圆锥曲线与方程单元整体教学设计

《圆锥曲线与方程》单元整体教学设计一.教学内容分析1.实际背景分析该单元选自人教A版选修数学2-1，圆锥曲线与科研生产以及人类生活关系密切，早在16，17世纪之交开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形的抛物面，发电厂冷却塔的外形是双曲线，航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用，圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于他们的几何特征及其特性。2.数学视角分析《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线的性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系，有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想，了解曲线与方程的关系。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程必修二中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究它们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。3.课程标准视角分析（1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中延续了必修二中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知定义，建立方程研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合的思想。（2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线，这部分知识的学习中，牵涉到数和形的结合问题，这里有直观感知，观察发现，归纳类比，抽象概括，符号表示，运算求解，数学建模等，通过这些方法在学生学习中的运用，来提高学生的数学思维能力，培养学生数学的核心素养。（3）发展学生的应用意识。圆锥曲线几何性质，在现实中有很多重要的应用，让学生通过学习去解决一些实际问题，如求某航天器的运行轨迹方程问题。另外，在解决圆锥曲线有关问题时，对运算求解能力分析问题，解决问题的能力要求都比较高，这需要学生综合利用前面所学的基本知识来解决问题，在教学中，应根据实际情况来采用适当的方法发展学生的应用意识。（4）巩固“双基”，发展思想。在学习中，仍然要以基础知识的夯实为主，让学生掌握圆锥曲线的定义方程，图形及几何性质形成基本的解决问题的技能，在此基础上体会数形结合思想，类比思想（研究双曲线和抛物线方程性质时类比椭圆的进行），函数与方程思想的应用（在求解直线与圆锥曲线有关问题时，要利用函数与方程思想），提高学生的运算求解能力和分析解决问题的能力。（5）信息技术手段的应用。在学生直观感知圆锥曲线图形的基础上，可以借助信息技术手段（例如，几何画板或畅言智慧课堂中的画图软件）来作出椭圆双曲线抛物线图形，利用动态演示来帮助学生观察学习，例如对离心率的教学，通过演示椭圆的变化来让学生认识离心率的作用，加深学生的印象。4.教材中几个值得注意的问题.(1)注意知识内容的衔接。必修二中的直线与方程圆与方程以及选修2-1中的圆锥曲线与方程、系列四中的选修4-4坐标系与参数方程共同构成了经典的解析几何内容，教学时应该注意这些知识的衔接，把圆锥曲线的教学放在整个解析结合内容教学中通盘来考虑，如课标中对椭圆的要求是理解对双曲线的要求是了解，而抛物线的内容理科要求理解，这些要求，应该落实好，最好不要超越研究和学习的过程，从研究直线与方程、圆的方程的方法入手，充分利用坐标法，将各部分内容有机的联系在一起。（2）圆锥曲线的第二定义和统一定义不做要求，对非标准形式的圆锥曲线方程也不做要求。（3）关于曲线方程和函数与图像之间的关系问题，这两者是不同的研究对象，但他们之间有一定的联系，也存在一定的区别。5.教学方法视角的分析.圆锥曲线是解析几何的经典内容，他的教学必须结合实际背景来展开。（1）通过直观展示来介绍圆锥曲线的背景知识，激发学生学习兴趣，提高学生的学习热情。（2）充分利用坐标法，利用直观感知研究特征，建立方程研究性质的思路，解决学生学习椭圆的知识问题，再利用类比的方法，让学生通过自主探究来完成双曲线与抛物线的知识学习。（3）利用解析几何的特点，将形与数结合渗透数形结合思想，在学习圆锥曲线知识当中的作用，引导学生从代数的角度去研究图形的几何性质。（4）运用好问题教学法，发挥教材例习题的作用，设计合理的问题，让学生去解决，帮助学生深入理解和运用圆锥曲线知识，解决相应的问题，形成基本的分析和解决问题的能力。（5）归纳整理方法的使用。