2023-2024学年江苏省南京市江宁区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市江宁区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）1．下面四个企业的标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，△ABC≌△CDA，则AD的对应边是（）A．BC B．AB C．CD D．AC3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，124．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线1交BC于点D．若∠DAC＝34°，则∠B的度数是（）A．34° B．30° C．28° D．26°5．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（）A．30° B．36° C．65° D．79°6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，点P在∠AOB的平分线OM上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，PC＝3，若D是OB边上任意一点，连接PD，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（）A．PD＝3 B．PD＜3 C．PD＞3 D．PD≥38．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）9．已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3，则DE＝．10．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是．11．如图，两个三角形的边和角的大小如图所示，则直接判断这两个三角形全等的依据是．12．在等腰△ABC中，有一个内角为80°，则顶角为°．13．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝．15．如图，△ABC为等边三角形，△ADC为等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，则∠BDC＝°．16．把长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则线段DE＝cm．17．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为．18．如图，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，点A，B分别在边OM，ON上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为．三、解答题（本大题共8小题，共64分.）19．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．21．（8分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．（1）作出△ABC关于直线l对称的三角形；（2）图中与△ABC全等且有公共边AC的格点三角形共有个（不包括△ABC）．22．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．23．（8分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）判断线段AE与CD的关系，并说明理由；（2）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有.（请写序号，少选、错选均不得分）．24．（8分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A′，线A′B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的，为了让交点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，C′B，证明AC+CB＜AC′+C′B，请完成这个证明；（2）如图③，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB＝∠CPD（不写作法，保留作图痕迹）．25．（8分）[问题背景]如图①，将△ABC沿折痕AD翻折，使点C落在AB边上点C′处，已知∠BAC＝80°，∠C＝65°，求∠ADB的度数；[变式运用]如图②，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B．26．（8分）（1）如图①，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则AD的取值范围是（提示：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE）；（2）如图②，在△ABC中，∠A＝90°，D是BC边上的中点，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证BE2+CF2＝EF2；（3）如图③，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，求证．（简述解题思路即可）2023-2024学年江苏省南京市江宁区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）1．下面四个企业的标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．2．如图，△ABC≌△CDA，则AD的对应边是（）A．BC B．AB C．CD D．AC【分析】根据全等三角形的性质判定即可．解：∵△ABC≌△CDA，∴AD＝BC．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确，符合题意；B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；D、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线1交BC于点D．若∠DAC＝34°，则∠B的度数是（）A．34° B．30° C．28° D．26°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，故可得出∠DAC＝∠C＝34°，进而得出结论．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝34°，∴∠B＝∠C＝34°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．5．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（）A．30° B．36° C．65° D．79°【分析】根据全等三角形对应角相等，可以求得x的值．解：∵图中的两个三角形是全等三角形，∴两个三角形中边长为4和7的边的夹角相等，∴x＝∠F＝65°．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质解答．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴CD＝DE，∵S△ABD＝20，AB＝10，∴，∴DE＝4，∴CD＝DE＝4，∴CD的长为4．故选：C．【点评】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式的运用．解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．7．如图，点P在∠AOB的平分线OM上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，PC＝3，若D是OB边上任意一点，连接PD，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（）A．PD＝3 B．PD＜3 C．PD＞3 D．PD≥3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为3，再根据垂线段最短解答．解：∵点P在∠AOB的平分线OM上，PC＝3，PC⊥OA，∴点P到OA边的距离等于3，∴点P到OB的距离为3，∵点D是OB边上的任意一点，∴PD的最小值为3，即PD≥3．故选：D．【点评】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．8．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P''，连接OP'、OP''、P'P''，则P'P''与OB的交点为点N'，P'P''与OA的交点为点M'，连接PN'、PM'，则此时P'P''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P''于点C，求得∠OP'P''的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．解：分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P''，连接OP'、OP''、P'P''，则P'P''与OB的交点为点N'，P'P''与OA的交点为点M'，连接PN'、PM'，则此时P'P''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P''于点C，如图所示：由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∵∠AOB＝60°，∴∠P'OP''＝2×60°＝120°，∴∠OP'P''＝∠OP''P'＝30°，∵OP＝4，OC⊥P'P''，∴OC＝OP'＝2．故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）9．已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3，则DE＝3．【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，即可求解．解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3，∴DE＝AB＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是15cm或18cm．【分析】等腰三角形两边的长为4cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解：①当腰是4cm，底边是7cm时，能构成三角形，则其周长＝4+4+7＝15cm；②当底边是4cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝4+7+7＝18cm．