2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学（理）质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学（理）质量检测模拟试题一、单选题1．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【正确答案】A【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.【详解】改量词：改为，否结论：否定为，所以，的否定形式为：，.故选：A.2．已知复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求其共轭复数，即可求解.【详解】，故，故的虚部为，故选：C3．函数的单调递增区间为（

）A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)【正确答案】D【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵函数，，∴，由，，解得，即函数的单调递增区间为.故选：D.4．用数学归纳法证明“≥(N*）”时，由到时，不等试左边应添加的项是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据数学归纳法的证明过程求解.【详解】数学归纳法的证明过程如下：当时，左边，原不等式成立；设当时，原不等式成立，即

…①成立，则当时，左边，即要证明左边也成立，即证

，由①知即证；故选：D.5．已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有，，所以平面，交线的方向向量可以是故选：B6．设，“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，，解得或，故不必要，故选：A7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①（）是三角函数：②三角函数是周期函数；③（）是周期函数A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①【正确答案】B【分析】按照三段论的形式：大前提，小前提，结论的形式排序即可.【详解】解：三段论为：大前提，小前提，结论，所以排序为：②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数.故选：B.8．函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（

）A．是的零点B．是的极大值点C．在区间上单调递增D．在区间上不存在极小值【正确答案】B【分析】由函数图像判断的符号，进而判断的单调性和极值情况，即可得答案.【详解】当时，，而，故；当时，，而，故；当时，，而，故；所以上递减；上递增，则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B9．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C． D．【正确答案】A【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．导数及其性质.10．设双曲线（）的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率（

）A．2 B． C．2和 D．2和【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.【详解】令，依题意，在中，，且，如图，显然，由，得，整理得，而，解得，所以双曲线的离心率.故选：A11．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3+y3－3axy=0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（

）A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y=x对称C．曲线与直线x+y=－1有公共点 D．曲线与直线x+y=－1没有公共点【正确答案】C【分析】对于A：当时，判断是否可能成立即可；对于B：将点代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.【详解】当，则方程为对于A：若，则，所以，即曲线不经过第三象限，故A正确；对于B：将点代入方程得，所以曲线关于直线y=x对称，故B正确；对于C、D：联立方程，由可得，将代入方程可得，所以方程组无解，即曲线与直线x+y=－1没有公共点，故C错误，D正确；故选：C.12．芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，生产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立个科研小组，用、、三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为，，（单位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的关系，利用余弦函数的单调性可得出与的大小关系，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出与的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，则当时，，即，所以，函数在上为减函数，因为，则，所以，，即，即，因为在上单调递减，且，所以，，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，即，所以，，则，综上所述，故选：A.二、填空题13．若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.【正确答案】【分析】根据双曲线方程的特点求解.【详解】由于是双曲线方程，；故14．在平面上，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面的距离为______.【正确答案】【分析】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,进而代入求解即可.【详解】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,所以点到平面的距离为,故答案为:本题考查类比推理,考查运算能力.15．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.①线段的最大值是②③与一定异面④三棱锥的体积为定值【正确答案】①④【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.【详解】如图，延长至，使得，则有取的中点，连接，则有，连接并延长交于点，则点为的中点.因为，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面内，且相交于点，所以平面平面.故点在线段上.由图知，，故选项①正确；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.，，.因为，所以与不垂直，而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；如图，连接，，，则有，且，故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；因为点，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.故①④.立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：(1)先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.(2)判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.16．已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是______．【正确答案】【分析】易得，分和两种情况讨论，当时，由恒成立，得，利用导数求出函数的最小值，分析即可得出答案.【详解】解：显然，若，当时，有，而，矛盾，∴，令，则恒成立，即，，因为与在都是增函数，所以函数在是增函数，又，当时，，所以存在使得，在上，，单调递减，在上，，单调递增，且，，∴，，∴，当且仅当，即时取等号，所以的取值范围是．故．本题考查了利用导数解决不等式恒成立的问题，考查了利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论思想及隐零点问题，有一定的难度.三、解答题17．设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.【正确答案】【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离.解法一：根据抛物线的定义分析求解p=1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.【详解】由题意可得抛物线C的焦点，准线，过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，则根据抛物线的定义，有AF=AE，BF=BH，所以AE+BH=AF+BF=AB=3.因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离.解法一：设，根据抛物线的定义有，，∴，而x1+x2=2，∴p=1，故抛物线C的方程y2=2x.解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，，联立方程，消去y整理得，∴，，于是，代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此抛物线C的方程为y2=2x.18．已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【正确答案】(1)见证明；(2)【分析】（1）将代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为，从而证得结果.（2）通过时，时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解的取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.【详解】（1）证明：当时，，得，知在递减，在递增，，综上知，当时，.（2）法1：，，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得.法2：由得，，当时，，知在上递减，不满足题意；当时，，知在递减，在递增.，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究函数的最值，以及研究其零点个数的问题，属于中档题目.19．已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)时，求证.【正确答案】(1)y=2x－2ln2(2)证明见解析【分析】（1）将代入的解析式，求出和，再运用点斜式直线方程求解；（2）运用导数求出的最小值，只要证明最小值即可.【详解】（1）当a=1时，，x＞0，则，，而，所以在点处的切线方程为，即；（2）对求导得，x＞0，当a＞0时，令得，当时，f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，所以，只需证明≥

，即≥0

恒成立；设，，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.20．已知四棱锥中，.(1)求证：平面平面；(2)若，线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；（2）以A为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，设线段上存在一点，即满足条件，利用向量法对二面角的余弦值列式求解即可判断.【详解】（1）由已知可知，，所以因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为，所以，所以，故两两垂直，所以以A为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，则：，设线段上存在一点，即，使二面角的余弦值为，因为，则，所以，所以，因为平面，所以平面的法向量为方向的单位向量，设平面的法向量，则，令，得，因为二面角的平面角为锐角，所以，解得舍去故线段上存在一点使二面角的余弦值为，此时.21．设函数，，其中、(1)求的单调区间；(2)若存在极值点，且，其中，求的值.【正确答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）由极值点的定义可得出，再由以及结合作差法可求得的值.【详解】（1）解：因为函数，，其中、，则，则.①当时，对任意的，且不恒为零，此时，函数的递增区间为；②当时，，由可得，由可得或，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的递增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.（2）解：因为函数存在极值点，由（1）可知，且，由题意可得，可得，由且，可得，即，即，所以，.22．如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.(1)若，轴，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角的正弦.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）首