第01讲4.1数列的概念

课程标准学习目标①了解数列的有关概念（项、项的表示）。②了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。③了解数列是特殊的函数。会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项。知识点01：数列的概念1、数列的概念一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是,,…,,…,简记为.2、数列与函数的关系由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.知识点02:数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中递减数列常数列【即学即练1】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．数列与数列是相同的数列B．数列0，2，4，6，8，…，可记为，C．数列的第项为D．数列既是递增数列又是无穷数列【答案】C【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误；对于B：当时，，不符合，故B错误；对于C：数列的第项为，故C正确；对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误；故选：C.知识点03：数列的通项公式如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.知识点04：数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知识点05：数列的性质1、数列的单调性若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；【即学即练2】（2023春·湖北·高二校联考期中）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列．故选：C.2、数列的周期性一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期.知识点06：数列的前项和1、数列前项和的概念我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即2、数列前项和与通项的关系当时，当时，用化简得：所以：【即学即练3】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式．【答案】【详解】由题知，，则，，又，符合上式，所以.故答案为：题型01数列的概念及分类【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（

）A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.【答案】ACD【详解】由数列的定义可知选项A正确；一个数列可以是常数列，因此选项B错误；根据数列的图象特征可知选项C正确；由的意义可知选项D正确，故选：ACD【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列C．数列的第k项为D．数列0，2，4，6，可记为【答案】C【详解】对A，数列可为常数数列，A错误；对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；对C，当时，，C正确；对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.故选：C【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（

）A．是无穷数列 B．是递增数列C．不是常数列 D．中有最大项【答案】D【详解】对于A，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确；对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误.故选：D【变式1】（2023·高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，【答案】B【详解】A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.【变式2】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知，则数列是（

）A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不确定【答案】A【详解】由题意可知，即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列；故选：A【变式3】（2023春·高二校考课时练习）下列叙述不正确的是（

）A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．1，3，1，3，…是常数列C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列【答案】ABC【详解】对于A，数列1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，故A错误；对于B，数列1，3，1，3，…是摆动数列，故B错误；对于C，数列0，1，2，3，…的通项公式为，故C错误；对于D，数列是递增数列，故D正确．故选：ABC．题型02根据数列的前几项求通项公式【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1)0，1，0，1，…；(2)7，77，777，7777，…；(3)，，，，…；(4)，，，，…．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【详解】（1）根据所给数列可得，.（2）根据所给数列可得，（3）根据所给数列可得，（4）根据所给数列可得，【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式：(1)2，4，2，4，…；(2)9，99，999，9999，…：(3)，，，，…．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为这个数列的前4项为，，，，由此得到它的一个通项公式．（2）因为这个数列的前4项为，，，，由此得到它的一个通项公式．（3）因为这个数列的前4项为，，，，由此得到它的一个通项公式．【变式1】（2023秋·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）数列{an}：1，，，，…，的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意．故选：D【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式：(1)，，，，……(2)，，，，……【答案】(1)（答案不唯一）(2)（答案不唯一）【详解】（1）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）.（2）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）.题型03数列中具体某项的求解与判断【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为，是否是该数列中的项？若是，是第几项？【答案】是，15【详解】解：令，即，解得或（舍去），所以是该数列中的项，且是第15项.【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【答案】(1)，(2)是这个数列中的第项(3)证明见解析【详解】（1）因为无穷数列，，，…，，…，所以该数列的通项公式为，则，.（2）因为，将代入，得，解得或（舍去），所以是这个数列中的第项.（3）因为，将代入，得，即，解得（负值舍去），又，故也不满足题意，所以不是这个数列中的项.【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．(1)求的通项公式；(2)88是否是数列中的项？【答案】(1)(2)88不是数列中的项【详解】（1）解：因为，，通项公式，所以，解得，，所以；（2）令，解得，因为，所以88不是数列中的项.题型04利用递推关系求数列的项或通项【典例1】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，，，，，，等式两边同时累加得，即，也符合该式，所以第个图形中小正方形的个数是．故选：C【典例2】个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（

）A．4 B．7 C．16 D．31【答案】C【详解】由题意得，，，所以解下第5个圆环最少需要移动的次数为16次.故选：C.【典例3】（2023·高二课时练习）如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有条边.（1）写出的值.（2）求出数列的递推公式.【答案】（1）.（2）【详解】解：（1）.（2）由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第条“雪花曲线”的四条边.∴.∴数列的递推公式为.【变式1】（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则（

）A．12 B．16 C．24 D．39【答案】C【详解】由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知.故选：C【变式2】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）数列满足，且对，恒有，则（

