教案椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质(1)椭圆的标准方程有两个，焦点在x轴上焦点在y轴上教学过程

椭圆的简单几何性质１、范围对于椭圆：（a>b>0)为例由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式≤1,即x2≤a2,y2≤b2，

∴∣x∣≤a,∣y∣≤b.≤1,教学过程

椭圆的简单几何性质x这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里。oy教学过程

椭圆的简单几何性质

在椭圆上，任取一点(x,y),其关于x轴、y轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于x轴、

y轴和坐标原点都是对称的。xo(x,y)(x,﹣y)(﹣x,y)(﹣x,﹣y)y

２、对称性

其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.教学过程

椭圆的简单几何性质从图形上看:椭圆关于x轴、y轴、原点对称.从方程上看：(1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;(2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不

变，图象关于原点成中心对称。教学过程

椭圆的简单几何性质２、对称性３、顶点

在椭圆的标准方程里，令x=0,得y=±b.即Ｂ1(0,﹣b)、Ｂ2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点．令y=0,得x=±a,即Ａ1(﹣a,0)、A2(a,0)椭圆与x轴的两个交点．

即椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长教学过程xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)y

椭圆的简单几何性质离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:0<e<11)e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁

2)e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:4.离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响:教学过程

椭圆的简单几何性质图象方程性质范围顶点离心率F1F2xyF1F2xy对称性︱x︱≤a︱y︱≤b关于x轴、y轴、都对称﹙±a,0﹚﹙0,±b﹚︱y︱≤a︱x︱≤b坐标原点关于x轴、y轴、都对称坐标原点﹙0,±a﹚﹙±b,0﹚﹙a﹥b﹥0﹚﹙a﹥b﹥0﹚e=e=准线教学过程例1：求椭圆9x2+y2=100的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.教学过程

椭圆的简单几何性质例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点P(﹣3,0)、Q(0,﹣2);(2)长轴的长等于20，离心率等于0.6

归纳小结强化记忆教学过程学生思考总结回答椭圆的标准方程是什么？椭圆有哪些几何性质？椭圆部分的典型习题你能独立解决了吗？椭圆的简单几何性质(2)图象方程性质范围顶点离心率F1F2xyF1F2xy对称性︱x︱≤a︱y︱≤b关于x轴、y轴、都对称﹙±a,0﹚﹙0,±b﹚︱y︱≤a︱x︱≤b坐标原点关于x轴、y轴、都对称坐标原点﹙0,±a﹚﹙±b,0﹚﹙a﹥b﹥0﹚﹙a﹥b﹥0﹚e=e=准线教学过程例5如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.yF2F1xoBCA例5如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为yF2F1xoBCA所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。FlxoyMHd变式、点M（x,y)与定点F（c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M的轨迹。yFF’lI’xoP={M|}由此得将上式两边平方，并化简，得设a2-c2=b2,就可化成这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b的椭圆M解：设d是M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合FF’lI’xoy

由变式可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。此为椭圆的第二定义.

对于椭圆，相应于焦点F（c,0)准线方程是,根据椭圆的对称性，相应于焦点F‘(-c.0)准线方程是,所以椭圆有两条准线。由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：设P(x0,y0)是椭圆上的一点,F1(c,0),

F2(c,0)分别是椭圆的左焦点、右焦点,我们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径.

该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之间，如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”号连接．焦半径公式①焦点在x轴上时：│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；②焦点在y轴上时：

│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。课堂练习1、椭圆上一点到准线与到焦点（-2，0）的距离的比是（）B2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是()C3.若一个椭圆的离心率e=1/2,准线方程是x=4,对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是____________3x2-8x+4y2=0例7.解：变式:1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.无法确定B2.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的4倍，且椭圆过点，求P点到左焦点和右准线的距离之比。小结

1.椭圆的第二定义

2.焦半径：①焦点在x轴上时：│PF1│=a+ex0，│PF2│=a-ex0；②焦点在y轴上时：

│PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：<0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点>0相交方程组有两解两个交点代数方法=n2-4mp例1：直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。lmm例5已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标的取值范围.例6：求椭圆上一点P,使得点P与椭圆两焦点连线互相垂直.【练习】(a＞b＞0)上一点，是两个焦点，半焦距为c，则的最大值与最小值之差一定是（）.A.1B.C.D.xOyPFQDBA(a＞b＞0)，F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P，Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆（）A.1个B.3个C.4个D.5个DD２、弦长公式：设直线l与椭圆C相交于A(x1