基于二次积分法的均布荷载分析

基于二次积分法的均布荷载分析

0桩基作用下的应力目前，中国的许多技术标准都规定了沉降计算方法的规定，除了一些行业采用埃德洛法外，大多数采用分层开采法。前者是直接分析半无限空间体中不同部位的应变关系,计算出压缩量;后者则首先分析土体中的应力分布,再依据压缩模量的大小计算沉降量。在分层总和法中,对于土体中的附加应力,采用Boussinesq(1883)解。布氏课题将地基视为均质、线弹性和各向同性的半无限体,用弹性力学方法求得半无限体表面作用一竖向集中力时在地基中引起的应力,经过积分可以得到不同形式的分布荷载引起的应力场的分布情况。虽然布氏解仅仅限于荷载作用于地表的情况,仍然得到广泛应用,主要是由于过去的基础埋置深度很浅,往往仅有数米,与其采用的假定比较接近。在近20年左右,随着高层建筑和大型公用建筑的大量修建,基础埋深大大增加,很多达到20余米,而且在主体建筑下还采用桩基础,桩长一般在15～30m之间。对于这种情况,建筑荷载由基础构件传递到离地面很深的基底或桩端持力层,与布氏解荷载作用在半无限空间体表面的假定,相去很远。在这种情况下,采用荷载作用于半无限弹性体内的弹性理论Mindlin解(1936)显然更为合理,这个道理是得到认同的。对于明氏解在工程应用方面的努力,大体上有两个方向。其一是Geddes等人根据Mindlin的课题解,将桩端阻力简化为一个集中荷载,并考虑了桩侧阻力的不同分布形式,得到土体中任一点的竖向应力分布。在此基础上,黄强和刘金砺利用明氏解提出了桩基下应力分析的“等效作用法”1,该方法已经在桩基规范中得到应用。“等效作用法”的基本思路仍然是将明氏对于集中荷载的解直接应用到每根单桩上,然后将所有的桩在地基中引起的应力进行叠加,再将结果用于沉降计算。这种方法较传统的方法是一次突破,但在计算桩基沉降时,必须预先知道布桩条件,使用往往不是十分方便。特别是在勘察阶段,一般尚不具备这样的条件,因此也难以进行必要的分析,论证方案的经济合理性。这类方法很难应用到天然地基上。第二个方向是利用数学推导的方法,通过对荷载作用面积的积分,将原来集中荷载的解推广到分布荷载条件。这种努力从上世纪50年代徐志英教授等人开始。早期的工作并没有引起广泛的重视,直到本世纪初左右,出现了若干有关的文献,较有代表性的有袁聚云等和王士杰等发表的论文。特别值得注意的是王士杰等人在这个领域做了比较系统的工作。文献不仅推导了不同形态的分布荷载的公式,发现了前人的某些错误,还对成果进行了有意义的讨论。上述对于分布荷载条件下的解,无疑具有实用价值。问题是手算推导过程非常繁杂,往往长达数页,由于对参数定义的差别,不同学者推导的结果在表达形式上不同,计算结果也有一定的差别。作为工程应用的基础表达式,其正确性需要验证。随着计算机软件技术的发展,出现了可以做各种数学运算的“数学软件(mathematicssoftwares)”。这是计算机应用上的一个重要的突破,有人将这种技术称为“数学机械化的符号计算系统”。本文就是应用这种技术求得问题的解,对已有的解答进行了复核,并对结果的规律性进行了扼要的讨论。1符号运算分析软件本底组数学软件的开发和应用,大致上是从20世纪70年代开始的,常用的有Maple、Matlab、MathCAD、Mathematica等,我们仅以本文采用的Mathematica为例,对该类软件进行扼要的介绍。Mathematica是由美国物理学家StephenWolfram开发的,是一种集数学计算、处理与分析于一身的软件,拥有从多项式运算到微积分、特殊函数分析运算等丰富的功能,能支持相当复杂的符号运算、符号数值运算,并提供可视化输出。它可以解决许多数学问题而不用编制大量的程序,操作简单、易学、易用。它还是一个交互式计算系统,计算是在用户和Mathematica系统之间互相交换、传递信息数据的过程中完成的。Mathematica系统所接受的命令都被称作“表达式”,系统在接受了一个表达式后就对它进行处理,然后返回计算结果。