整式的乘法与因式分解复习题 2020－2021学年上学期重庆市各地八年级上学期期末数学试题分类选编

整式的乘法与因式分解复习题——2020－2021学年上学期重庆市各地八年级上学期期末数学试题分类选编一、单选题1．（2018·重庆江津·八年级期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-32．（2021·重庆梁平·八年级期末）已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．33．（2018·重庆江津·八年级期末）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n24．（2020·重庆江北·八年级期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．（2020·重庆北碚·八年级期末）把分解因式，结果正确的是()A． B．C． D．6．（2019·重庆荣昌·八年级期末）下列各运算中，计算正确的是（）A．a12÷a3=a4 B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D．2a•3a=6a27．（2018·重庆綦江·八年级期末）如果(x－2)(x＋3)=x2＋px＋q，那么p、q的值是（）A．p=5，q=6 B．p=1，q=－6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=－68．（2021·重庆万州·八年级期末）已知满足，，则的值为（）A．4 B．1 C．0 D．-89．（2021·重庆八中八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．10．（2018·重庆北碚·八年级期末）计算所得的结果是（）A． B．2 C． D．11．（2021·重庆渝中·八年级期末）在下列运算中，正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y212．（2018·重庆綦江·八年级期末）下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；②x3+x=x(x2+1)；③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2021·重庆北碚·八年级期末）若4x2+kx+25=（2x+a）2，则k+a的值可以是（）A．-25 B．-15 C．15 D．2014．（2021·重庆巴南·八年级期末）若，，，则（）A． B． C． D．15．（2018·重庆江津·八年级期末）下列计算中正确的是（）A．a2+b3＝2a5 B．a4÷a＝a4 C．a2•a4＝a8 D．（﹣a2）3＝﹣a616．（2021·重庆北碚·八年级期末）已知，，则的值为A． B．50 C．500 D．二、填空题17．（2019·重庆荣昌·八年级期末）若是关于的完全平方式，则__________．18．（2019·重庆八中八年级期末）因式分解：__________．19．（2019·重庆·八年级期末）分解因式：__________．20．（2021·重庆一中八年级期末）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．21．（2017·重庆·八年级期末）若x﹣=2，则x2+的值是______．22．（2020·重庆一中八年级期末）分解因式：_____．23．（2019·重庆大渡口·八年级期末）若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________．24．（2018·重庆·八年级期末）因式分解：_____．25．（2020·重庆一中八年级期末）“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货和，已知和的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额.于是小明又购买了、各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元.小明经仔细计算发现前面粗略测算时把和的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.26．（2018·重庆市聚奎中学校八年级期末）计算：___________________．三、解答题27．（2019·重庆·八年级期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：_________；（2）因式分解：；（3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．28．（2018·重庆·八年级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，，是“和数”，，是“谐数”，是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知（，且均为整数）是一个“和数”，请求出所有．29．（2018·重庆·八年级期末）若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．30．（2018·重庆北碚·八年级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.（1）图2的阴影部分的正方形的边长是______.（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.（方法1）=____________；（方法2）=____________；（3）观察图2，写出(a+b)2,(a-b)2,ab这三个代数式之间的等量关系；（4）根据题中的等量关系，解决问题：若m+n=10,m-n=6，求mn的值.31．（2019·重庆南开中学八年级期末）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为，十位上和个位上的数字之和为，如果，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，，，因为，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；32．（2021·重庆一中八年级期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．33．（2018·重庆大渡口·八年级期末）若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”.（1）求证：对任意“好数”m，m2-64一定为20的倍数；（2）若m=p2-q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：，例如68=182-162，称数对（18,16）为“友好数对”，则，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值.34．（2019·重庆开州·八年级期末）材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因，将左边展开得到，移项可得：.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数、，都存在，并进一步发现，两个非负数、的和一定存在着一个最小值.根据材料，解答下列问题：（1）__________（，）；___________（）；（2）求的最小值；（3）已知，当为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值.35．（2019·重庆九龙坡·八年级期末）我们知道整数除以整数（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：，所以.类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.例如：计算.可用整式除法如图：所以除以商式为，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）.（2），商式为，余式为.（3）若关于的多项式能被三项式整除，且均为整数，求满足以上条件的的值及商式.36．（2020·重庆一中八年级期末）若一个正整数能表示成(是正整数，且)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解.例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：(是正整数)，所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解.(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知(是正整数，是常数，且)，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出的所有平方差分解.37．（2019·重庆万州·八年级期末）在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经紧密相连,密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式:x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到数字密码171920.(1)根据上述方法,当x=21,y=7时,对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码?(写出三个)(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码;(只需一个即可)(3)若多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用本题的方法,当x=27时可以得到其中一个密码为242834,求m,n的值.38．（2021·重庆北碚·八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．，∵≥0，∴当时，有最小值．请根据上述方法，解答下列问题：（1），则的值是______；（2）求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；（3）若代数式的最小值为2，求k的值．39．（2020·重庆奉节·八年级期末）一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果a＝b，那么称这个四位数为“心平气和数”例如：1625，a＝1+6，b＝2+5，因为a＝b，所以，1625是“心平气和数”．（1）直接写出：最小的“心平气和数”是，最大的“心平气和数”；（2）将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”．例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”，求证：任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数．（3）求千位数字是个位数字的3倍，且百位数字与十位数字之和是14的倍数的所有“心平气和数”．40．（2020·重庆开州·八年级期末）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.41．（2020·重庆万州·八年级期末）甲、乙两人共同计算一-道整式乘法题：.甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为.（1）求正确的、的值.（2）计算这道乘法题的正确结果.42．（2021·重庆梁平·八年级期末）先化简，再求值：（1）6x2y（﹣2xy＋y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；（2）（x＋2y）（x﹣2y）＋（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝.43．（2018·重庆万州·八年级期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2=0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．44．（2021·重庆八中八年级期末）因式分解（1）（2）45．（2018·重庆北碚·八年级期末）（1）计算：；（2）因式分解：3x2y-18xy2+27y3.46．（2015·重庆·八年级期末）计算：(2a＋b)(2a－b)＋b(2a＋b)－8a2b÷2b参考答案1．B【详解】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.2．D【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【详解】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=×（1+4+1）=3，故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．3．C【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故选C．4．C【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可.【详解】A.，故原选项错误；B.，故原选项错误；C.，计算正确；D.，故原选项错误.故选C【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.5．C【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】==，故选C．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.6．D【详解】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．7．B【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，

