考虑滑移的钢混凝土轴压刚度计算

考虑滑移的钢混凝土轴压刚度计算

钢-混凝土组合梁的原理是由于其经济性。但是,栓钉的变形将会引起混凝土和钢梁交界面上产生滑移,使截面的曲率增大,从而使弹性工作阶段由换算截面法计算得到的挠度值总是小于试验值。Newmark等建立了考虑滑移影响的组合梁平衡微分方程,由于公式较为复杂而不便于在实际工程中应用。我国现行规范《钢结构设计规范》(GB50017-2003)中,用折减刚度考虑滑移的影响。折减刚度计算公式如下:EΙ=EsΙh1+ζ(1)式中:ζ=14.4h0hξ-164.61h0Ι0hΙhξ2(2)ξ=EsA0l2⋅pnsk,Ι0=Ιs+ΙcαEA0=AcAsαEAs+Ac(3)式中:Ih是完全组合梁的换算截面惯性矩,Es是钢的弹性模量,Ec是混凝土的弹性模量,αE=Es/Ec,p是抗剪连接件的纵向平均间距,ns是连接件的列数,k是抗剪连接件刚度,k在数值上等于Ncv,但是量纲为N·mm-1,Ncv是一个抗剪连接件的承载力设计值,单位是N。l是组合梁的跨度,h是组合梁截面的高度,Ac是混凝土翼板截面面积,As是钢梁截面面积,Ic是混凝土翼板绕楼板中面的惯性矩,Is是钢梁截面绕自身形心轴的惯性矩,h0是钢梁截面形心到混凝土翼板截面形心的距离。观察式(3)可以发现,在ξ=122.861ΙhΙ0时,ζ取极大值ζmax=0.315h0hΙhΙ0,在此之前或之后ζ的值都将变小,而不是随抗剪件抗滑移刚度的增大而单调减小。这是不可能的,因为这可能会出现增加抗剪件,而使折算刚度减小的现象。下面举一个具体的算例。C20混凝土板有效宽度be=1860mm,压型钢板肋高hc2=76mm,垂直于钢梁的压型钢板上面混凝土厚hc1=64mm,钢梁截面为:H400×8×180×12/250×12,栓钉直径d=16mm,栓钉面积Astud=201.06mm,Es=206kN·mm-2,Ec=25.5kN·mm-2。组合梁设计参数如下:h0=327.95mm,A0=5255.07mm2,I0=2.3142×108mm4,Ih=6.455×108mm4,p=304.8mm,l=5670mm,k=42780N·mm-1,h=540mm。当ns分别等于1和2时,代入式(1)～式(3)得到:ns=1时ξ=0.2399,ζ=0.03531,11+ζ=0.9659,EΙ=12.8438×104kΝ⋅m2;ns=2时ξ=0.12,ζ=0.5334,11+ζ=0.6522,EΙ=8.41955×104kΝ⋅m2可以看出当栓钉增加后计算出的折减刚度反而降低了。值得注意的是上述计算数据均取自一个实际工程的算例,因此式(1)应该加以改进。1刚度组合作用系数当钢梁和楼板两者不存在组合作用时,混凝土和钢梁按照自己的形心轴弯曲,总的截面抗弯刚度为EsI0=EsIs+EcIc,当混凝土和钢梁完全组合时,截面的刚度为EsIh=EsIs+EcIc+EsA0h20。因此,在存在滑移情况下的组合梁刚度设想可以表示为EΙ=EsΙ0+ψEA0h20(4)式中ψ是钢与混凝土的刚度组合作用系数。观察式(1),可以知道,式(1)对EsIs+EcIc部分也进行了折减。但是如果将式(1)改写成式(4)的形式,则有ψ=EΙ-EsΙ0EsA0h20=Ιh/Ι0-1-ζ(1+ζ)(Ιh/Ι0-1)(5)2滑移横截面的简单倾角误差2.1界面滑动刚度公式本文试图从理论推导出发求得刚度折减系数ψ的表达式。假设混凝土楼板和钢梁的挠度相同,抗剪键的剪力-滑移关系呈线性且抗滑移刚度沿梁长均匀;混凝土和钢梁均处在弹性阶段,混凝土和钢梁的变形满足各自的平截面假定。假定梁的两个部分可以用两条轴线来代表,以纵向为x轴,梁一端为坐标原点,令横截面为y,z平面,两轴平行主方向形成右手直角笛卡尔坐标系(图1)。