专题07 二次函数单元过关（基础版）解析版

专题07二次函数单元过关（基础版）考试范围：第二十二章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）将二次函数y=x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（A．y=x+22+3 B．y=x+22-3【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=x2的图象的顶点坐标为0,0，则可得到平移后得到的函数图象的顶点坐标为2,-3【详解】解：∵二次函数y=x2的图象的顶点坐标为0,0∴将二次函数y=x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的顶点坐标为2,-3∴得到的函数图象的表达式是y=x-2故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．2．（2022春·全国·九年级专题练习）抛物线y=-x2+2和A．y轴，直线x=2 B．直线x=2，x=-2 C．直线x=-2，直线x=2【答案】D【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴．【详解】解：y=-x2y=-(x+2)故选：D．【点睛】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y=a(x-h)2+3．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）抛物线y=-3x+22的对称轴是直线（A．x=3 B．x=-3 C．x=2 D．x=-2【答案】D【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线y=-3x+22的对称轴是直线【详解】解：抛物线y=-3x+22的对称轴是直线故选：D．【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题的关键．4．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+A．-1.5≤x≤7 BC．-1.5<x≤7 D．x【答案】A【分析】结合两函数图象交点求出一次函数图象在二次函数图象上方（包括交点）时，x的取值范围即可；【详解】求使y1≥y2成立的∵一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax∴当-1.5≤x∴使y1≥y2成立的故选A．【点睛】本题考查根据一次函数图象与二次函数图象的交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题的关键．5．（2022春·全国·九年级专题练习）二次函数y=x-12-2，若y随x的增大而增大，则xA．x>1 B．x<1 C．x>-1 D．x<-1【答案】A【分析】根据二次函数图象开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，和二次函数的顶点式y=ax【详解】解：∵y=∴函数图象开口向上且对称轴为x=1∴当x>1时，y随x故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质及二次函数的顶点式，熟练掌握当抛物线开口向上时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大是解答本题的关键．6．（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（

）A．m>2 B．m>32 C．m<1 D【答案】B【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞32故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．7．（2022秋·九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么点PA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出Pb,【详解】由函数图像可得：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴在y轴右侧，∴-b∴b<0，又∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴a∴Pb,故选：C【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．8．（2022秋·河南漯河·九年级校考阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（

）A．20米 B．18米 C．10米 D．8米【答案】A【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与x轴的交点坐标即可求解．【详解】解：∵喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，设抛物线解析式为y=ax-82+1.81=64a+1.8解得a=-∴抛物线解析式为y=-令y=0，解得x=20（负值舍去）即C20,0∴OC=20故选：A【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．9．（2022·新疆·统考中考真题）已知抛物线y=(x-2)2+1A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2 C．抛物线的顶点坐标为(2,1) D．当x<2时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．【详解】解：抛物线y=(x-2)2+1中，a＞0由解析式得，对称轴为直线x=2，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当x=2时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，因此当x<2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，对称轴为x=h10．（2023秋·福建莆田·九年级校联考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过Ax1,y1，B1-m,nA．存在实数a，使得ayB．不存在实数a，使得y1C．对于任意aa≠0，aD．对于任意aa≠0，y【答案】C【分析】根据抛物线点B1-m,n，Dm+3,n得出对称轴，然后根据x1-2>【详解】解：∵y=ax2+bx+c过点B1-m,n∴对称轴为：x=1-m+m+3∵x1∴点A比点C离对称轴远，若a>0，x1,x∴a(y若a>0，x1,x∴a(y若a<0，x1,x∴a(y若a<0，x1,x∴a(y综上：对于任意aa≠0，a故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，读懂题意，得出二次函数的对称轴，根据对称轴分析增减性是关键．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）若二次函数y＝（a+1）x2过点（3，18），则a＝_______【答案】1【分析】将点（3，18）代入二次函数的解析式即可得出a的值．