在输入一个数学公式、方程组、矩阵等之后计算机能直接给出结果,用户无需考虑中间的计算过程。具有强大的符号计算功能是该软件的一个显著特点,它直接支持符号运算,用户只要在计算机上输入数学公式、符号和等式等,就可以很容易地算出代数、积分、三角以及很多科技领域中的复杂表达式的值。同时它又具有显示数学表格和图形功能,可使用户对问题的理解、分析更加形象和具体。优秀的数学计算软件有一个共同的比较突出的优点,即能够保证以正确输入为前提下的复杂运算过程的正确性。本文采用的系统Mathematica系统,经过大量使用和考核,具有这种特点。2下深度z处a点引起的应力增量作为比较目标,首先对布氏解进行简单的回顾。地基表面作用有一竖向集中力P在地基中任意点M(x,y,z)所引起的竖向应力布氏解为σz=3p2πz3R5σz=3p2πz3R5(1)式中:R为点M与集中力作用点之距离,m。矩形面积受竖向均布荷载p作用时,整个作用面在角点下深度z处A点引起的竖向应力增量可对上式积分求出σz=p2π[BLz(B2+L2+2z2)(B2+z2)(L2+z2)√B2+L2+z2+arctanBLz√B2+L2+z2]=p2π[mn(1+m2+2n2)(1+n2)(m2+n2)√1+m2+n2+arctanmn√1+m2+n2]=αp(2)σz=p2π[BLz(B2+L2+2z2)(B2+z2)(L2+z2)B2+L2+z2√+arctanBLzB2+L2+z2√]=p2π[mn(1+m2+2n2)(1+n2)(m2+n2)1+m2+n2√+arctanmn1+m2+n2√]=αp(2)式中:B、L为矩形荷载面积宽度和长度,m;m=LB,n=zBm=LB,n=zB;α为附加应力系数。如果计算点处在矩形面积中任意点以下,可将整块面积以该点为公共点划分为4块,总的附加应力系数为4块面积角点附加应力系数之和,即“角点法”。3明代土壤生产力分布的明代解3.1土的泊松比z弹性半无限空间体内距表面深度h处作用有一竖向集中荷载p时,在半无限体内任一点M(x,y,z)处产生的竖向应力分量的表达式为σz=p8π(1-μ)[(1-2μ)(z-h)R31-(1-2μ)(z-h)R32+3(z-h)3R51+3z(3-4μ)(z+h)2-3h(z+h)(5z-h)R52+30hz(z+h)3R72σz=p8π(1−μ)[(1−2μ)(z−h)R31−(1−2μ)(z−h)R32+3(z−h)3R51+3z(3−4μ)(z+h)2−3h(z+h)(5z−h)R52+30hz(z+h)3R72(3)式中:R1=√x2+y2+(z-h)2R1=x2+y2+(z−h)2−−−−−−−−−−−−−−√;R2=√x2+y2+(z+h)2R2=x2+y2+(z+h)2−−−−−−−−−−−−−−√;μ为土的泊松比。在上式中,如果h=0,R1=R2,可以退化为式(1),相当于集中荷载作用在表面的情况。计算简图见图1。3.2在方程表面的均匀负荷和明代的情况下3.2.1算法+2arctanbl-z2+h-z2+2+22+2+22+22+22+22+22+22+2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222弹性半无限体内矩形均布荷载作用下角点的竖向应力见图2。距地表深度h处的矩形荷载面积长度为L,宽度为B,该范围内单位面积上的均布荷载为p。为确定在这种荷载条件作用下矩形面积角点下点M(0,0,z)处的竖向应力增量Δσz,在矩形面积内取一长宽分别为dx,dy的微单元面积,其上作用的荷载为:dp=pdxdy。