x,y,z方向的位移记为u,v,w,用u1,u2代表钢梁和混凝土楼板的形心的纵向位移。根据平截面假定,混凝土和钢梁交界面的滑移为s=u2+h2w′-(u1-h1w′)=u2-u1+h0w′(6)如图2所示,轴力受拉为正,弯矩以z轴正向一边受拉为正,剪力以微元体发生逆时针转动为正。弯矩M、剪力V以规定的坐标轴为依据确定,假设q>0表示指向z轴正向,数值计算时以负值代入,轴力N是指钢梁内的拉力,它与混凝土内的压力相等相反。总势能的一阶变分为:δΠ=∫l0(EsAsu′1δu′1+EcAcu′2δu′2+EsΙ0w″δw″+k(u2-u1+h0w′)(δu2-δu1+h0δw′)-qδw)dx-[V1δw(0)+V2δw(l)-Μ1δw′(0)+Μ2δw′(l)-Ν1δu1(0)+Ν1δu2(0)-Ν2δu1(l)+Ν2δu2(l)](7)分部积分后得到:δΠ=-∫l0[EsAsu″1+Κ(u2-u1+h0w′)]δu1dx-∫l0[EcAcu″2-Κ(u2-u1+h0w′)]δu2dx+∫l0[EsΙ0w(4)-Κh0(u′2-u′1+h0w″)-q]δwdx+[EsAsu′1(0)+Ν1]δu1(0)-[EsAsu′1(l)-Ν2]δu1(l)+[EcAcu′2(0)-Ν1]δu2(0)-[EcAcu′2(l)+Ν2]δu2(l)+[Κh0u2(0)-Κh0u1(0)+Κh20w′(0)-EsΙ0w‴(0)-V1]δw(0)-[Κh0u2(l)-Κh0u1(l)+Κh20w′(l)-EsΙ0w‴(l)+V2]δw(l)+[EsΙ0w″(0)+Μ1]δw′(0)-[EsΙ0w″(l)+Μ2]δw′(l)式中:K是钢与混凝土界面滑移刚度,即Κ=nskp。由变分项的任意性得到:EsAsu″1=-Κ(u2-u1+h0w′)(8a)EcAcu″2=Κ(u2-u1+h0w′)(8b)EsΙ0w(4)-Κh0(u′2-u′1+h0w″)-q=0(8c)由位移、滑移关系qu=Κs=Κ(s0+h0w′)(9)式中:s0=u2-u1为上下截面形心之间的相对滑移。由式(8)和式(9)联立可以推得:EsΙ0w(4)-h0q′u-q=0(10a)EsA0s″0=qu(10b)由式(10b)和式(9),得到:w′=(EsA0Κs″0-s0)/h0(11)对式(10b)求一次导数,对式(11)求三次导数,代入(10a)式得到:EsΙ0EsA0s(5)0-ΚEsΙhs‴0=qΚh0上式改写为:s(5)0-ρ2s‴0=qΚh0EsΙ0EsA0(12)式中:ρ=√ΚΙhEsA0Ι0。对于承受均布荷载的两端简支组合梁,求解上述微分方程得到:s0=-qh06EsΙhx3+C1sinhρx+C2coshρx+12C3x2+C4x+C5(13)代入式(11)求得w的表达式为:h0w=qh0x424EsΙh+(ΙhΙ0-1)C1chρx+C2shρxρ-16C3x3-(C42+qh02EsΙhEA0Κ)x2+(C3EsA0Κ-C5)x+C6简支梁有如下边界条件:w(0)=w(l)=0,w″(0)=0,w″(l)=0;s′0(0)=0,s′0(l)=0将解代入得到跨中挠度为:w=5ql4384EsΙh+5ql4384EsΙh(ΙhΙ0-1)3845⋅1ρ4l4[ρ2l28+1cosh0.5ρl-1](14)在跨中集中荷载作用下的简支梁的解为:s0=C1sinhρx+C2coshρx+12C3x2+C4x+C5hscw=1ρ(β-1)(C1coshρx+C2sinhρx)-16C3x3-12C4x2+(C3EsA0k-C5)x+C6此时简支梁有如下边界条件:w(0)=0,w″(0)=0,w′(0.5l)=0,s′0(0)=0,s0(0.5l)=0,khsc[s0(0)+hscw′(0)]-EsΙ0w‴(0)=12Ρ将通解代入得到跨中挠度为:w=Ρl348EsΙh+Ρl348EsΙh(ΙhΙ0-1)⋅3(0.5ρl)2[1-tanh0.5ρl0.5ρl](15)2.2等效刚度的计算对均布荷载和跨中集中荷载作用下的简支梁跨中挠度的计算表明,考虑滑移后,跨中的挠度增加,增大系数可以从式(14)和式(15)推导出来。