【详解】解：将点（3，18）代入二次函数y＝（a＋1）x2得：18＝（a＋1）×3∴a＋1＝2，∴a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键．12．（2022秋·九年级单元测试）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是_____．【答案】a＞﹣1．【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【详解】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．13．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为【答案】y=【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=x2先向上平移2个单位长度，再向左平移得到的抛物线的函数表达式为：y=(x+3)故答案为：y=(x+3)【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．14．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）已知点A(0,a),B(4,b)是抛物线y=x2-2x+2022上的两点，则a，b【答案】a<b【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴与开口方向，根据点A，B到抛物线对称轴的距离求解．【详解】解：∵y=x∴抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，∵1-0<4-1，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，∴a<b，故答案为：a<b【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，15．（2022·四川遂宁·九年级专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤b2＞4ac．其中正确的（填序号）______【答案】①③⑤【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴x=1和当x=-1时，y的值，即可判断结论②；由对称轴x=1和当x=2时，y的值，即可判断结论③；由抛物线的增减性可判断结论④；由抛物线与x轴的交点可判断结论⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下、顶点在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴−b2a=1∴b=-2a，∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故②错误；∵抛物线的对称轴直线x=1，一个交点在-1和0之间，∴另一个交点在2和3之间，∴当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故③正确；∵抛物线开口向下，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故④错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；综上，正确的有①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．16．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n【答案】1≤n<10【分析】先判断-2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，∴-2<m<2，∵点P(m,n)在二次函数y=x∴n=m∴当m=-1时，n有最小值为1．当m=2时，n=2+1∴n的取值范围为1≤n<10.故答案为：1≤n<10【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．评卷人得分三、解答题17．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．【答案】y=-3【分析】设抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3【详解】解：设二次函数解析式为：y=a(x-h)∵顶点坐标为P（﹣2，3），∴y=a(x+2)将点A（﹣3，0）代入得a(-3+2)2+3∴y=-3(x+2)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键．18．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线的解析式为y=x（1）将其化为y=ax-h（2）求出抛物线与x轴交点坐标．【答案】（1）y=x-12-4，顶点坐标为1,-4；（【分析】（1）根据配方法可直接把函数解析式配成顶点式，然后由顶点式可得顶点坐标；（2）令y=0时，代入求解即可．【详解】解：（1）将抛物线的解析式y=x2-2x-3化为y=a∴顶点坐标为1,-4；（2）令y=0时，代入得：x2解得：x1∴抛物线与x轴的交点坐标为-1,0,【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2-5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5,4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】（1）a=1，P52,-94【分析】（1）把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a即可求得a的值，利用配方法即可求得顶点坐标；（2）根据原点坐标(0，0)以及平移规律确定出抛物线解析式即可．【详解】（1）把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a得：a=1，所以y=x2-5x＋4=(x-所以点P的坐标为：(52（2）将抛物线y=x2-5x＋4向下平移４个单位，得：y=x【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2023秋·云南玉溪·九年级校考阶段练习）我校各班积极参与班级文化墙建设，某广告公司准备为年级设计一幅周长为12m的矩形广告牌，表彰年级优秀学生，广告设计费为每平方米400元，设矩形一边长为x(m)，面积为S(m2).（1）求S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.（2）为获得最多的广告设计费，广告牌的长，宽各应多少米？广告设计费最多是多少？【答案】（1）s=-x2+6x（0<x<6）；（2）长3米，宽3米，3600元【分析】（1）设矩形一边长为xm，则另一边长为12-2x2m，根据面积得出S与x（2）利用配方法求最值即可．【详解】解：（1）设矩形一边长为xm，面积为Sm2，则另一边长为12-2x2m则其面积S=x•12-2x2=x（6-x）=-x2+6x（0<x<6（2）S=-x2+6x=-（x-3）2+9，∵a=-1＜0，S有最大值，当x=3时，S最大值=9．