又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，

∴x2+px+q=x2+x-6，

∴p=1，q=-6．

故选：B．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．8．C【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．【详解】解：，，又，，，，，，，代入得，=0．故选：C．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．9．A【分析】根据因式分解的定义进行判断可得答案.【详解】解：根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式,B,D都不是乘积的形式，C含有分式，A符合因式分解的意义,故是因式分解,故选：A.【点睛】本题主要考查因式分解的定义：因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式.10．D【分析】根据有理数的乘方的意义可知表示100个（-2）的乘积，所以，，再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可．【详解】解：故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序．11．C【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的结果,再判断即可.【详解】解：A、,故本选项错误;B、,故本选项错误;C、,故本选项正确;D、,故本选项错误;故选C.【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用,注意:完全平方公式:，平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b.12．B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．13．A【详解】∵，∴，解得或，∴或.故选A.14．A【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行计算即可【详解】解：∵，，，∵∴故选：A【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握法则是解题的关键15．D【分析】根据合并同类项，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据同底数幂的乘法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．【详解】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查积的乘方、同类项合并、同底数幂的乘法和除法，解题的关键是知道积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．16．C【分析】解答此题，根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．【详解】解：，．故选C．【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法的逆运用和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．17．7或-1【详解】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．18．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式，故答案为【点睛】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.19．【详解】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．故答案为（a+3）（a-3）．考点：因式分解-运用公式法．20．a（a﹣b）2．【详解】【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2，故答案为a（a﹣b）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．6【解析】根据完全平方公式，可知（x﹣）2=x2-2+=4，移项整理可得x2+=6.故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.22．【分析】先提取公因式3a，再根据完全平方公式进行二次分解即可．【详解】．故答案为【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．23．﹣7【详解】∵x+y=1，xy=﹣7，∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7.24．．【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．25．22【分析】设A单价为a元，实际购买x件，B单价为b元，实际购买y元，根据题意列出方程组，将两个方程相加得到，分解因式得，由和的单价总和是100到200之间的整数得到，由此求得答案.【详解】设A单价为a元，实际购买x件，B单价为b元，实际购买y元，，∴，∴，∵和的单价总和是100到200之间的整数，即100，∴，即，，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据和的单价总和确定出x+y的值.26．【详解】试题解析：2x2+x-6x-3=27．（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【详解】解：（1）=(x-y+1)2；（2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．28．（1）110；954；（2）见解析；（3）或853或826.【分析】（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；（2）设“谐数”的百位数字为x、十位数字为y，个位数字为z，根据“谐数”的概念得x=y2-z2=（y+z）（y-z），由x+y+z=（y+z）（y-z）+y+z=（y+z）（y-z+1）及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．【详解】（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.（2）设：“谐数”的百位数字为，十位数字为y，个位数字为z（且且均为正数），由题意知，，∴，z∵与奇偶性相同，∴与必一奇一偶，∴必是偶数，∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵m为和数，∴，即，∴或或，∴或853或826.【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．29．(1)9991；221；（2）详见解析；（3）满足条件的所有的四位“言唯一数”为和【分析】根据题目给出的新定义，正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，称这样的数k为“言唯一数”，解答即可．【详解】（1）最大的四位“言唯一数”是9991，最小的三位“言唯一数”是221；（2）证明：设，则都为正整数，则也是正整数对于任意的四位“言唯一数”，能被整除．（3）（，且，、均为整数）.则仍然为言唯一数，末尾数字为0，129末尾数字为9则的末尾数字为2，或①当时，，时，，此时②当时，，时，，此时满足条件的所有的四位“言唯一数”为和【点睛】本题主要考查了对因式分解的应用，对新定义的理解程度时解答本题的关键．30．（1）a-b；（2）（a-b）2；（a+b）2-4ab（3）（a-b）2=（a+b）2-4ab（4）mn=16【详解】分析：（1）观察图形的特征可得结果；（2）可分别利用边长的平方和大正方形的面积减去小正方形的面积两种方法得到中间小正方形的面积；（3）根据两幅图的空白处面积相等即可得到它们之间的关系.（4）根据（3）中的结论直接整体代入即可求出mn的值.详解：的1）式或地次因式人方相等，数写厉线的定底色（1）a-b；