教材中有很多轨迹问题，在椭圆与双曲线中，是对应出现的，可以引导学生比较分析，并归纳整理解决问题的办法，如到两定点的连线斜率之积是定值的问题，圆锥曲线第二定义的问题等，这些方式给出的椭圆，课本中多达9处，用好它们，在高考或结题中往往能领先一步，或者事半功倍，可以更快捷的解决问题。（6）使用好探究教学法。在圆锥曲线当中有很多问题值得研究解决，教学中应根据学生的实际情况，利用教材的探究问题，引导学生去探索学习，提高学生的创造性思维能力。二.教学目标分析在课程标准当中，对圆锥曲线与方程的教学目标做了如下规定1.圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，数学的知识来自于现实生活，又作用于现实生活，而圆锥曲线在实际生活中有更多领域的应用，因此让学生了解圆锥曲线的实际背景，激发学习兴趣，增加课程学习的求知欲望。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程，掌握它们的定义标准方程，几何图形及简单性质，这里重点是利用坐标法，根据椭圆抛物线的定义，从图形的几何特征出发，建立适当的坐标系，研究建立椭圆抛物线的方程，再从方程出发，结合图形来研究它们的几何性质及其简单的应用。（3）描写双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质，为了降低学生的学习难度，对双曲线的要求相比椭圆和抛物线有所降低，属于了解的范畴，仿照椭圆方程及性质的研究，可以研究双曲线的方程及相关性质。（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，传统上讲主要是直线与圆锥曲线的位置关系问题，也会出现圆和圆锥曲线的位置关系问题，研究的方式可借助直线与圆的研究方式进行充分利用方程思想，有必要说明的是，为了学生更好的解决问题，可以补充一元二次方程根与系数的关系。（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想，数形结合思想是数学当中一种重要的思想方法，在解析几何中，运用尤其突出，通过本部分的学习，该让学生学会树形，结合思想去解决一些相关的问题，借助直观来解决复杂繁难的数学问题。2曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受出云结构的基本思想，对曲线与方程的概念，学生理解比较困难，也比较抽象，因此，要通过实力来让学生体会和感受，根据以上目标规定，还得注意以下两点：（1）关于能力目标，要会根据条件求椭圆抛物线及双曲线的方程，在有关圆锥曲线性质的应用中，要去强化学生的运算求解能力，提高学生分析和解决问题的能力，在思维能力方面，要引导学生善于使用函数与方程思想和数形结合思想来解决问题，特别是树形结合思想，它是解决圆锥曲线问题中必不可少的思想方法。（2）关于情感态度，价值观主要让学生在了解圆锥曲线的实际背景过程中感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，在建立圆锥曲线方程的过程中，感受从具体情境抽象出一般规律的思想和方法，进一步体会数形结合在解析几何的作用与价值，经历坐标法，使数学的形和数有机结合的过程，体会人类研究数学时所附的经营劳动以及数学为社会做的贡献。三.学习者特征分析1.学习者的学习基础，学生在数学必修二中学习了直线与方程圆的方程，这是解析几何的初步知识，里面介绍了坐标法，建立直线与圆的方程的过程，学生了解了利用代数方法来研究几何图形的性质，这里学习圆锥曲线，是学习圆的方程的延续，可以借助学习圆的方程的方法来推进这部分知识的学习，说明在方法上，学生具有一定的基础。2.学习者的思维特质，在学完高中数学的全部必修课程，学生的数学思维能力得到了提升，数学学习的基础基本形成，独立思考解决问题的能力，进一步得到加强，这时候让学生去探究学习圆锥曲线的有关性质，就有了一定的思维支撑，但是学生的思维的创新性和批判性还是比较欠缺的，所以在圆锥曲线的大量探索性的问题面前，需要老师进行更多的引导。3.学习者的运算求解能力不一定适应这部分的学习，在圆锥曲线的学习中，学生要有较好的计算处理能力，特别是对解方程的要求比较高，在学生以前所学的解一元方程的基础上，难以适应这里的解方程，因为很多世界到二次方程组，从实践中看，学生这方面有问题，特别是解决直线与圆锥权的位置关系问题的时候，计算最容易出错，学生对含参的方程组整理成一元二次方程，感到很麻烦，教师应在学生解决直线与圆的位置关系问题基础上再强化。4.学生的归纳类比能力有待加强，在双曲线和抛物线的学习中，需要类比椭圆方程与性质的学习来进行，但是学生在类比的过程不善于甄别相似点和不同点，出现错误的问题，另外，教材再椭圆与双简单的立体中配备了很多相似的轨迹问题，需要学生归纳整理归类，以便比较学习，但是从教学实践看，学生很难做到这一点，因此，在学习完整部分内容后，教师要引导学生去归纳整理。四.教学重难点分析1.