∴设计费最多为9×400=3600（元）．答：广告牌的长3米，宽3米，广告设计费最多是3600元．故答案为（1）s=-x2+6x（0<x<6）；（2）长3米，宽3米，3600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题．21．（2023·福建厦门·校考模拟预测）如图，已知二次函数图象的顶点为P，与y轴交于点A．（1）在图中再确定该函数图象上的一个点B并画出；（2）若P（1，3），A（0，2），求该函数的解析式．【答案】（1）图见解析；（2）y＝﹣（x﹣1）2+3．【分析】（1）过P点作x轴的垂线得到抛物线的对称轴，然后作点A关于对称轴的对称点即可；（2）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把A点坐标代入求出a即可．【详解】解：（1）如图，点B即为所求；（2）由二次函数图象顶点为P（1，3），可设解析式为y＝a（x﹣1）2+3，把A（0，2）代入得：a+3＝2，解得a＝﹣1，所以函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3．【点睛】本题考查了抛物线的性质和待定系数法求函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握二次函数的基本知识是关键.22．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知二次函数y(1)利用所给的表格在坐标系中画出这个函数的大致图象并求出该函数图象的顶点坐标：______；对称轴：_________；图象与x轴交点坐标∶________，________．x……y……(2)利用函数图象直接写出：①当y<0时，x的取值范围为________________②当0<x<3时，y的取值范围为【答案】(1)图象见解析；(1，4)，直线x=1，(2)①x<-1或x>3；【分析】（1）将二次函数y=-x2+2x（2）①根据图象与x轴的交点坐标，可确定y<0时，x②根据图象与y轴和x轴的交点坐标以及顶点坐标，可确定0<x<3时，【详解】（1）解：∵y=-∴抛物线的顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线与x轴交点为(-1，0)，x…-10123…y…03430…描点、连线，图象如下：；故答案为：(1，4)，直线x=1，（2）解：由图象可知：①当y<0时，x<-1或②当0<x<3时，故答案为：①x<-1或x>3；②【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a(x-23．（2022秋·九年级单元测试）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y=14x+25（1≤x≤20(1)求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；(2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？(3)“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．【答案】(1)日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为p=(2)当x=10时，销售利润最大，w最大=450元(3)a的值为6【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为p=kx+b，代入数据得：k+b=78（2）设日销售利润用w表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系w=（3）根据函数的性质p=-2x+80，k=-2＜0，y随x的增大而减小，x=1时，p最大=-2×1+80=78盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），根据y=14x+25，k=14＞0,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=14×20+25=【详解】（1）解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为p=kx+b，代入数据得：k+b=78解得：k=-2∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为p=-（2）解：设日销售利润用w表示，w=-=-1当x=10时，销售利润最大，w最大=450元；（3）∵p=-2x+80，k=-2＜0，y随∴x=1时，p最大=-2×1+80=78盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a∵y=14x+25，k=14＞0,y随x的增大而二增大，x=20时y∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，根据题意：30-a-2078+7a整理得7a解得a1∴a的值为6．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键．24．（2023·河南商丘·统考二模）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【答案】(1)y=-(2)23(3)能通过，见解析【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式；(2)把y=13(3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题．【详解】（1）解：∵最高点E到地面距离为4米，∴EF=4米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，∴设抛物线的解析式为y=ax2∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BCO=90°，又∵∠COF=90°，∴四边形BCOF是矩形，∴OF=BC=3米，∴OE=EF-OF=4-3=1(米)，∴点E的纵坐标为1，∴c=1，∴y=ax又∵AB=CD=4米，∴点C的坐标为(2,0)，把点C的坐标代入解析式，得4a解得a=-故抛物线的解析式为y=-1（2）解：把y=13得-1解得x1=3故在距离地面134米高处，隧道的宽度是3--3（3）解：这辆货运卡车能通过该隧道；当x=1.2时，y=-1∵3+0.64=∴这辆货运卡车能通过该隧道．【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所求问题需要的条件．25．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【答案】(1)y=(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），-1，-2+【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax（2）先求出直线AB关系式为：y=-x-4，直线AB平移后的关系式为：y=-x-4+n，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB