《常微分方程解的稳定性的探析》10000字

PAGEPAGE21常微分方程解的稳定性的研究摘要微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式；如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程。常微分方程是理工科专业中的一门基础课程，起源于17世纪，其中如何求解常微分方程是该门课程的重点，也是该门课程必须要攻克的难点，学习常微分方程这一部分内容，对于大多数人来说都是偏难的，但它又是数学专业中必须要掌握的知识，所以采用合适的方程去解决常微分方程是很有必要的，也是值得重视的。因此，本文以常微分方程为研究对象，首先分析了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系；其次，从自治系统、非自治系统等分析微分方程中稳定性的相关含义；然后，分析常微分方程中稳定性的相关概述，重点从李雅普诺夫第二方法中寻找常微分方程的应用；最后，通过相关的数学模型研究常微分方程解题的方法，让更多人了解与使用数学知识，全面处理现实生活中的问题，进而在不同领域使用且促进数学知识的全面使用。关键词：自治系统；稳定性；全局吸引性目录TOC\o"1-3"\h\u12075第1章引言 27613第2章微分方程稳定性分析 4279642.1稳定性定义 4293892.2自治系统零解的稳定性 5299172.2.1函数 6106432.2.2稳定性定理 7166862.3非自治系统的稳定性 10260752.3.1函数和类函数 10202992.3.2零解的稳定性 1232455第3章常微分方程稳定性研究 1657283.1常微分方程稳定性 16248603.2常微分方程解的稳定性的重要意义 183183.3李雅普诺夫第二方法 18166443.3.1李雅普诺夫函数的介绍 18321573.3.2李雅普诺夫第二方法的相关定理 19324523.4李雅普诺夫第二方法的构造和应用 2157453.4.1李雅普诺夫函数的构造 21323063.4.2李雅普诺夫第二方法的应用 2131237第4章常微分方程在数学建模中的应用 23284134.1数学模型简介 2345254.2常微分方程在捕鱼业的持续收益问题中的应用 23133114.2.1问题提出 23164694.2.2模型假设 23189804.2.3模型建立 2417971第5章结论 2721438参考文献 28第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理、化学、生物、天文）和社会科学（如工程、经济、军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定.稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来.在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等.50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件.提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理.同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性.通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入.60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形.50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论.其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”.用李雅普诺夫函数刻画分方程解的极限集位置.70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究.从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念.通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展.除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法.同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等，吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性.同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去.对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论，李雅普诺夫特征数在浑沌（Chaos）和分形（Fractals）研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开开辟的方向。

第2章微分方程稳定性分析2.1稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同.例如初始值问题，（1）的解为.是（1）的一个解，我们称它为零解.当时，无论多小，只要，当时，总有，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当时，与零解的误差不会超过初始误差，且随着的增加很快就会消失，所以当很小时，与零解的误差也很小.这个例子表明时(1)的零解是“不稳定的”，而当时（1）的零解是“稳定”的.下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义.设微分方程，，（2）满足解的存在惟一性定理的条件，其解的存在区间是，还满足条件（3）（3）保证是(2)的解，我们称它为零解.定义1若对任意给定的，都能找到，使得当时(2)的解满足，（4）则称（2）的零解是稳定的，否则称（2）的零解是不稳定的.注1：（2）零解稳定的意义是对任意给定的半径，总能在中找到一个以原点为中心、半径为的开球，使得（2）在时刻从出发的解曲线当时总停留在半径为的开球内.注2：（2）的零解不稳定的数学描述是至少存在一个，使得对任意的，在开球内至少有一个点和一个时刻，使得.注3：对（2）的任何一个解都可以定义稳定性.事实上，若是（2）的一个解，为了考察其他解和它的接近程度，我们就可以令，带入（2）得（5）这样一来，（2）解的稳定性就转化为（2）零解的稳定性.所以在本文的讨论中，我们仅研究（2）零解的稳定性.定义2设是中包含原点的一个开区域，对所有和任意给定的，总能找到一个，使得当时，有成立，我们就称是（2）零解的一个吸引域，这时称（2）的零解是吸引的.是(2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有，均有.即从中出发的解趋于0.定义3若(2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2)的零解是渐近稳定的；如果(2)的零解的吸引域是整个，则称(2)的零解是全局渐近稳定的.定义4若定义1中的与无关，则称(2)的零解是一致稳定的；若定义2.2中的与和无关，则称(2)的零解是一致吸引的；若(2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2)的零解是一致渐近稳定的.定义5若有正数，对任意给定的，有，使得当时有则称(2)的零解是指数渐近稳定的.2.2自治系统零解的稳定性前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系.这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定.在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，直接方法就是解决这一问题的有效途径.这一节中我们先引入函数的定义，然后再给出稳定性定理.2.2.1函数设函数在中原点的某邻域中有定义，在中连续可微，且满足.定义6若除原点外对所有均有，则称为正定函数(负定函数)；若对所有均有，则称为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若中原点的任一邻域内既可取正值，也可取负值，则称为变号函数.例如，是中的正定函数，是中的半正定函数，而是中的变号函数.由定义6看出，正定时必是半正定的.另外正定和半正定与空间的维数和邻域的大小有关.例如是中的正定函数，而它在中仅是半正定的.利用化为极坐标的方法可以看出，函数在中的区域中是正定函数，而在中却不是正定函数.最常用的函数是二次型，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关的特征值理论来判定，且一些复杂的函数往往可以通过对二次型的修改得到.一般函数的符号判断十分困难，通常是把在原点展开为级数其中，分别是的次、次齐次函数，根据展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定在原点邻域内的符号.对正定函数，容易证明当充分小时，是中包围原点的闭曲面，且随着趋于零，缩向坐标原点.事实上，由正定函数的定义可知，在内的闭曲面上，有正的下界，当时，在连接原点与任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点，使，所以是包围原点的闭曲面。2.2.2稳定性定理设维自治微分方程(6)的解为.为了研究(6)解的稳定性，考察随时间变化时的变化情况.将视为的复合函数，关于求导得(7)(7)为函数沿着(7)轨线的全导数.定理1若有原点的邻域和一个正定(负定)函数，使得是半负定(半正定)的，则系统(6)的零解是稳定的；且使得负定(正定)时，(6)的零解是渐近稳定的。定理2几何意义是函数正定时，是包围原点的闭曲面族，且随着的减少而缩向原点.当全导数半负定时，在时过的轨线上，的值不会增加，(2)的轨线只能停留在内，所以原点是稳定的.当负定时，原点邻域内(6)的轨线不断跑向闭曲面族中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(6)的零解是渐近稳定的.该几何意义也正是我们证明定理1的基本思想.证明设正定，对任意给定的(不妨假设闭球在中)，取，则当时，的点必全部位于原点的邻域内.由的连续性知，必有，使得当时.由于，当时，对一切有，所以，当时，.这就说明了半负定时，(6)的零解时稳定的.当负定时，(6)的零解稳定，只要，即可证明(6)的零解渐近稳定.利用反证法，设(6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的邻域内某点出发的解，使得.由于负定，故单调下降，从而由的正定性知必有，且时.由的连续性知，必存在，使得时.又由于是负定的，必有，在区域内，，由(7)式得，(8)对(8)式两边积分得(9)(9)表明，这与矛盾.故（6）的零解是渐近稳定的.