（2）方法1：S阴影=（a-b）2，

方法2：S阴影=（a+b）2-4ab；

（3）(a+b)2,(a-b)2,ab这三个代数式之间的等量关系为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；

根据题中的结论得（m-n）2=（m+n）2-4mn,∵m+n=10，m-n=6，

∴36=100-4mn，

∴mn=16.点睛：仔细观察图形，明确两幅图中空白区域面积的计算方法及它们面积相等是解题的关键.31．（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848【解析】【分析】（1）根据和平数的定义，即可得到结论；（2）设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．（3）设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；【详解】解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，故答案为：1001，9999；（2）设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．（3）设这个“和平数”为，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，∴2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，可知c+1=6k且a+b=c+d，∴c=5则b=7，②当a=4，d=8时，2（c+2）=12k，可知c+2=6k且a+b=c+d，∴c=4则b=8，综上所述，这个数为：2754和4848．【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．32．（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知，求得和的值，再根据题意是6的倍数，结合，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．【详解】（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵，，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为，为正整数，依题意得：，，且，由，知，且，，即或或，解得：(舍去)，或或(舍去)，∵，，，∴取1或2或3，当取1时，即，，，∵，即，即，∴，解得：，∴“交替数”是4224；当取2时，即，，，∵，即，即，∴，解得：，∴“交替数”是4257；当取3时，即，，，∵，即，即，∴，解得：(不合题意，舍去)；综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．33．（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）设的十位数字为，则由题意可得：，由此可得：，由此可得一定是20的倍数；（2）设的十位数字为，则由题意可得：，结合，且为正整数及分=1或2或3或4进行讨论求得符合条件的的值，再求得对应的H（m）的值并比较大小即可求得本题答案.试题解析：（1）设的十位数字为，则由题意可得：，∴，∵为两位正整数的十位数字，∴是整数，∴是20的倍数；（2）设的十位数字为，则由题意可得：，∵，且为正整数，∴，又∵，∴①当时，，此时没有满足条件的；②当时，，此时满足条件的是数对（8，6），即，故H（28）=；③当时，，此时没有满足条件的；④当时，，此时满足条件的有数对（7，1）、（8，4）、（13，11），即，故H（48）=或H（48）=或H（48）=；综上所述，∵，∴小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为.点睛：（1）个位数为8的两位正整数可表示为：，其中为正整数，且；（2）解第1小题这类题通常需把所涉及的数用代数式表达出来，再通过分解因式即可完成证明；（3）解第2小题时，抓住：“，，为正整数，”这几个条件综合分析即可找到所有符合条件的，再分别求出对应的H（m）=并比较大小即可得到本题答案.34．（1），2；（2）；（3）当时，代数式的最小值为2019.【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；（3）把已知代数式变为，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．【详解】（1）∵，，∴，∵，∴；（2）当x时，，均为正数，∴所以，的最小值为．（3）当x时，，，2x-6均为正数，∴由可知，当且仅当时，取最小值，∴当，即时，有最小值．∵x故当时，代数式的最小值为2019．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．35．（1）；（2），；（3）a=-3，b=7，商式为（2x-1）.【分析】（1）模仿例题，可用竖式计算；（2）模仿例题，可用竖式计算；（3）设商式为（x+m），则有=（2x+m）（）=2x3+（m-2）x2+（6-m）x+3m，根据对应项系数相等即可解决问题．【详解】（1）.∴.（2），∴，商式为，余式为.（3）设商式为（2x+m），则有=（2x+m）（）=2x3+（m-2）x2+（6-m）x+3m，∴-3=3m，∴m=-1，∴a=m-2=-1-2=-3，b=6-m=6-（-1）=7，商式为（2x-1），【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是理解被除式=除式×商式+余式，学会模仿解题．36．（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，，.【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析N应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N平方差分解，得到答案；(3)确定“七喜数”m的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，是“明礼崇德数”，∵当k=-5时，，=，=，=，==.∵是正整数，且，∴N是正整数，符合题意，∴当k=-5时，是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m==（a+b）（a-b），当m=178时，∵178=289，∴，得（不合题意，舍去）；当m=279时，∵279=393=931，∴①，得，∴，②，得，∴，∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m是279，，.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.37．（1）