记增大系数为αm,则αm=1+ϕ(ΙhΙ0-1)(16)均布荷载作用下:ϕ=38451ρ4l4[ρ2l28+1cosh0.5ρl-1](17a)跨中集中荷载作用下:ϕ=3(0.5ρl)2(1-tanh0.5ρl0.5ρl)(17b)两个ϕ非常接近,并且均可以采用下式很精确地加以近似计算:ϕ=1010+ρ2l2=1010+Ιh/(ξsΙ0)(18)式中ξs=EsA0Κl2。以上各式的对比见图4。确定等效刚度的原则是:按照这个等效刚度计算的简支梁跨中挠度为:5ql4384EΙ和Ρl348EΙ应该分别与式(14)和式(15)的挠度相等。利用式(14)得到:5ql4384EΙ=[1+ϕ(ΙhΙ0-1)]5ql4384EsΙh即EsΙh=EΙ[1+ϕ(ΙhΙ0-1)],展开得到:Ι0+A0h02=(Ι0+ψA0h02)+ϕ(ΙhΙ0-1)(Ι0+ψA0h02)最后可以得到:ψ=11+10ξs(19)上式满足两种极端情况下的ψ值:(i)当没有栓钉时没有组合作用,ξs=∞时,ψ=0;(ii)当剪切面抗滑移刚度无穷大时,ξs→0时,ψ=1,表示完全的组合。2.3我国栓钉承载力的计算公式作为钢-混凝土组合梁的重要组成部分,抗剪连接件保证了钢梁和混凝土协同工作。研究组合梁的挠度时,抗剪连接键的抗滑移刚度的确定是关键问题之一。栓钉抗滑移刚度的确定采用的是推出实验,得到的栓钉剪力-界面滑移曲线如图5所示。一般认为正常使用极限状态,栓钉承受的剪力为其极限荷载的50%(文献,平均的荷载系数1.3左右,混凝土的抗力分项系数1.4,考虑10%左右的富裕度,则使用极限状态验算的荷载水平是极限承载力对应荷载的1/(1.1×1.3×1.4)=1/2,而且认为此时钢-混凝土界面上的滑移为0.5毫米,由此可以计算出栓钉的抗滑移刚度在数值上就等于栓钉的极限承载力,即在数值上k=Nvs。因此,只要试验得出了栓钉的抗剪极限承载力,就可以得到其平均刚度。但是文献认为,在承担50%的荷载时界面的滑移量在0.2mm～0.4mm,在算例计算中,Johnson采用的直径19mm长度100mm的栓钉在C30混凝土(按照中国规范的混凝土强度等级)的抗滑移刚度为150kN·mm-1(相当于界面滑移0.33mm),约等于其极限承载力的1.4倍。文献取极限承载力的2倍作为界面抗滑移刚度。Colin的半足尺试验对直径9.525mm总高50.4mm的栓钉在C50混凝土中的抗滑移刚度为190kN·mm-1,是按照我国规范计算的承载力的7倍。WangC.Y.对一些试验结果进行了考察,从结果看出,栓钉抗滑移刚度的离散性是非常大的,文献最后取栓钉抗滑移刚度为:k=Νv,ks(20)但是采用上式时要注意,这里Nv,ks是承载力的标准值,并且不考虑栓钉本身剪切破坏的承载力,只考虑混凝土破坏对应的承载力计算公式。现在广泛采用的混凝土破坏对应的栓钉承载力,最早由文献归纳提出,并且在美国的AISCLRFD规范中仍在使用:Νv,ks=0.5Asf′ckEc≤fuAs(21)式中:Nvs是栓钉的抗剪承载力,As是栓钉的截面积,f′ck是混凝土的150×300圆柱体抗压强度,fu是栓钉的极限抗拉强度。