）A．2021 B．2023 C．2035 D．2037【答案】D【详解】由已知可得，，.故选：D.【变式3】（2023春·四川眉山·高三校考开学考试）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【详解】解：第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，…第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，故选：D题型05数列的单调性的判断及其应用【典例1】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】充分性：，因为的对称轴为，所以在单调递增，所以的最小值为，因为，所以，所以，即数列是递增数列.“”是“数列是递增数列”的充分条件.必要性：显然，当时，为递增数列.“”是“数列是递增数列”的不必要条件.综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性．(1)；(2)．【答案】(1)数列为递减数列，图见解析(2)数列为递增数列，图见解析【详解】（1），且，，数列为递减数列，如图：（2），，数列为递增数列，如图：【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）判断下列数列的单调性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)单调递减(2)单调递增(3)单调递增(4)单调递减【详解】（1）根据函数单调递减知，单调递减，所以数列是单调递减数列.（2）由为增函数知，单调递增，所以数列是单调递增数列.（3）由在上单调递增知，单调递增，所以数列是单调递增数列.（4）因为，所以，当，时，，所以，即，所以，所以数列是单调递减数列.【变式1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.【变式2】（多选）（2023秋·高二课时练习）下列数列是单调递增数列的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】因为选项A：，所以，不是单调递增数列；选项B：，所以是单调递增数列；选项C：，所以，不是单调递增数列；选项D：，所以是单调递增数列；故选：BD【变式3】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，设数列的通项公式为，其中；(1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)递增，理由见解析【详解】（1）由题意可知，又因为，所以，因此，即.（2）因为，又因为，，所以，从而，即，因此是递增数列.题型06求数列中的最大(小)项【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（）A．1， B．0， C．， D．1，【答案】A【详解】因为，所以当时，，且单调递减；当时，，且单调递减，且，所以最小项为，最大项为.故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则当最小时，（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【详解】数列中，，则，而，于是当时，，即，当时，，即，因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，所以当且仅当时，最小.故选：C【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．【答案】详见解析【详解】解：，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在时单调递增，在时单调递减；所以数列的最大项为，又，当，，所以数列的最小项为.【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为，最小项为【详解】，，而，，若要最大，则需要取最小正数，则当时，最大，若要最小，则需要取最大负数，则当时，最小．所以该数列前30项中的最大项为，最小项为.【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由．【答案】作图见解析，第4项最大【详解】,,该数列的图象如下图所示：，，设，对称轴为，且开口向下，又因为，再结合图象可知该数列有最大项,为第四项.【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为．(1)写出这个数列的前5项．(2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？【答案】(1)答案见解析；(2)有最小项，为第四项.【详解】（1）由题设，，，，.（2）由，对应二次函数开口向上且对称轴为，所以有最小项，为第四项.题型07与周期有关的数列问题【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）数列满足，且，则数列的前2024项的和（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列是以4为周期的周期数列，则，且，所以.故选：C.【典例2】（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）数列满足，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，因为，所以，，，，，所以数列具有周期性，周期为4，所以．故选：C.【典例3】（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数列满足，则.【答案】/【详解】由题设，所以是周期为3的数列，则.故答案为：【变式1】（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）若数列满足，，，则（

）A． B．－2 C．3 D．【答案】A【详解】，则，，，，所以数列是周期数列，且周期是4，因此，故选：A．【变式2】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，设，，则（

）A． B． C． D．1012【答案】C【详解】易知，由得.又，所以，，，故数列是以3为最小正周期的周期数列，所以.故选：C.【变式3】（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知数列中，，则．【答案】【详解】因为，则，两式相加得，则，所以数列的周期为6，所以.故答案为：.题型08根据数列的前项和求【典例1】（2023秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式.【答案】【详解】因为数列的前项和（为正整数），当时，，当时，，不满足.所以，.故答案为：.【典例2】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式.【答案】【详解】当时，，当时，，显然，故.故答案为：【典例3】（2023秋·上海徐汇·高二上海民办南模中学校考阶段练习）若数列的前项和为，则.【答案】【详解】数列的前项和为，当时，，而，不满足上式，所以.故答案为：【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【详解】当时，；当时，，因为，所以两式相减可得；显然不满足上式，综上可得.故答案为：【变式2】（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为.【答案】【详解】当时，，即，当时，，对于，当时，，与不符，所以.故答案为：.【变式3】（2023春·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为．【答案】【详解】，取得到，当时，，，当时，不满足所以.故答案为：.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）数列4，7，10，13，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．故选：B．2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知数列满足，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】因为，，所以；所以的周期为3，所以.故选：A.3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为数列的前项和，且，则.故选：A.4．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）设数列满足，则（

）A．7 B． C． D．【答案】C【详解】令，可得，令，可得，两式相减可得，所以.故选：C.5．（2023·河南·校联考模拟预测）《几何原本》是一部不朽的数学巨著，在这本书的第10卷中给出了“穷竭法”的基本命题.所谓“穷竭”指的是一个变量，它可以小于任意给定的量.根据穷竭法的基本命题，设数列满足，，，…，，…，若，则m可能取到的最大值为（

）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】根据题意可知，所以，，而，故可能大于1，所以m可能取到的最大值为7.故选：C6．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（

）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项【答案】B【详解】由题意可得，数列的通项公式为，令，解得.故选：B7．（2023春·福建福州·高二校联考期中）如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且．记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则（

）A．1 B．0 C．—1 D．2【答案】B【详解】由图可知，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0．第圈的最后一个点对应坐标为，在第4圈最后一个点上，则故选：B．8．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】若为递增数列，则，则有，对于恒成立．，对于恒成立，．故选：A．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，故B中通项公式不正确；对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C中通项公式正确；对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.故选：ACD10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】BC【详解】因为，，是递增数列，所以必有，即：，解得：.故选：BC.三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则此数列最大项的值是.【答案】【详解】因为，故当或时，取得最大值.故答案为：.12．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11项是【答案】【详解】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以.故答案为：四、解答题13．（2023·全国·高三对口高考）已知数列的通项公式是，试求的取值范围，使得数列为递增数列.【答案】【详解】数列为递增数列，则有，即，解得，由，则.所以的取值范围为.14．（2023春·黑龙江鸡西·高