故答案为：15cm或18cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．11．如图，两个三角形的边和角的大小如图所示，则直接判断这两个三角形全等的依据是SAS．【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答．解：根据图形两个三角形长度为3的边和长度为4的边对应相等，以及他们的夹角都为30°，故可得判断这两个三角形全等的依据是边角边（SAS），故答案为：SAS．【点评】本题考查了判定三角形全等的条件，熟知判定三角形全等有SSS，SAS，ASA，AAS，HL五种条件是解题的关键．12．在等腰△ABC中，有一个内角为80°，则顶角为80或20°．【分析】根据等腰△ABC中，有一个内角为80°，并没说明此内角是顶角还是底角，故需分类讨论即可得到答案．解：∵等腰△ABC中，有一个内角为80°，∴当80°为顶角时，其顶角为80°；当80°为底角时，其顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案为：80或20．【点评】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和为180°和等腰三角形等这对等角的性质进行分类讨论是解题的关键．13．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝30．【分析】由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，最后利用三角形面积公式即可求出答案．解：由于AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴S△ABC＝×12×5＝30，故答案为：30【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理，本题属于基础题型．15．如图，△ABC为等边三角形，△ADC为等腰直角三角形，且∠ADC＝90°，则∠BDC＝45°．【分析】由题意易得△ABD≌△CBD，然后问题可求解．解：∵△ABC为等边三角形，△ADC为等腰直角三角形，∴AB＝CB，AD＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴；故答案为：45．【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．16．把长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则线段DE＝3.4cm．【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化，得出AE＝A′E，设AE＝x，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2＝ED2，从而求出AE的长，进而求出DE的长．解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴A′D＝AB＝3cm，设AE＝x，则A′E＝xcm，DE＝5﹣x（cm），∵四边形ABCD是矩形，易知△A'DE是直角三角形，在Rt△A'DE中，A′E2+A′D2＝ED2，∴x2+9＝（5﹣x）2，解得：x＝1.6，∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm），故答案为：3.4．【点评】此题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，再选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程即可求出答案．17．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为5．【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据BD＝1，BC＝3，即可推出AC的长．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．18．如图，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，点A，B分别在边OM，ON上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为7．【分析】作CH⊥AB，连接OH，OC，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理计算出CH，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OH，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH﹣OH当点C、O、H共线时取等号，即可求解．解：作CH⊥AB，连接OH，OC，CH，如图，∵AC＝BC＝13，∴，在Rt△BCH中，，在Rt△AOB中，，∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），∴点C到点O的最小距离为CH﹣OH＝12﹣5＝7，故答案为：7．【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系．能通过三角形的三边关系得出当点C、O、H共线时OC的最短值为CH﹣OH是解决此题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共64分.）19．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．【分析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD平分∠BAC，然后求得其一半的度数，从而求得答案．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝25°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．21．（8分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．（1）作出△ABC关于直线l对称的三角形；（2）图中与△ABC全等且有公共边AC的格点三角形共有3个（不包括△ABC）．【分析】（1）作出点A、B关于直线l的对称点，然后顺次连接即可；（2）画出图中与△ABC全等且有公共边AC的格点三角形即可得出答案．解：（1）△DCE为所求作的三角形，如图所示：（2）解：图中与△ABC全等且有公共边AC的格点三角形有△ACD、△ACE、△ACF，共3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查了作轴对称图形，三角形全等的判定，解题的关键是作出对应点的位置．22．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．23．（8分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）判断线段AE与CD的关系，并说明理由；（2）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有②.（请写序号，少选、错选均不得分）．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，由三角形内角和定理可得∠AMC＝∠ABC＝90°，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得AE＝CD，S△ABE＝S△BCD，由面积法可求BP＝BH，即可求解．解：（1）AE＝CD，AE⊥CD，理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，∵∠ANB＝∠CNM，∴∠AMC＝∠ABC＝90°，∴AE⊥CD；（2）如图，过点B作BH⊥CD于H，BP⊥AE于P，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△BCD，∴×AE×BP＝×CD×BH，∴BP＝BH，又∵BH⊥CD，BP⊥AE，∴BM平分∠AMD，故答案为：②．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（8分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A′，线A′B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的，为了让交点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，C′B，证明AC+CB＜AC′+C′B，请完成这个证明；（2）如图③，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB＝∠CPD（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）根据轴对称得到AC＝A′C，AC′＝A′C′，结合三角形三边关系直接求解即可得到证明；（2）作A点的对称点A′，连接A′D交BC于一点即可得到答案．【解答】（1）证明：连接A′C′，∵点A与A′关于l对称，∴l垂直平分AA′，∴AC＝A′C，AC′＝A′C′，∵A′B＜BC′+A′C′，∴AC+CB＜AC′+C′B；（2）解：作A点的对称点A′，连接A′D交BC于一点即为P点，如图所示，∵A点的对称点A′，∴∠APB＝∠A′PB，∵∠A′PB＝∠CPD，∴∠APB＝∠CPD，∴A′D交BC于一点即为P点，【点评】本题考查轴对称的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，解题的关键是根据轴对称性质及两点间线段距离最短找到最短距离点．25．（8分）[问题背景]如图①，将△ABC沿折痕AD翻折，使点C落在AB边上点C′处，已知∠BAC＝80°，∠C＝65°，求∠ADB的度数；[变式运用]如图②，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B．【分析】[问题背景]问题①根据折叠的性质可得△ACD≌△AC′D，继而得到∠CAD＝40°，再根据三角形外角的性质可得结论；[变式运用]利用①的方法，将△ABC沿折痕AD翻折，点C的对应点为点C′，可得△AC′D≌△ACD，根据全等三角形的性质可得∠AC′D＝∠C，再根据三角形外角的性质即可得证．【解答】[问题背景]解：∵△ABC沿折痕AD翻折，∠BAC＝80°，∠C＝65°，∴△ACD≌△AC′D，∴，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+65°＝105°，∴∠ADB的度数为105°；[变式运用]证明：如图，△ABC沿折痕AD翻折，点C的对应点为点C′，∵AB＞