当微单元面积足够小时,可以将dp看成集中荷载,根据集中荷载作用下的明氏解可求得M点在dp作用下的竖向应力增量dσz:整个作用面积在M点引起的竖向应力增量可以对上式积分求出Δσz=ʃLx=0ʃBy=0pdxdy8π(1-μ)[(1-2μ)(z-h)R31-(1-2μ)(z-h)R32+3(z-h)3R51+Δσz=ʃLx=0ʃBy=0pdxdy8π(1−μ)[(1−2μ)(z−h)R31−(1−2μ)(z−h)R32+3(z−h)3R51+3z(3-4μ)(z+h)2-3h(z+h)(5z-h)R52+30hz(z+h)3R72]3z(3−4μ)(z+h)2−3h(z+h)(5z−h)R52+30hz(z+h)3R72]利用数学软件Mathematica的符号计算功能,可方便地将上式的积分结果求出Δσz=p8π(1-μ){(-2+2μ)arctanBL(h-z)√B2+L2+(h-z)2+(2-2μ)arctanBL(h+z)√B2+L2+(h+z)2-BL[B2+L2+2(h-z)2](h-z)[B2+(h-z)2][L2+(h-z)2]√B2+L2+(h-z)2-2hLz(h+z)3B[B2+(h+z)2][B2+L2+(h+z)2]3/2+2hLz(h+z)3(h+z-B)(h+z+B)B3[B2+(h+z)2]2√B2+L2+(h+z)2+4hLz(h+z)√B2+L2+(h+z)2B[L2+(h+z)2]2-2hLz[-3B2+(h+z)2]√B2+L2+(h+z)2B3(h+z)[L2+(h+z)2]+BL[B2+L2+2(h+z)2][h2-2hz+3z2-4zμ(h+z)](h+z)[B2+(h+z)2][L2+(h+z)2]√B2+L2+(h+z)2}=p8π(1-μ){(-2+2μ)arctanm(k-n)√1+m2+(k-n)2+(2-2μ)arctanm(k+n)√1+m2+(k+n)2-m[1+m2+2(k-n)2](k-n)[1+(k-n)2][m2+(k-n)2]√1+m2+(k-n)2-2kmn(k+n)3[1+(k+n)2][1+m2+(k+n)2]3/2+2kmn(k+n)3(k+n-1)(k+n+1)[1+(k+n)2]2√1+m2+(k+n)2+4kmn(k+n)√1+m2+(k+n)2[m2+(k+n)2]2-2kmn[-3+(k+n)2]√1+m2+(k+n)2(k+n)[m2+(k+n)2]+m[1+m2+2(k+n)2][k2-2kn+3n2-4nμ(k+n)](k+n)[1+(k+n)2][m2+(k+n)2]√1+m2+(k+n)2}(4)Δσz=p8π(1−μ){(−2+2μ)arctanBL(h−z)B2+L2+(h−z)2√+(2−2μ)arctanBL(h+z)B2+L2+(h+z)2√−BL[B2+L2+2(h−z)2](h−z)[B2+(h−z)2][L2+(h−z)2]B2+L2+(h−z)2√−2hLz(h+z)3B[B2+(h+z)2][B2+L2+(h+z)2]3/2+2hLz(h+z)3(h+z−B)(h+z+B)B3[B2+(h+z)2]2B2+L2+(h+z)2√+4hLz(h+z)B2+L2+(h+z)2√B[L2+(h+z)2]2−2hLz[−3B2+(h+z)2]B2+L2+(h+z)2√B3(h+z)[L2+(h+z)2]+BL[B2+L2+2(h+z)2][h2−2hz+3z2−4zμ(h+z)](h+z)[B2+(h+z)2][L2+(h+z)2]B2+L2+(h+z)2√}=p8π(1−μ){(−2+2μ)arctanm(k−n)1+m2+(k−n)2√+(2−2μ)arctanm(k+n)1+m2+(k+n)2√−m[1+m2+2(k−n)2](k−n)[1+(k−n)2][m2+(k−n)2]1+m2+(k−n)2√−2kmn(k+n)3[1+(k+n)2][1+m2+(k+n)2]3/2+2kmn(k+n)3(k+n−1)(k+n+1)[1+(k+n)2]21+m2+(k+n)2√+4kmn(k+n)1+m2+(k+n)2√[m2+(k+n)2]2−2kmn[−3+(k+n)2]1+m2+(k+n)2√(k+n)[m2+(k+n)2]+m[1+m2+2(k+n)2][k2−2kn+3n2−4nμ(k+n)](k+n)[1+(k+n)2][m2+(k+n)2]1+m2+(k+n)2√}(4)式中:m=LB‚n=zB‚k=hB。