2023-2024学年湖北省孝感市高二上册9月起点考试数学试题（含解析）

2023-2024学年湖北省孝感市高二上册9月起点考试数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．22．已知，则（

）A． B． C．0 D．13．设，，，则a､b､c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（

）A． B．C． D．5．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（

）A． B． C． D．6．已知向量、是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知，，则（

）A． B． C．3 D．8．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（

）．A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（

）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.610．已知不同直线，，不同平面，，，下列说法正确的是（

）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则11．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（

）A．A与互斥 B．A与对立C．与相互独立 D．与相互独立12．如图，棱长为6的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（

）

A．当时，∥平面B．当时，若∥平面，则的最大值为C．当时，若，则点的轨迹长度为D．过A、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，，若，则.14．如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是．

15．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率．16．在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．（1）求的长；（2）求与所成角的余弦值．18．在中，角所对的边分别为、、，满足(1)求角的大小；(2)若，且，，求的面积.19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.20．如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，为的中点，.

(1)证明：平面；(2)求直线与平面的夹角的正弦值.21．杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组.

(1)若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？22．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点.(1)求证：平面；(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.1．C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2．A【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因为，所以，即．故选：A．3．D【分析】根据对数函数单调性可得，，根据指数函数单调性可得【详解】，，，所以故选：D．4．B【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.【详解】点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．5．A【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果.【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种，若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5；若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法；所以所求概率为.故选：A6．B【分析】根据充分条件，必要条件的概念，及线面垂直的判定定理及性质，以及两非零向量垂直的充要条件即可判断．【详解】解：①由，得，；、所在直线不一定相交，所在直线为，得不到，即且不是的充分条件；②若，向量、所在直线在平面内，在直线上，，，且，即且是的必要条件；综上得且是的必要不充分条件．故选：B．7．B【分析】根据两角和的正切公式可得，利用三角恒等变换结合齐次式问题运算求解即可.【详解】因为，则，解得或，且，则，所以，可得.故选：B.8．C【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．9．AC【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，青年人人数为，中年人人数为，由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，其他人群中，女性人数为，故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；B选项，中年人中男性人数为，故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，则，，，D错误.故选：AC10．BC【分析】根据面面平行的判定以及性质可知A错误；由线面平行的判定定理可得B正确；利用面面垂直的性质可得C正确；由面面垂直性质可得D错误.【详解】对于A，若，，，，此时可能相交，如下图所示：

当，都与平行时，相交，故A错误；对于B，由，利用线面平行的性质可知存在直线满足，且，又，所以，又，所以可得，即B正确；对于C，若，，，不妨设，如下图所示：

假设不成立，过直线上一点作于点，作于点；由，，可知，，，这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，所以应重合为交线，所以，可得C正确；对于D，如图所示：

若，，，此时可能斜交，不一定垂直，所以D错误；故选：BC11．BCD【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件，再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.【详解】由题意得，，，包含36个样本点.对于选项A：由，得，所以，，，，共包含30个样本点，且，共包含6个样本点，因为，所以A与不互斥，故A错误；对于选项B：因为，，共包含18个样本点，且，共包含6个样本点，因为，所以A与对立，故B正确；对于选项C：因为，所以，故与相互独立，故C正确；对于选项D：因为，所以，故与相互独立，故正确.故选：BCD.12．ABC【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取、中点、，连接、、、、，，找出点P的轨迹，结合图形求出的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项.【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，

对于A选项：当时，则，因为，，设平面的法向量为，则，取，则，可得，所以，则，因为平面，所以当时，∥平面，故A正确；对于B选项：当时，为中点，分别取、中点、，连接、、、、，因为、分别为、的中点，所以∥，又因为∥且，则四边形为平行四边形，可得∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面，同理可得，∥平面，

因为，、平面，所以平面∥平面，当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则∥平面，故点的轨迹为的边（除去点），则，同理可得，结合图形可得，故B正确；对于选项C：当时，、分别为、的中点，如图所示：此时点、、，，

当点在平面内运动时，设点，其中，，则，因为，则，解得，设点的轨迹分别交棱、于点、，则、，当点在平面内运动时，设点，其中，，则，则，设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四边形为平行四边形，且，，因此点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，故C正确；对于D选项：设截面交棱于点，连接、，由题意可知，截面与平面重合，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四边形为平行四边形，

因为，其中，则，，且，即与不可能垂直，所以平行四边形不可能为矩形，即过A、、三点的截面不可能是矩形，故D错误.故选：ABC.13．【分析】由向量垂直的坐标表示以及数量积的坐标运算可解得的值.【详解】根据题意由向量数量积的坐标表示可得；解得.故答案为.14．【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

考点：异面直线的夹角.15．【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率．故．16．【分析】根据梯形的边长可求出，由几何体翻折过程中体积最大可得平面平面，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.【详解】过点作，垂足为，如图下图所示：

因为为等腰梯形，，，所以，，可得，由余弦定理得，即，易知，所以，易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图所示：

此时，平面，易知，，记为外接球球心，半径为，由于平面，，因此到平面的距离，又的外接圆半径，因此外接球半径，即可得球的表面积为.故方法点睛：在求解几何体外接球问题时，需根据几何体的特征确定球心位置，再利用半径相等构造等量关系解出半径即可.17．（1）；（2）.【分析】（1）设，由求出的长；（2）先计算，，，再由得出与所成角的余弦值．【详解】（1）设由题意可知（2）又即与所成角的余弦值为18．(1)(2)【分析】（1）根据题意由正弦定理和两角和的正弦公式可得，即可得；（2）根据向量的比例关系可得，由余弦定理可解得，由面积公式即可求出结果.【详解】（1））在中，因为，由正弦定理可得，所以，又，则，所以，因此.（2）由，且，，可得，，即；在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍）所以；即的面积为.19．(1)(2)84(3)，【分析】（1）根据图中小矩形面积之和可求得；（2）利用频率分布直方图计算百分位数公式可得，第75百分位数为84；（3）将总体平均数代入总体方差公式计算可得总方差为.【详解】（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，，解得（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接与交于点，连接，则可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）连接与交于点，连接，由题意可知：点为的中点，且为的中点，则，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为，，，平面，所以平面，且平面，可得，则，因为，，，可得，即，以A为坐标原点，、、分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，，，可得设直线与平面的夹角为，则所以直线与平面的夹角的正弦值为.21．(1)，(2)淘汰赛赛制和双败赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”,人们“对强者不公平”的质疑是不对的.【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行