211428;，212814，142128；（2）48100；（3）m、n的值分别是56、17【详解】试题分析：（1）先分解因式得到x3-xy2=x（x-y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=14，x2+y2=100，再利用完全平方公式可计算出xy=48，然后与（1）小题的解决方法一样；（3）由x=27时可以得到其中一个密码为242834，可得x3+（m-3n）x2-nx-21因式分解为（x-3）（x+1）（x+7），再利用多项式的乘法法则展开，然后与x3+（m-3n）x2-nx-21比较，即可求出m、n的值．试题解析：（1）x3-xy2=x（x-y）（x+y），当x=21，y=7时，x-y=14，x+y=28，可得数字密码是211428，也可以是212814，142128；(2)由题意得:，解得，而，所以可得数字密码为48100；(3)由题意得，，，，解得，故m、n的值分别是56、17.38．（1）-10；（2）见解析；（3）k=±2【分析】（1）根据所作的变形确定出a、b的值即可得；（2）根据材料中的方法进行变形后，利用平方数的特性即可得证；（3）根据材料中的方法进行变形后即可进行确定.【详解】（1），所以a=2，b=-5，所以的值是-10，故答案为-10；（2）x2+2x+7=x2+2x+()2+7=（x+）2+1，∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7最小值为1，∴无论x取何值，x2+2x+7的值都是正数；（3）2x2+kx+7=（x）2+2×x×k+（k）2-（k）2+7=（x+）2-k2+7，∵（x+）2≥0，∴（x+）2-k2+7的最小值是-k2+7，∴-k2+7=2，∴k=±2.39．（1）1001，9999；（2）见解析；（3）3681和6592【分析】（1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，一个是以9开头的四位数，不难得到1001和9999这两个答案．（2）可以设千位和百位的数字之和为m，十位和个位的数字之和为m，千位数字为a，十位数字为b，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了，即可证明得任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数．（3）先讨论出千位与个位数字分别为3，6，9和1，2，3，也可以讨论出，百位数字与十位数字之和只能是14，进而得到最后两组符合题意的答案．【详解】解：（1）最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字要尽可能在0﹣9这九个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999．故答案为：1001；9999．（2）证明：设千位和百位的数字之和为m，十位和个位的数字之和为m，千位数字为a，十位数字为b，所以个位数字为（m﹣b），百位数字为（m﹣a）.依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为：（m﹣b）+10b+100（m﹣a）+1000a+b+10（m﹣b）+100a+1000（m﹣a），＝11（m﹣b）+11b+1100a+1100（m﹣a）＝11（m﹣b+b+100a+100m﹣100a）＝11×101m，因为m为整数，所以11×101m是11的倍数，所以任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数．（3）设个位数字为x，则千位数字为3x，显然