从Mathematica得到的式(4)虽然从形式上看复杂一些,但变量关系明确简单,很容易做成人们熟悉的、像布氏解那样的表格,供查阅计算。3.2.2明氏解的退化1)式(4)中,当h=0或k=0时,可以得到矩形均布荷载作用于地表时,角点下一点的竖向应力增量的表达式即布氏解。实际上,布氏解与明氏解都是基于弹性理论推导得到的,二者之间的区别仅仅在于假定荷载作用位置的不同,当荷载作用位置距半无限体表面距离为零时,明氏解将退化为布氏解,即布氏解是明氏解的特例。以此可对上述积分结果的正确性进行退化验证。在上述积分结果中,如果h=0,可以退化为式(2)。2)将上述成果与文献进行了比较,证明二者虽然在结果的表达上有所不同,在不同条件下的计算结果是完全一致的,应该可以作为任何工程应用的基础。4计算的讨论4.1不同泊松比对分析结果的影响布氏解的表达式中没有出现泊松比μ,因此解也不受其影响,而明氏解则与μ有关。为了考察μ对明氏解的影响,图3给出了荷载作用相对基础埋置深度比(或埋深比)k=h/B=0.3、0.5、1.0、2.0、3.0、5.0,矩形荷载面积长宽比m=L/B=1、10,泊松比μ=0.1、0.3、0.5时角点下不同深度n′=z′/B(z′=z-h,为从矩形面积荷载角点下起算至计算点的距离)的附加应力系数变化曲线(见图3)。每一幅图表示了不同的埋深比(即基础埋深与宽度之比k=h/B)下,m分别为1和10(代表矩形基础和近似代表条形基础两种极端情况)时,泊松比μ对分析结果的影响。从每幅图中都可以看出,分析曲线大致聚类为2个簇,每簇分别代表了m对于1和10的情况。每簇3条曲线内部,则是μ等于0.1、0.3和0.5造成的差别。可以看出,不同的泊松比仅仅在k值较大时,比如基础埋深达到宽度的2倍,且在基础下一定深度范围内,有一定影响。即当k=1～2时,泊松比从0.1变到0.5(一般土体的变化不会这样大),影响程度在10%之内。对于大多数情况,取μ=0.3进行实用表格的计算,误差完全满足一般工程要求。实际上,叶果洛夫法的处理方式也是如此。4.2应力系数的与布氏解的比较为了比较荷载作用在不同深度时,采用明氏与布氏两种方法计算角点下附加应力系数的不同,我们可以根据(4)式计算求得μ=0.3、不同长宽比矩形面积荷载作用在深度k=h/B=0.3、0.5、1.0、2.0、3.0、5.0时,角点下不同深度处的明氏应力系数并与布氏解进行比较(限于篇幅,此处不再列出),可以得出以下的规律:1)采用布氏解求得的应力系数大于采用明氏解所求得的结果。当荷载作用面距地面较浅(或基础埋深较浅)时,二者之间的差别不大,可近似看作相等,采用布氏解求解不会带来很大的差别。k=h/B=0.3和0.5时,角点下基础与地基的接触面附近,两种解的差别不会大于7%。随着作用深度的增加,比如k=h/B大于0.5时,二者之间的差别将增大很多。对于矩形基础,差别可达到20%左右。当k=h/B达到5时(这种条件在桩基础中会遇到),明氏解的应力只有布氏解的二分之一。2)当荷载作用深度一定,或基础埋深一定时,角点下不同深度处明氏解与布氏解的差别随深度的增加而减小,二者间的差别在角点附近处最大。在基础下,相当于4～5倍基础宽度的深度上,二者的差别可以忽略,最终趋于一致。4.3应力系数分布曲线下面以埋深比k=h/B=3为例,对矩形基础中心点下应力系数的明氏解与布氏解分布进行比较见图4。基础中心线左侧为中心点下布氏应力系数分布曲线,右侧为明氏应力系数分布曲线,两侧由内到外5条曲线依次表示基础中心点下2B深度范围内,长宽比m=1、2、3、4、10时的分布曲线。从图中可以看出,当k=3时,明氏应力系数明显小于布氏应力系数,只有布氏应力系数的50%左右。如果