例2.1讨论系统d2x解令x2=(10)令，显然是正定函数，容易求得沿(10)轨线的全导数为，它是负定函数，由定理1知该系统的零解是渐近稳定的.应当注意，如果取，那么，所求得的，是半负定的，由定理1只能得到(10)的零解稳定这一结论，得不到渐近稳定性.这表明构造适当的函数是非常重要的.当一个系统的零解事实上是渐近稳定时，我们有可能构造出函数用定理1来证明零解是渐近稳定的.也可能所构造出函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出函数，连零解的稳定性也无法得到.例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时，负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理2，它降低了负定这一条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果.定理3设在原点的邻域内存在正定函数1，它沿着（6）轨线的全导数是半负定的，如果集合内除原点外，不在包含系统的其他轨线，则(6)的零解是渐近稳定的.证明由定理1知，在定理2的条件下(6)的零解是稳定的.于是对给定的(不妨假设含在内)，可以找到，使得时，(6)满足的解；当时满，且由易见是的单调非增有界函数，故必有极限，令由于的正半轨有界，故它的极限非空，若，则，.这表明，从而有.由于是由(6)的整条轨线组成，而在中除外不再包含(6)的其他轨线，故有.于是有.零解的渐近稳定性得证.例2.2讨论非线性振动系统(11)零解的渐近稳定性.其中和都是连续函数，且满足下列条件(1)；(2).解选取，由条件(1)知，是正定函数.计算沿着(11)的轨线的全导数得.由(2)知是半负定的.又因为集合由(11)可见时，满足方程组的解必有，从而集合内除外不再包含(11)的其他轨线，所以(11)的零解是渐近稳定的.2.3非自治系统的稳定性这一节研究非自治系统(12)零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理.2.3.1函数和类函数设，是中包含闭球的一个邻域，是上定义的连续可微函数，是上定义的连续可微函数.定义7若有正定(负定)函数，使得在上成立，且，则称是上的正定(负定)函数.若，则称是半正定函数(半负定函数).注:分析定理1的证明过程，不难发现，正定(负定)函数下述性质是证明的关键所在，即时，(时).对于而言，若仅要求，，则上述性质不一定能保持.例如.这就是为什么要通过的正定性来定义正定的原因.例如是的正定函数，而仅是半正定函数.定义8若是的正定函数，且，则称是上的无穷大正定函数.定义9若有正定函数，使得，则称具有无穷小上界；若有无穷大正定函数，使得，则称具有无穷大下界.例如可以取，所以有即是具有无穷小上界和无穷大下界的函数.函数具有无穷小上界的特征是当时，必有正数，使得，即充分小时，可以充分小.当时，这就等价于，连续.由此不难理解引入无穷小上界的原因.而具有无穷大下界的特征是当充分大时，可以任意大.定义10设是的连续函数，且，严格单调递增，则称是类函数，记为.若还满足，则称为无穷大类函数.类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十分密切的关系.引理1(1)是正定函数的充分必要条件是有，，使得(13)(2)若有，使得，则必是正定函数，反之亦真；(3)若有，使得，则具有无穷小下界，反之亦真；(4)若有无穷大类函数，使得，则是具有无穷大下界的函数，反之亦真.证明由于引理1的(2)~(4)又可以从定义和引理1的(1)直接推出，故在此仅证明(1).若有，，使得(13)成立，则显然有和，故为正定函数，充分性得证.反过来，若是正定函数，则可以定义函数，由的正定性和连续性知，连续，，且时，.又当时，当时，这表明是严格单调递增的函数，且满足.同理可定义.按前面类似的过程可以验证是满足的类函数.所以(13)式成立，必要性得证.2.3.2零解的稳定性设是上定义的连续可微函数，是(12)的解.定义沿着(12)解的全导数为利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理.定理5(1)若有正定函数，使得半负定，则(12)的零解稳定；(2)若正定且有无穷小上界，半负定，则(12)的零解一致渐近稳定.证明定理5证明思路是利用类函数的性质:当时必定有.其证明过程就是利用类函数的这些性质对任意给出的寻找满足相应稳定性定义的，而给出时要反复利用引理1中函数与类函数的关系.(1)由于是正定函数，由引理2.1得，有类函数，使得.()，，由及的连续性知，必有，使得当时，.由于，故当时有由类函数的单调性知，.所以，(12)的零解是稳定的.(2)当是具有无穷小上界的正定函数时，由引理2.1知，必有类函数和，使，，取，当时，由得由类函数的单调性知，.故(12)的零解是一致稳定的.(3)当正定，且有无穷小上界，负定时，由(2)知，(12)的零解一致稳定，下面仅证明(12)的零解一致吸引.由引理2.1知，必有类函数，和，使得(14)对任意给定的()，，使得当时，对一切有.取.由于，故，且当时，，所以是一个有限正数.由于对上式两边积分得即(15)再由的非负性和(14)，(15)得(16）所以当，时，由(16)得(17)由得，再由上式得最后由的单调性知，.是(13)零解的一致吸引域，故(13)的零解是一致渐近稳定的.例2.3讨论方程(18)零解的稳定性.解取，沿(18)解的全导数因为，所以，是具有无限小上界的正定函数，半负定，由定理5知，(18)的零解是一致稳定的.例2.4讨论(19)零解的稳定性.解取，显然有.所以是具有无限小上界的正定函数，又因为即是负定的，所以由定理5知，(19)的零解是一致渐近稳定的.

