局部信息维数与分形场的关系

局部信息维数与分形场的关系

众所周知，这种共享概念在许多学科领域得到了实际应用。例如,免疫学中抗体抗原的凝聚过程,血液中红血球的附着形成红细胞线串过程,材料科学中的晶化和树枝晶过程,都可因分形概念的引入而成功地解释;另外,分形理论还推动了计算机绘图方法的迅速发展,为传统控制理论所无法解决的非线性问题带来了生机。分形问题中必然要涉及到分维(维数),然而在现有的分形理论中,各种维数的概念都是对分形体的整体而言的。而实际情况是:自然界中现实物体上不同位置处可能存在不同的维数。这就需要引入局部维数的概念。它在不同位置处可以取不同的值。1概率分布函数c根据信息论的观点,如果一个信源中某种信号出现的概率是pi,那么它带来的信息量就是lnpi,而整个信源的信息量则为:Η=n∑i=1pilnpiH=∑i=1npilnpi一个实际的物理系统可被看成一个信源,其中某一点处出现粒子的概率可由几率分布函数ρ(r,t)来表示:p(r,t)=ρ(r,t)dτ。其中,r=(x1,x2,…,xn)为该点的n维空间的位置矢量,t为时间参数,dτ=dx1dx2…dxn为n维空间的体积元。相应地,p所产生的信息量就称为局部信息量:h=-ln[ρ(r,t)dτ](1)把信息维数定义为D=-limε→0(Η/lnε)D=−limε→0(H/lnε),将系统整体的信息量H换成局部信息量h,便可以得到局部信息维数(为了与整体维数相区别,用D′表示):2高清乳系局部充填材料的构造模型由式(3)和式(7)可以看出,局部维数与局部填充维数在体系中任何一点都有意义,并不依赖于体系本身有无相似性而存在,因而以它们为位点的函数构成了一个场,我们称之为分维场或分形场。其场方程可以由连续方程∂ρ∂t+ρv=-kρ∂ρ∂t+ρv=−kρ求出:∂D′∂t=D′∇⋅v-v⋅∇D′-kD′∂D′∂t=-[n-(D′)C]∇⋅v-v⋅∇(D′)C+k[n-(D′)C]}(8)其中,v(r,t)是点(r,t)处粒子的输运速度;ρ为有泉源或渗井时的几率增长速度;比例常数k称为增长因子,如果是有泉源的,则k>0,如果是渗井,则k<0。对于量子体系,维数函数的演化方程应由式(3)或式(7)以及薛定鄂方程共同决定:显然,局部信息维数和局部填充维数的演化方程不仅可以用于对凝聚态体系的描述,也适用于对大分子的形成过程乃至原子体系电子云的形成过程的描述。而一切形态发生学问题(如分形生长的物理机制和发生生物学等)都将可以通过填充维数的演化方程得到解释。3生长上的约束效应总的来说,对生长过程而言,在固-液(或固-汽)界面处有粒子源源不断地注入泉源,因而在方程(8)中,k>0,v>0,故k·[n-(D′)C]>0,-[n-(D′)C]∇·v>0,它们对∂(D′)C/∂t有正的贡献,使(D′)C有增加的趋势;但第二项-v·∇(D′)C的情况较为复杂:因(D′)C垂直生长面(指向固相方向),所以当粒子沿∇(D′)C方向运动时,反而对(D′)C的增加有抑制作用(-v·∇(D′)C<0),只有沿接近于生长方向(即∇(D′)C的反方向)运动的粒子才对(D′)C的增加有贡献,这就导致了如下的生长现象:(1)晶枝生长的避雷针效应在生长表面上,任何突出的部分都要比其邻近部分生长得快,这就是所谓的避雷针效应。它导致这些地方生长出一些晶尖,形成所谓的树枝晶,它们迅速向外生长,并生长出一些分支来。这一效应的根源在于:在晶枝处,一方面k(k>0)较大,另一方面有大量沿着相反方向(即晶尖指向)运动的粒子,使方程(8)右边的三项均为正值,从而使此处有最大的增长速度。(2)分形生长的屏蔽效应相对于新的生长前沿而言,较老的生长区内生长因子k极小,且老生长区内的晶尖难以获得使-v·∇(D′)C>0的粒子,使方程(8)右边的三项均为正值,从而使此处有最大的增长速度。(3)分形生长的物理机制在晶枝的生长过程中,由于某种随机涨落,可能会使晶枝产生许多突起,这些突起会因避雷针效应而继续生长,形成原晶枝的侧枝。这些侧枝可能又生长出新的侧枝,侧枝的侧枝又会有自己的侧枝,如此下去以至无穷,便形成了一个宏观上自相似的分形结构。人们在实验室中所获得的大量的高分子材料的结构及雪花、窗花等自然体系的生长过程皆有这样的特点,它们是分维场中局部填充维数不断演化的结果。(4)分形结构的对称性问题在分形结构的形成过程中,当基元(如水分子)本身的对称性破缺可以忽略时,所形成的分形结构就具有较强的对称性。但当基元的对称性破缺起作用时,所形成的分形的对称性就较差。例如,我们知道水分子具有较强的各向异性(即对称破缺性),这是导致雪花的对称性较差(只有六重对称性)的原因。尽管基元对基体表面的填充具有随机性,即基元何时何地凝固是不确定的,但是,基元一旦凝固便具有一种锁钥性:基元与基底(即生长前沿)由于各向异性而使这一过程必须象锁钥一样相互匹配,方可完成填充过程,形成稳定结构。而各基底的交换对称性(即相似性)与各基元的同一性造成了各处的相似生长,即分形生长,但总的分形体系的对称性因为各基元的对称破缺而降低。(5)非线性自相似凝聚以上讨论的是单基元的凝聚过程,当有杂质基元存在时,所形成的凝聚态体系的严格自相似性就会被破坏,出现非线性的自相似结构。杂质基元的种类越多,其非线性就越强,外观自相似程度越低。许多原始生物具有极强的自相似性,就起源于作为基元细胞的无差别性。但生物体实际上可被看成是一个单基元凝聚态体系。随着生物的进化,细胞发生不同的变化,从而使高等生物成为一多基元的凝聚态体系。其形态上的自相似性已大大降低,成为一非线性自相似体系。其中最为典型的就是DLA凝聚体的例子(见图1)。(6)大分子的形成问题对于多原子的有机化合物乃至生物大分子等多基元体的形成过程,原则上应当用式(8)来描述。这些体系的共同特点是:基元与基底的对称破缺性以及由此而导致的锁钥性更强,并且有不同的基元-基底对存在。这就难以产生无限制的分支过程,所以总体上不再具有自相似性。因此,传统的分形理论中的整体维数概念对这样的体系已不再适用。但是,由于局部维数的引入,使我们仍然可以讨论这种体系的形态及其生长问题。例如,借助分维场论的观点