教学重点：理解和掌握椭圆抛物线的定义标准方程，几何图形及简单性质，了解双曲线的定义，几何图形和标准方程了解双曲线的有关性质，特别是渐近线的性质，以及舰近线与离心率的关系，直线与圆锥曲线的位置关系问题，处理问题曲线与方程的关系，如何求点的轨迹方程问题，体会坐标法与数形结合法的应用2.教学难点：抽象出圆锥曲线标准方程时，坐标系的建立问题，圆锥曲线线性的应用问题，直线与圆锥的位置关系问题的解决，鬼泣及球轨迹发生的问题，运用数形结合解决解析几何问题。五.学习任务及课时安排安排大约15课时，具体安排如下：2.1曲线与方程，2课时，第1课时通过实例来解决曲线与方程的关系问题，让学生初步感知如何解决简单的轨迹方程问题，第2课时求曲线方程，引导学生会根据条件，通过建立适当的坐标系求轨迹方程2.2椭圆及标准方程，5课时第1课时学习椭圆定义，推导椭圆的标准方程，第2课时解决教材和例题会根据条件求椭圆的标准方程问，特别是例2和例三，要引导学生探究坐标法求轨迹方程，第3课时是研究椭圆的几何性质，解决例4，第4课时是椭圆几何性质的应用，通过练习题的解决来巩固对椭圆几何性质的学习，第5课时，椭圆与方程性质的综合应用，可解决简单的直线与椭圆的位置关系问题，并对习题中典型的问题给解决2.3双曲线3课时，第1课时双曲线及标准方程，类比椭圆方程的建立过程来推导双曲线的标准方程，并通过实际问题的来求双曲线的标准方程，第,2课时双曲线的简单几何性质突出渐进线的学习引导学生探究离心率与渐近线斜率之间的关系，第3课时双曲线简单性质的应用，通过例六来说明直线与双曲线相交，弦长的计算方法。2.4抛物线3课时，第1课时抛物线及其标准方程，注意方程推导,中坐标系的建立问题，通过类比得到焦点不同的四种抛物线标准方程形式，会根据抛物线标准方程写出焦点坐标与准线方程，第2课时抛物线的简单几何性质，第3课时重点解决抛物线与直线的有关计算问题，注意抛物线定义及性质的应用，通过类似利五利六的解决来体会树形结合法再解决圆锥曲线问题中的作用。单元知识小结两课时。六.《双曲线及其标准方程》教学设计（一）学情分析及教学重难点1.学情分析学生已经初步认识了解析几何课程的特征,并且已经初步体验到数形结合及等价转化的数学思想方法,有了研宄椭圆的概念和标准方程的经历.这些知识都为本节课的学习奠定基础.在研宄椭圆及其标准方程时,学生已有动手体验和探究兴趣,有一定的数学实验能力以及一定的观察分析、猜想判断及逻辑推理的能力.学生刚刚升入高二,分析问题、解决问题的能力和运算能力还冇待提高,对于复杂问题的解决还需教师的启发、引导、示范.2.教学的重点和难点重点是双曲线的定义和标准方程.难点是对双曲线定义的剖析和双曲线标准方程的推导过程的化简.（二）教学目标1.知识与技能.通过实验,抽象出双曲线的定义;通过类比椭圆的标准方程推导双曲线方程.2.过程与方法让学生经历双曲线的形成过程,建构模型,抽象概括定义.运用自主探索、动手、实践、合作交流的学习方式.通过类比椭圆,学习双曲线的定义及标准方程.3.情感态度价值观通过查找实例资料和动手实践,使学生感受到数学来源于实实践，作用于实践,生活中处处有数学.让学生体验数学概念的形成过程,培养学生的创新意识.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、设置情境，导入新课问题1:同学们,圆锥曲线的家族有几个成员？问题2：我们认识了几个，都是谁？问题3：我们是如何学习椭圆的？问题4:我们今天要研究第二个成员双曲线,如何研究呢？问题5:椭圆的是如何定义的呢,如何画出来的？问题6:我们把椭圆定义中的“和”改为“差”会如何呢?回答：3个回答：1个，椭圆回答:先学习定义,再探宄方程,最后研究性质回答:类比椭閼,按照相同的顺序和方法研究。回答:阐述定义,并叙述实践作椭圆的过程课前以数学实验的形式布置给学生，让学生以小组形式完成，探究平面内到两个定点距离之差等于常数的点的轨迹.回顾椭圆定义为引出双曲线的定义作好铺垫.学生实践感知曲线巡查、指导、纠错各小组学生根据自己组的设计，自制拉链或笔筒教具:,完成数学实验.动手操作,直观感知,提高学合作意识和合作能力,激发学生兴趣.三、动态演示,分析曲线问题7:根据你们的作图,谁能给出双曲线的定义?教师借助几何画板展示与学生一道抽象出双曲线定义.问题8:形成双曲线的动点满足什么几何条件?讲解左右两支上的点分别满足的几何条件、参数限制学生观察、思考通过直观观察，由感性认识上升到理性认识，体会研究数学问题的一般路径四、小组展示,实际应用教师指导各小组用PPT展示双曲线的实际应用,如冷却塔,埃菲尔铁塔,交通规划图等图片（1)让学生了解双曲线在科研、生产、实际生活的作用,体现数学来源于生活,以数学模型为素材.(2)从具体到抽象,将实际问题抽象出数学模型,有利于认识事物.五、设计方案、独立完成问题9:双曲线的标准方程又是怎样的呢?该如何探究？问题10:根据椭圆的研宄方法,我们应该如何探宄双曲线的标准方程问题11:椭圆标准方程有几种形式?双曲线呢类比椭圆，理清思路学生类比椭圆的研宄过程,说出研宄方案,然后独立完成学生思考、回答.通过类比，容易产生另一种形式的双曲线标准方程,进一步巩固类比的方法六、学以致用，巩固提高出示问题、讲解出示练习培养实际应用能力，巩