第3章常微分方程稳定性研究3.1常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心.数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力，但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏，致使研究的道路越来越窄.此时单纯的定量分析已不能解决问题，必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑.避开微分方程求精确解的定量方法，转向运用稳定性方法探求解的性质，从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组 （20）其中函数对和连续，对满足局部利普希茨条件。设方程（2.1）对初值存在唯一解，而其他解记作QUOTEx=x(t,t0,x0).本文中向量的范数取。如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。如果对于任意给定的和都存在，使得只要，就有对一切成立，则称（1）的解QUOTEφ(t,t0,x1)是稳定的，否则是不稳定的。假设是稳定的，而且存在，使得只要QUOTE∥x0-x1∥<δ1则称（20）的解QUOTEφ(t,t0,x1)是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记，作如下变量代换：令(21)则QUOTEdydt=dx(t)dt-QUOTE=ft,φt+y-f(t,φ(t))QUOTE≐F(t,y)于是在变换（21）下，将方程（20）化成（22）其中，这样关于（20）的解的稳定性问题就化为（22）的零解的稳定性问题了.因此，我们可以只考虑（20）的零解的稳定性，即假设，并有如下定义：定义11若对于任意给定的QUOTEε>0和QUOTEt0≥0，存在，使当时有对所有的成立，则称（20）的零解是稳定的，反之是不稳定的.定义12若（20）的零解是稳定的，且存在（为定义中的），当时有，则称（20）的零解是渐近稳定的。例1考察系统QUOTEdxdt=ydydt的零解的稳定性.解不妨取初始时刻，对于一切，方程组满足初值条件的解为对任一，取，则当时，有故该系统的零解是稳定的。然而，由于QUOTElimt→∞[x2t+y3.2常微分方程解的稳定性的重要意义在实际情况中，干扰性因素总是不可避免的，因此稳定性理论的研究有很重要的理论意义和实用价值，这也是稳定性理论蓬勃发展的原因.李雅普诺夫首先给出了常微分方程解稳定的严格定义(称为“李雅普诺夫意义下的稳定性”)：如果对于任何正数ε，无论它多么小，可以选取另一个正数，使得对于所有受干扰的运动，当其在初始时刻t0时满足，而在所有时满足不等式，则QUOTEdxidt=f(t,x1,x2,⋯,xn这个定义简单而有力，既反映了深刻的物理本质，又具有严格的数学含义，极大地推广了不动点或平衡解的稳定性定义，成为更严格、更自然的定义。接着，他又给出了两种解题方法：（1）幂级数展开法，适用于已知扰动运动方程一个明确解(通常为无穷级数的形式)的情形。（2）李雅普诺夫直接方法，即李雅普诺夫第二方法，至今它仍是解决稳定性问题的主要工具.这种方法不用寻求运动方程的特解与通解，只要结合实际的物理背景，构造一类具有特殊性质的李雅普诺夫函数QUOTEV(x1,x2,⋯,xn李雅普诺夫使用分析的方法，以严格的分析证明解决稳定性问题.理论的严格性与彻底性是李雅普诺夫工作的显著特征之一。如今，李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一，不仅有精确的定义，更有严格的分析证明，将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。3.3李雅普诺夫第二方法3.3.1李雅普诺夫函数的介绍李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数和通过微分方程所计算出来的导数QUOTEdV(x)dt的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.下面，先引入李雅普诺夫函数概念我们考虑自治系统(23)假设在上连续，满足局部利普希茨条件，且.定义13若函数满足，和都连续，且若存在,使在上，则称是常正(负)的；若在D上除外总有，则称正(负)的；既不是常正又不是常负的函数称为变号函数.通常我们称函数为李雅普诺夫函数.例：函数在平面上为正定的；函数在QUOTE（x1,x2）函数在平面上是变号函数；函数在平面上是常正函数；3.3.2李雅普诺夫第二方法的相关定理定理6对系统（23），若在区域D上存在李雅普诺夫函数QUOTEV(x)满足（1）正定（2）常负，则（23）的零解是稳定的.证明对任意,记QUOTEΓ={x|∥x∥=ε}，则由正定，连续和是有界闭集知QUOTEb=minx∈ΓV(x)>0由和连续知存在，使当，QUOTEVx<b，于是有时，，（24）若上述不等式不成立，有QUOTE∥x∥<δ<ε和的连续性知存在，当时，QUOTExt,t0,x0<ε，而QUOTExt,t0,x0=ε.