美国AISC的LRFD设计规范仍然采用式(21)进行栓钉承载力的计算,其中f′ck被解释为specifiedminimumcompressivestrengthofconcrete,相当于有95%保证率的150×300圆柱体抗压强度标准值,0.85f′ckAc是面积为Ac的混凝土楼板受压达到极限状态时的轴压力,用这个压力和式(21)决定栓钉数量。这种计算栓钉承载力的方法是标准值对标准值,所以美国AISC规范没有给出配合式(21)使用的抗力分项系数。从试验结果和公式结果的对比看,式(21)是平均值,用于我国规范体系的设计显然偏大。后续研究得出的有较高保证率的栓钉承载力公式也采用式(21)的形式,仅对其中的参数进行修正,例如ECCS1981《组合结构》曾经给出过如下的公式:Νv,ks=0.46Asf′ckEc≤0.7fuAs(22)上式基本上是试验结果的下限。但是欧洲EC4(2004)对栓钉承载力的计算公式已经改为(设计值):Νvs=0.37Asf′ckEcmγv≤0.8Asfuγv(23)式中:f′ck是混凝土的150×300圆柱体抗压强度特征值(指有95%保证率的强度),Ecm是混凝土平均弹性模量,γv是栓钉承载力的抗力分项系数,EC4建议取为1.25。上式表示的栓钉承载力比我国规范的设计值小10%。我国则取栓钉承载力设计值为:Νvs=0.43AsfcEc≤0.7As(1.67fv)=1.169Asfv(24)式中:fc是我国规范的混凝土强度设计值。注意150×300的圆柱体试件的强度f′ck与我国的150mm立方体试件的强度fcu,k之间存在f′ck=(0.8~0.85)fcu,k=0.8~0.850.88×0.76fck=(0.8~0.85)×1.40.88×0.76fc=(1.675~1.779)fc如果按照式(22)作为栓钉承载力的标准值,换算到我国规范的有关记号,得到:Νv,ks=0.46Asf′ckEc=0.46As(1.675~1.779)fcEc=(0.5953~0.6136)AsfcEc上式数值接近于Νv,ks=1.4×0.43AsfcEc=0.602AsfcEc。如果以EC4公式作为计算栓钉承载力标准值的依据,则Νv,ks=0.37Asf′ckEcm=0.37As(1.675~1.779)fcEcm=(0.479~0.494)AsEcmfc本文取抗滑移刚度为上述两个式子的平均值,即k0.5=1.25×0.43AsfcEc(Ν⋅mm-1)(25)其值是我国栓钉承载力设计值的1.25倍,比Johnson的取值小。在下面与试验结果的对比中,国内的试验结果中挠度的数值在P/Pu=0.71～0.77之间读取,此时宏观的非线性已经部分开展,而栓钉附近混凝土的非线性开展更加严重,抗滑移割线刚度已经下降,此时取k0.75=11.2×0.43AsfcEc(Ν⋅mm-1)(26)文献取0.66Nvs(规范规定的设计值)作为栓钉的抗滑移刚度。Ρ/Ρu=0.45~0.5∶ξs=EsA0nsk0.5l2/p≈0.8EsA0nskl2/p=0.8ξΡ/Ρu=0.7~0.75∶ξs=EsA0nsk0.75l2/p=EsA0ns0.833kl2/p=1.2ξ在下面的试验结果的对比中,钢与混凝土的组合作用系数取Ρ/Ρu=0.45~0.5∶EΙ=Es(Ι0+ψ0.5A0h02),(27a)ψ0.5=11+8ξ(27b)Ρ/Ρu=0.7~0.75∶EΙ=Es(Ι0+ψ0.75A0h02),(28a)ψ0.75=11+12ξ(28b)挠度放大系数可以化为:αm=8ξ+18ξΙ0/Ιn+1(29)αm=12ξ+112ξΙ0/Ιn+1(30)3算法2:外加栓钉计算[3.2]vg2005下面将本文推导的公式、规范公式与来自文献的挠度试验结果进行比较,见表1和表2,其中后面的6个试件是文献的。本文公式的误差见图6,由图可见,相对于规范公式,本文公式的精度有一定的改善,而且公式形式更加简化。对表中数据进行分析得