＝14（300﹣x）【答案】B【解答】解：设用x张白铁皮制盒身，则可用（108﹣x）张制盒底，根据题意列方程得：2×14x＝32（300﹣x）．故选：B．6．（2023•泰山区校级二模）某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是（）①8x﹣4＝10x+6；②；③；④8x+4＝10x﹣6．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】B【解答】解：按照男生人数不变列出方程8x+4＝10x﹣6；按照男生宿舍间数不变列出方程＝．∴正确的方程是②④．故选：B．7．（2023•白山四模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（）A．6x+14＝8x B．6（x+14）＝8x C．8x+14＝6xD．8（x﹣14）＝6x【答案】A【解答】解：设有牧童x人，若设牧童有x人，根据题意可列方程为：6x+14＝8x．故选：A．8．（2023•杭州二模）把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．设这个班有学生x名，根据题意列方程正确的是（）A． B． C．3x+20＝4x﹣20 D．3x﹣20＝4x+20【答案】C【解答】解：依题意得：3x+20＝4x﹣20．故选：C．9．（2023•清水县一模）船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列方程正确的是（）A．（36+4）x+（36﹣4）（9﹣x）＝1B．（36+4）x＝9 C．+＝9 D．＝9【答案】D【解答】解：设甲、乙两码头的距离为x千米，根据题意可得：+＝9．故选：D．10．（2022秋•包河区期末）已知某铁路桥长1500米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒．则这列火车长为（）A．100m B．200m C．300m D．400m【答案】C【解答】解：设这列火车长为x米，由题意可得：＝，解得：x＝300，∴这列火车长300米，故选：C．11．（2022秋•万全区期末）列方程，解应用题：新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？【答案】见试题解答内容【解答】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排（40﹣x）名工人生产耳绳，1000x×2＝1200（40﹣x），解得x＝15，答：应安排15名工人生产口罩面．12．（2022秋•泰山区期末）某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．（1）若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得，方案一的花费为：42×30×0.8＝1008（元），方案二的花费为：（42﹣5）×0.9×30＝999（元），∵1008＞999，∴若二班有42名学生，则他该选选择方案二；（2）设一班有x人，根据题意得，x×30×0.8＝（x﹣5）×0.9×30，解得x＝45．答：一班有45人．13．（2023•长安区一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，求快马几天可以追上慢马．【答案】快马20天追上慢马．【解答】解：设快马x天追上慢马，240x＝150（x+12），8x＝5（x+12），∴x＝20，答：快马20天追上慢马．14．（2022秋•思明区校级期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．（1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？（2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设七年级（2）班有女生x人，则男生（x﹣2）人，由题意，得x+（x﹣2）＝44，解得：x＝23，∴男生有：44﹣23＝21人．答：七年级（2）班有女生23人，则男生21人；（2）设分配a人生产筒身，（44﹣a）人生产筒底，由题意，得50a×2＝120（44﹣a），解得：a＝24．∴生产筒底的有20人．答：分配24人生产筒身，20人生产筒底．15．（2023•未央区校级一模）现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张