那么由b（25）另一方面，由条件（2）知在上成立，即时，,自然有,与（25）矛盾，即（24）成立.引理若是正定（或负定）的李雅普诺夫函数，且对连续有界函数有QUOTElimt→∞V(xt)=0，则QUOTElimt→∞xt=0定理7对系统（21），若在区域D上存在李雅普诺夫函数QUOTEV(x)满足（1）正定（2）负定，则（23）的零解是渐近稳定.证明由定理6知（23）的零解是稳定的.取QUOTEδ为定理6的证明过程中的,于是当QUOTE∥x∥≤δ时，单调下降.若,则由唯一性知,自然有QUOTElimt∈+∞xt,t0不妨设.由初值问题解的唯一性，对任意t，.从而由QUOTEV(x)的正定性知QUOTEV(xt,t0,x0)>0总成立，那么存在使QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=a，假设,联系到QUOTEV(xt,t0,x0)的单调性有QUOTEa<Vxt,t0,x0<Vx0对QUOTEt≥t0成立，从而由QUOTEV0=0知存在，使QUOTEQUOTEh<∥xt,t0,x成立.由条件（2）有QUOTEM=maxh≤∥x∥≤εdVdt<故从（26）知对上述不等式两端从到积分得，QUOTEVxt,t0,该不等式意味着QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=+∞矛盾，故，即QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=0，由于零解是稳定的，所以在QUOTE[t0,+∞]定理8对系统（23），若在区域D上存在李雅普诺夫函数满足（1）正定（2）不是常负函数，则系统（23）的零解是不稳定的.3.4李雅普诺夫第二方法的构造和应用3.4.1李雅普诺夫函数的构造在判定系统是自治的情况下，微分方程的稳定性和将近稳定性，可以构造如下形式的李雅普诺夫函数：（1）二维空间，这里a,b>0;m,n为正整数（2）n维空间其中同号，都是正整数.这样构造的整数，都是定号函数且不含t也就有穷小上界的性质.3.4.2李雅普诺夫第二方法的应用例1讨论方程组零解的稳定性.解取函数是正定函数.沿方程的全导数为QUOTEdvdt=x3xy-x3+y+yx4-例2研究质点振动方程零解稳定性.解原振动方程可转化为零解对应平衡点（0，0）取函数是正定函数，沿方程的导数为QUOTEdvdt=my-bm(常负函数).由定理6知，零解稳定.例3讨论方程组零解稳定性解取是正定函数，沿方程对t求导QUOTEdvdt=-26x2+可知当QUOTE6x2+5y2+2z2<1时，QUOTEdvdt<0第4章常微分方程在数学建模中的应用4.1数学模型简介一般我们将实际问题的模拟叫做模型．比如交通图、地质图、航空以及建筑模型等．使用字母、数学和其余数学符号创建完成的等式或不等式和图表、图象、框图等来模拟实际模型被叫做数学模型．此类模型在现实生活中时常遇到，比如寻求不规则图形的面积，可创建定积分的数学模型，求变化率的问题可创建导数模型，统计学中抽样审查，买彩票中奖的概率等．学会创建数学模型对处理现实问题有一定的积极影响。创建数学模型是目前现实问题和数学工具之间紧密关联的桥梁。伴随科技的持续发展，尤其是电子计算机科技的持续进步，数学逐渐进入到从自然科学科技以及工农业生产创建活动中，不仅存在在经济生活中，此外也出现在日常生活的多个部分。通常来说，在现实中需要我们对所分析的实际对象进行研究、预估、决策、控制等部门操作的时候，此时一般都需要数学的使用，其中创建数学模型就是此过程的重要部分。4.2常微分方程在捕鱼业的持续收益问题中的应用4.2.1问题提出在可持续发展的主要政策下，此时可以对可再生资源的科学使用进行分析。如同渔业这般可再生资源在确保平稳产量的基础上怎样得到最高利益，就开始得到产业内人士的重视。接下来我们会分析渔场在现实环境中的增长规律，分析怎样管控捕捞强度促使渔场的鱼量更加平稳，确保在接连捕捞下得到最高利益。4.2.2模型假设记时刻渔场中总鱼量是，对渔场鱼量的增长与捕捞状况进行假定可知：1.在无捕捞条件下的增长服从Logistic规律，也就是此处r是自然增长率，N是环境能容纳的最大鱼量，表示要求的单位时间内增长量。（2）每段时间的捕捞量和渔场鱼量成正比，比例常数代表单位时间捕捞率,是捕捞强度，此处管控出海渔船数或捕捞时间间隔来管控捕捞强度的大小，因此单位时间内的捕捞量是4.2.3模型建立模型一：产量模型根据以上假设记其中为渔场鱼量，于是可得方程此处，不需要求方程（19）的解，只依照方程就可以了解渔场维持稳定时相关因子满足的条件就可以，或者说是在t很大之后渔场鱼量的发展走势。所以，寻求方程（19）的平衡点，之后研究其平稳性。令得到两个平衡点，不难算出,，根据稳定性观点，在<时，平稳，不稳定;在>时，结果与之相反。假如E超过鱼量的自然增长率r,此时鱼量会不断减少乃至绝(也就是)。接下来叙